向量及其线性运算.ppt

高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院China Institute of Industrial Relations第一第一节节 向量及其向量及其线线性运算性运算一、向量概念一、向量概念二、向量的二、向量的线线性运算性运算三、空三、空间间直角坐直角坐标标系系四、利用坐四、利用坐标标作向量的作向量的线线性运算性运算五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院China Institute of Industrial Relations向量：向量：既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量.向量表示：向量表示：向量的方向：向量的方向：箭箭头头的方向的方向.一、向量的概念一、向量的概念或或|向量的模：向量的模：向量的大小向量的大小.或或向量的大小：向量的大小：向量向量长长度的度的值值.模模长为长为1 1的向量的向量.零向量：零向量：模模长为长为0 0的向量的向量,其方向任意其方向任意.单单位向量：位向量：或或高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院China Institute of Industrial Relations自由向量：自由向量：不考不考虑虑起点位置的向量起点位置的向量.相等向量：相等向量：大小相等且方向相同的向量大小相等且方向相同的向量.负负向量：向量：大小相等但方向相反的向量大小相等但方向相反的向量.向径：向径：空空间间直角坐直角坐标标系中任一点系中任一点 与原点与原点构成的向量构成的向量.向量平行：向量平行：k(2)k(2)个有公共起点的向量的个有公共起点的向量的k k个个终终点和起点在一个平面上点和起点在一个平面上.两个非零向量的方向相同或者相反两个非零向量的方向相同或者相反.k k个向量共面：个向量共面：高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院China Institute of Industrial Relations二、向量的二、向量的线线性运算性运算1 加法：加法：（平行四（平行四边边形法形法则则）特殊地：若特殊地：若 分分为为同向和反向同向和反向（平行四（平行四边边形法形法则则有有时时也称也称为为三角形法三角形法则则）1.向量的加减法向量的加减法高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院China Institute of Industrial Relations向量的加法符合下列运算向量的加法符合下列运算规规律：律：（1 1）交）交换换律：律：（2 2）结结合律：合律：（3）2 减法减法高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院China Institute of Industrial Relations2.向量与数的乘法向量与数的乘法高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院China Institute of Industrial Relations数与向量的乘数与向量的乘积积符合下列运算符合下列运算规规律：律：（1 1）结结合律：合律：（2 2）分配律：）分配律：两个向量的平行关系两个向量的平行关系高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院China Institute of Industrial Relations证证充分性充分性显显然；然；必要性必要性两式相减，得两式相减，得高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院China Institute of Industrial Relations按照向量与数的乘按照向量与数的乘积积的的规规定，定，上式表明：一个非零向量除以它的模的上式表明：一个非零向量除以它的模的结结果是一果是一个与原向量同方向的个与原向量同方向的单单位向量位向量.点点POPxx=xi实实数数 x向量向量此定理是建立数此定理是建立数轴轴的理的理论论依据依据数数轴轴：点、方向、：点、方向、单单位位长长度度轴轴上点上点P的坐的坐标为标为x的充分必要条件是的充分必要条件是 .=xii1另外另外高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院China Institute of Industrial Relations例例1 1 化化简简解解高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院China Institute of Industrial Relations例例2 2 试试用向量方法用向量方法证证明：明：对对角角线线互相平分的互相平分的四四边边形必是平行四形必是平行四边边形形.证证与与 平行且相等平行且相等,结论结论得得证证.高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院China Institute of Industrial Relations例例3用向量的方法用向量的方法证证明梯形两腰中点的明梯形两腰中点的连线连线平行于底平行于底边边且等于两底且等于两底边边之和的一半之和的一半证证ABCDEF高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院China Institute of Industrial Relations例例4已知三个非零向量已知三个非零向量中任意两个向量中任意两个向量都不平行都不平行试证试证证证由由题设题设存在存在使使若不然若不然则则与与题设题设矛盾矛盾故故高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院China Institute of Industrial Relations三、空三、空间间直角坐直角坐标标系系坐坐标轴标轴:取空取空间间一个定点一个定点O,作三作三条互相垂直的数条互相垂直的数轴轴，它，它们们都以都以O 为为原点且一般具有相同的原点且一般具有相同的长长度度单单位，位，这这三条三条轴轴分分别别叫作叫作 x 轴轴(横横轴轴)、y轴轴(纵轴纵轴)、z轴轴(竖轴竖轴););点点O叫作坐叫作坐标标原点原点(或原点或原点).).