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1习习 题题 二二第二章：一元函数微分学第二章：一元函数微分学23.设设 f(x)在在 x=x0 点处可导点处可导,试计算下列极限试计算下列极限.345 5.讨论下列函数在点是否可导讨论下列函数在点是否可导?f(x)在在 x=0 处连续处连续.由导数定义有由导数定义有:因此函数因此函数 f(x)在在 x=0 点处可导点处可导.5f(x)在在 x=0 处连续处连续,由导数定义有由导数定义有:因此因此 f(x)在在 x=0 处不可导处不可导.66.确定确定 a,b 的值的值,使使 在在 x=1点处可导点处可导.解解:f(x)在在 x=1 处连续处连续,因此有因此有 a+b=1 x=1 处左导数处左导数:2xx=1=2 右导数右导数:a因此有因此有 a=2,b=-17*7.若函数若函数 f(x)在在 x0 点可导点可导,且且 f(x0)0,试计算极限试计算极限88.设曲线设曲线 y=2x-x3(1)求求(1,1)点处的切线方程及法线方程点处的切线方程及法线方程;(2)(x0,y0)点处的切线通过点处的切线通过(0,-2)点点,求求(x0,y0)点及该点处的切线方程、法线方程点及该点处的切线方程、法线方程.(1)y=2-3x3 y|x=1=2-3=-1 切线方程切线方程:y-1=-(x-1)x+y-2=0 法线方程法线方程:y-1=x-1 x-y=098.8.(2)2)解解:过过(x0,y0)的切线方程的切线方程:y-y0=(2-3x02)(x-x0)因因 y0=2x0-x03 y-(2x0-x03)=(2-3x03)(x-x0)过过(0,-2),x=0,y=-2 代入代入:-2-2x0+x03=-2x03+3x03 x03=-1,x0=-1,y0=-1切线方程切线方程:y+1=-x-1 即即 x+y+2=0法线方程法线方程:y+1=x+1 即即 y=x1012.(5)12.(5)求导数求导数1113.(1)y=xlnx(5)y=x2x+(2x)x y=e2xlnx+exln(2x)=e2xlnx(2xlnx)+exln(2x)xln(2x)=2x2x(lnx+1)+(2x)xln(2x)+1y=elnxlnx=elnxlnx2lnx1/x=xlnx2lnx/x ln y=1/2ln x+lnsin x+1/2ln(1-ex)1214.14.求由下列方程确定的隐函数的导数求由下列方程确定的隐函数的导数.(1)y=1+xey y=ey+xeyy (1+xey)y=ey (2)y=tan(x+y)y=sec2(x+y)(1+y)1-sec2(x+y)y=sec2(x+y)1314.(3)x y=y x 两边取对数：两边取对数：y ln x=x ln y 两边求导数：两边求导数：(4)xy=ex+y y+xy=ex+y(1+y)1415.15.试证明曲线试证明曲线 上任一点处的切线上任一点处的切线,截两个坐标的截距之和为截两个坐标的截距之和为 a解解:对方程两边求导对方程两边求导:切线方程切线方程:化为截距式化为截距式:截距之和为截距之和为1516.16.求下列函数的二阶导数求下列函数的二阶导数(3)y=xx ln y=x ln x 1/yy=ln x+1 y=xx(ln x+1)1616.16.(4)(4)两边对两边对 x 求导求导:1717.设设 f (x)存在存在,求下列函数的二阶导数求下列函数的二阶导数(1)y=f(x+e-x)y=f(x2)2x y=2f(x2)+f(x2)4x2(2)y=lnf(x)1819.一质点作直线运动一质点作直线运动,其运动规律为其运动规律为 ,其中路程其中路程 s 的单位为米的单位为米,时间的单位为秒时间的单位为秒,求质求质点在第四秒末的速度与加速度点在第四秒末的速度与加速度?答答:4 秒末的速度为秒末的速度为1/4 米米/秒秒,加速度为加速度为-1/32 米米/秒秒21920.许多肿瘤的生长规律为许多肿瘤的生长规律为 其中其中,v 表示表示 t 时刻的肿瘤的大小时刻的肿瘤的大小(体积或重量体积或重量),v0 为开始为开始(t=0)观察时肿瘤的大小观察时肿瘤的大小,a 和和 A 为为正常数正常数.问肿瘤问肿瘤 t 时刻的增长速度是多少时刻的增长速度是多少?202626.利用利用 LHospital 法则求下列函数极限法则求下列函数极限(1)(2)2126.(3)2226.(4)2326.(5)26.(6)2426.(7)26.(8)2526.(9)设函数设函数 f(x)存在二阶导数，存在二阶导数，f(0)=0,f(0)=1,f(0)=2,试求试求因函数二阶可导，函数及其导数在因函数二阶可导，函数及其导数在 x=0 处连续处连续由洛必大法则：由洛必大法则：2626.(10)设函数有二阶连续导数设函数有二阶连续导数,且且 解解:化为指数函数化为指数函数由洛必大法则由洛必大法则由由(9)题结果有题结果有:因此原式因此原式=e2,求求2727.试确定下列函数的单调区间试确定下列函数的单调区间(3)f(x)=xe-x,(4)(3)f(x)=e-x-xe-x=e-x(1-x)=0 驻点驻点:x=1 当当 x0,当当 x1 时时 f (x)0因此在因此在(,1)内单调增加内单调增加,(1,+)内单调减少内单调减少.