大学医用高等数学习题ppt.ppt
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1、1习习 题题 二二第二章:一元函数微分学第二章:一元函数微分学23.设设 f(x)在在 x=x0 点处可导点处可导,试计算下列极限试计算下列极限.345 5.讨论下列函数在点是否可导讨论下列函数在点是否可导?f(x)在在 x=0 处连续处连续.由导数定义有由导数定义有:因此函数因此函数 f(x)在在 x=0 点处可导点处可导.5f(x)在在 x=0 处连续处连续,由导数定义有由导数定义有:因此因此 f(x)在在 x=0 处不可导处不可导.66.确定确定 a,b 的值的值,使使 在在 x=1点处可导点处可导.解解:f(x)在在 x=1 处连续处连续,因此有因此有 a+b=1 x=1 处左导数处左
2、导数:2xx=1=2 右导数右导数:a因此有因此有 a=2,b=-17*7.若函数若函数 f(x)在在 x0 点可导点可导,且且 f(x0)0,试计算极限试计算极限88.设曲线设曲线 y=2x-x3(1)求求(1,1)点处的切线方程及法线方程点处的切线方程及法线方程;(2)(x0,y0)点处的切线通过点处的切线通过(0,-2)点点,求求(x0,y0)点及该点处的切线方程、法线方程点及该点处的切线方程、法线方程.(1)y=2-3x3 y|x=1=2-3=-1 切线方程切线方程:y-1=-(x-1)x+y-2=0 法线方程法线方程:y-1=x-1 x-y=098.8.(2)2)解解:过过(x0,y
3、0)的切线方程的切线方程:y-y0=(2-3x02)(x-x0)因因 y0=2x0-x03 y-(2x0-x03)=(2-3x03)(x-x0)过过(0,-2),x=0,y=-2 代入代入:-2-2x0+x03=-2x03+3x03 x03=-1,x0=-1,y0=-1切线方程切线方程:y+1=-x-1 即即 x+y+2=0法线方程法线方程:y+1=x+1 即即 y=x1012.(5)12.(5)求导数求导数1113.(1)y=xlnx(5)y=x2x+(2x)x y=e2xlnx+exln(2x)=e2xlnx(2xlnx)+exln(2x)xln(2x)=2x2x(lnx+1)+(2x)x
4、ln(2x)+1y=elnxlnx=elnxlnx2lnx1/x=xlnx2lnx/x ln y=1/2ln x+lnsin x+1/2ln(1-ex)1214.14.求由下列方程确定的隐函数的导数求由下列方程确定的隐函数的导数.(1)y=1+xey y=ey+xeyy (1+xey)y=ey (2)y=tan(x+y)y=sec2(x+y)(1+y)1-sec2(x+y)y=sec2(x+y)1314.(3)x y=y x 两边取对数:两边取对数:y ln x=x ln y 两边求导数:两边求导数:(4)xy=ex+y y+xy=ex+y(1+y)1415.15.试证明曲线试证明曲线 上任一
5、点处的切线上任一点处的切线,截两个坐标的截距之和为截两个坐标的截距之和为 a解解:对方程两边求导对方程两边求导:切线方程切线方程:化为截距式化为截距式:截距之和为截距之和为1516.16.求下列函数的二阶导数求下列函数的二阶导数(3)y=xx ln y=x ln x 1/yy=ln x+1 y=xx(ln x+1)1616.16.(4)(4)两边对两边对 x 求导求导:1717.设设 f (x)存在存在,求下列函数的二阶导数求下列函数的二阶导数(1)y=f(x+e-x)y=f(x2)2x y=2f(x2)+f(x2)4x2(2)y=lnf(x)1819.一质点作直线运动一质点作直线运动,其运动
6、规律为其运动规律为 ,其中路程其中路程 s 的单位为米的单位为米,时间的单位为秒时间的单位为秒,求质求质点在第四秒末的速度与加速度点在第四秒末的速度与加速度?答答:4 秒末的速度为秒末的速度为1/4 米米/秒秒,加速度为加速度为-1/32 米米/秒秒21920.许多肿瘤的生长规律为许多肿瘤的生长规律为 其中其中,v 表示表示 t 时刻的肿瘤的大小时刻的肿瘤的大小(体积或重量体积或重量),v0 为开始为开始(t=0)观察时肿瘤的大小观察时肿瘤的大小,a 和和 A 为为正常数正常数.问肿瘤问肿瘤 t 时刻的增长速度是多少时刻的增长速度是多少?202626.利用利用 LHospital 法则求下列函
7、数极限法则求下列函数极限(1)(2)2126.(3)2226.(4)2326.(5)26.(6)2426.(7)26.(8)2526.(9)设函数设函数 f(x)存在二阶导数,存在二阶导数,f(0)=0,f(0)=1,f(0)=2,试求试求因函数二阶可导,函数及其导数在因函数二阶可导,函数及其导数在 x=0 处连续处连续由洛必大法则:由洛必大法则:2626.(10)设函数有二阶连续导数设函数有二阶连续导数,且且 解解:化为指数函数化为指数函数由洛必大法则由洛必大法则由由(9)题结果有题结果有:因此原式因此原式=e2,求求2727.试确定下列函数的单调区间试确定下列函数的单调区间(3)f(x)=
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