通常取通常取x轴轴、y轴轴水平放置；水平放置；z轴竖轴竖直放直放置置,它它们们的正向符合右手法的正向符合右手法则则.Oxyz坐坐标标系可系可记记作作O；，坐坐标标系系横横轴轴纵轴纵轴竖轴竖轴定点定点空空间间直角坐直角坐标标系系高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院China Institute of Industrial Relations坐坐标标面面：空直角：空直角间间坐坐标标系中任两系中任两轴轴确定的平面确定的平面.xOy面、面、yOz面、面、xOz面面.卦限卦限：坐：坐标标面将空面将空间间分分为为八个卦限，用字母八个卦限，用字母、表示表示.面面面面面面空空间间直角坐直角坐标标系共有系共有八个卦限八个卦限高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院China Institute of Industrial Relations空空间间的点的点有序数有序数组组特殊点的表示特殊点的表示:坐坐标轴标轴上的点上的点坐坐标标面上的点面上的点高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院China Institute of Industrial Relationszxoy这这六个平面与六个平面与 x,y,z轴轴分分别别相交于相交于向量在坐向量在坐标轴标轴上的分向量上的分向量高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院China Institute of Industrial Relations称有向称有向线线段段的的值值为为向量向量在在 x 轴轴上的投影上的投影有向有向线线段段的的值值为为向量向量在在 y 轴轴上的投影上的投影有向有向线线段段的的值值为为向量向量在在 z 轴轴 上的投影上的投影依次依次记记作作即即xoy高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院China Institute of Industrial Relations由由图图上可以看出上可以看出而而称称为为基本基本单单位向量位向量xoy高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院China Institute of Industrial Relations向量在三个坐向量在三个坐标轴标轴上的分向量上的分向量向量的分解式向量的分解式向量在三个坐向量在三个坐标轴标轴上的投影上的投影称称为为向量的坐向量的坐标标向量可用它的坐向量可用它的坐标标表示表示为为向量的坐向量的坐标标表示式表示式xoy高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院China Institute of Industrial Relations特殊地：特殊地：称称为为向径向径高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院China Institute of Industrial Relations四、利用坐四、利用坐标标作向量的作向量的线线性运算性运算设设(为实为实数数)推推论论：则则高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院China Institute of Industrial Relations例例5 求解以向量求解以向量为为未知元的未知元的线线性方程性方程组组其中其中解解 如同解以如同解以实实数数为为未知元的未知元的线线性方程性方程组组一一样样，可解得可解得以以 的坐的坐标标表示式代入，即得表示式代入，即得高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院China Institute of Industrial Relations解解设设为为直直线线上的点上的点，由由题题意知意知：这这就是点就是点M的坐的坐标标.例例6 已知已知和和以及以及实实数数AB直直线线上求点上求点 M,使使)(Bx2,y2,z2)(Ax1,y1,z11-l l，在在高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院China Institute of Industrial Relations五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影1.1.两点的距离公式与向量的模两点的距离公式与向量的模高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院China Institute of Industrial Relations空空间间两点两点间间距离公式距离公式特殊地：若两点分特殊地：若两点分别为别为向量的模向量的模高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院China Institute of Industrial Relations解解原原结论结论成立成立.高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院China Institute of Industrial Relations解解设设P点坐点坐标为标为所求点所求点为为高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院China Institute of Industrial Relations例例10 已知两点已知两点A(4,0,5)和和B(7,1,3),求与求与AB 方向相同得方向相同得 单单位向量位向量 .解解 因因为为AB=OB-OA=(7,1,3)-(4,0,5)=(3,1,-2),所以所以于是于是例例9 在在z轴轴上求与两点上求与两点A(-4,1,7)和和B(3,5,-2)等距离的点等距离的点.