(4)驻点驻点:x=1,x0,当当 x1 时时 f (x)0 (0,1)内单调增加内单调增加,(1,+)内单调减少内单调减少2828.求下列函数的极值求下列函数的极值.(2)(0,e)内内 f(x)0 x=e 为极小值点。为极小值点。极小值极小值 f(e)=e2928.(3)驻点驻点:x=1,x=-1(-,-1)内内 f(x)0;(1,+)内内 f(x)0;所以所以 x=-1 为极小值点为极小值点.极小值极小值:f(-1)=-3 x=1为极大值点为极大值点.极大值极大值 f(1)=33028.(4)驻点：驻点：x=2;x=3 处不可导。处不可导。当当 x0;x2 时时 f(x)0.x=2为极大值点为极大值点.f极大极大(2)=3当当 x3 时时 f(x)3 时时 f(x)0.x=3为极小值点为极小值点.f极小极小(3)=0-112345-2-112343129.试问试问 a 为何值时为何值时,函数函数 f(x)=a sin x+1/3sin3x在在 x=/3 处具有极值处具有极值?它是极大值它是极大值,还是极小值还是极小值?并求此极值并求此极值.解解:f(x)=a cos x+cos3x 当当 x=/3 时时 a cos /3+cos=0,a/2-1=0 ,a=2 f(x)=-2sin x-3sin3x f(/3)=-23/20 所以曲线在所以曲线在(-,+)内是凹的内是凹的.(2)y=ln(x2-1)曲线在曲线在(-,+)内是凸的内是凸的.3938.求下列曲线的凹凸区间与拐点。求下列曲线的凹凸区间与拐点。（1）y=3x4-4x3+1 y=12x3-12x2 令令 y=36x2-24x=12x(3x-2)=0 x=0,x=2/3(-,0)0(0,2/3)2/3(2/3,)y+0-0+曲线曲线凹凹拐点拐点凸凸拐点拐点凹凹4038.（2）y=ln(1+x2)令令 y=0,x=-1,x=1(-,-1)-1(-1,1)1(1,)y-0+0-曲线曲线凸凸拐点拐点凹凹拐点拐点凸凸4138.(3)x=-3 ，x=0 x=3 处处,x(-,-3)-3(-3,0)0(0,3)3(3,)y+0-0+0-曲线曲线凹凹拐点拐点凸凸拐点拐点凹凹拐点拐点凸凸4238.（4）y=(x-5)5/3+2x+1 x=5 处函数连续处函数连续,而二阶导数不存在而二阶导数不存在当当 x5 时时,y5 时时,y0故故(-,5)内函数是凸的内函数是凸的(5,+)内函数是凹的内函数是凹的 x=5 是拐点是拐点.43*39.已知曲线已知曲线 y=ax3+bx2+cx+d 在在(1,2)点处有点处有水平切线水平切线,且原点为该曲线上的拐点且原点为该曲线上的拐点,求求 a,b,c,d 之值之值,并写出此曲线方程并写出此曲线方程.解解:y=3ax2+2bx+c y=6ax+2b 曲线过曲线过(1,2):2=a+b+c+d 曲线过原点曲线过原点:0=d 当当 x=1 时时,y=0:3a+2b+c=0 当当 x=0 时时,y=0:2b=0 解方程组得解方程组得:a=-1,b=0,c=3,d=0 曲线方程曲线方程:y=-x3+3x4440.(1)求下列曲线渐近线求下列曲线渐近线因此曲线有水平因此曲线有水平渐近线渐近线:y=1因此曲线有垂直渐近线因此曲线有垂直渐近线:x=1-4-224-10-551045因此曲线有垂直渐近线因此曲线有垂直渐近线:x=0因此有斜渐近线因此有斜渐近线 y=x4640.(3)描绘下列函数的图形描绘下列函数的图形定义域定义域:(0,+),渐近线为渐近线为 x=0,y=047(0,e)e(e,e3/2)e3/2(e3/2,+)f(x)+0-f(x)-0+f(x)极大极大拐点拐点f(e)=1/e ,f(e3/2)=3/2e-3/2e e3/24840.(4)驻点驻点:x=-1,x=3;x=1 处不可导处不可导.x=1 处二阶导数不存在处二阶导数不存在,渐近线渐近线:x=149f(-1)=2f(0)=-9/4f(3)=0(-,-1)-1(-1,1)1(1,3)3(3,+)f(x)+0-不存不存-0+f(x)-不存不存+f(x)极大极大极小极小-4-224-2250练习题：1.函数函数 在（在（-，+）内可导，则求）内可导，则求 f(0)2.y=sin x2+ln2x,则则 y=3.y=e-2x-arctan2,则则 dy=4.y=x3+3 在在 x=1 处的切线方程为处的切线方程为5.y=x+exy 求求 y 6.求极限求极限:5110.投投石石入入水水，在在水水面面上上产产生生同同心心圆圆形形波波纹纹，若若最最外外一一圈圈波波纹纹扩扩大大时时，其其半半径径的的增增加加率率恒恒为为6 米米/秒秒;求第求第 3 秒末被扰动水面面积的变化率秒末被扰动水面面积的变化率.11.求曲线求曲线 在在 t=0 相应的点处的切线相应的点处的切线方程方程.7.验证验证 f(x)=arctan x 在在 0,1 上是否满足拉格上是否满足拉格朗日中值定理朗日中值定理.若满足若满足,=?8.求函数求函数 f(x)=x3-3x2-9x+5 在在-4,4 的最值的最值9.画函数画函数 f(x)=x2/3(x-5)的草图的草图.