解解 因因为为所求的点所求的点M在在z轴轴上上,所以所以设设M(0,0,z),依依题义题义有有即即两两边边去根号去根号,解得解得 z=所求的点所求的点M(0,0,).高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院China Institute of Industrial Relations2.2.方向角与方向余弦方向角与方向余弦两向量的两向量的夹夹角的概念：角的概念：特殊地，当两个向量中有一个零向量特殊地，当两个向量中有一个零向量时时，规规定定它它们们的的夹夹角可在角可在0与与 之之间间任意取任意取值值.设设AB类类似地，可定似地，可定义义向量与一向量与一轴轴或或空空间间两两轴轴的的夹夹角角.高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院China Institute of Industrial Relations非零向量非零向量 的的方向角方向角：非零向量与三条坐非零向量与三条坐标轴标轴的正向的的正向的夹夹角称角称为为方向角方向角.由由图图分析可知分析可知方方向向余余弦弦向向量量的的高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院China Institute of Industrial Relations方向余弦通常用来表示向量的方向方向余弦通常用来表示向量的方向.向量模向量模长长的坐的坐标标表示式表示式当当 时时，向量方向余弦的坐向量方向余弦的坐标标表示式表示式高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院China Institute of Industrial Relations方向余弦的特征方向余弦的特征特殊地：特殊地：单单位向量的方向余弦位向量的方向余弦为为例例11 已知两点已知两点 和和 ，计计算向量算向量 的模、方向余弦和方向角的模、方向余弦和方向角.解解高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院China Institute of Industrial Relations解解所求向量有两个，一个与所求向量有两个，一个与 同向，一个反向同向，一个反向或或高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院China Institute of Industrial Relations解解 依依题题意有意有由关系式由关系式得得因点因点A在第在第 卦限卦限,知知 ，故，故 于是于是这这就是点就是点A的坐的坐标标.例例13 设设点点A位于第位于第 卦限卦限,向径向径OA与与x轴轴、y 轴轴的的夹夹角角依次依次为为 和和 ，且，且 ，求点，求点A的坐的坐标标。高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院China Institute of Industrial Relations解解高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院China Institute of Industrial Relations高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院China Institute of Industrial Relations3.3.向量在向量在轴轴上的投影上的投影空空间间一点在一点在轴轴上的投影上的投影:.设设 ，则则数数 称称为为向量向量 在在 轴轴上的上的投影投影，记记作作 或或 .设设则则或或记记作作过过点点 作作轴轴 的垂直平面，的垂直平面，交点交点 即即为为点点 在在轴轴 上上的的投影投影.高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院China Institute of Industrial Relations(即即 ),性性质质1 1其中其中 为为向量向量 与与 轴轴的的夹夹角角;性性质质2 2(即即 );(即即 ).性性质质3 3例例15 设设立方体的一条立方体的一条对对角角线为线为OM,一条棱一条棱为为OA,且且 ,求求OA在在OM方向上的投影方向上的投影Prj .解解 记记 有有于是于是Prj 高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院China Institute of Industrial Relations解解高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院China Institute of Industrial Relations六、小六、小结结1.向量的概念向量的概念（注意与（注意与标标量的区量的区别别）2.向量的加减法向量的加减法（平行四（平行四边边形法形法则则）3.向量与数的乘法向量与数的乘法（注意数乘后的方向）（注意数乘后的方向）6.向量在坐向量在坐标轴标轴上的分向量与向量的坐上的分向量与向量的坐标标（注意分向量与向量的坐（注意分向量与向量的坐标标的的区区别别）7.向量的模与方向余弦的坐向量的模与方向余弦的坐标标表示式表示式.4.空空间间直角坐直角坐标标系系 5.空空间间两点两点间间距离公式距离公式（注意它与平面直角坐（注意它与平面直角坐标标系的系的区区别别）（轴轴、面、卦限）、面、卦限）高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院China Institute of Industrial Relations思考思考题题1已知平行四已知平行四边边形形ABCD的的对对角角线线试试用用 表示平行四表示平行四边边形四形四边边上上对应对应的向量的向量.思考思考题题2高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院China Institute of Industrial Relations思考思考题题1解答解答高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院China Institute of Industrial Relations思考思考题题2解答解答对对角角线线的的长为长为