线性空间与线性变换.pptx
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1、线性空间与线性变换1、1 线性空间线性空间(LinearSpaces)一、线性空间得概念一、线性空间得概念线性空间线性空间=集合集合+两种运算两种运算(所成完美集合所成完美集合)Definition:(线性空间或向量空间线性空间或向量空间)要点要点要点要点:集合集合集合集合VV与数域与数域与数域与数域F F 向量得加法与数乘向量运算向量得加法与数乘向量运算向量得加法与数乘向量运算向量得加法与数乘向量运算(运算之后得结果跑不出去运算之后得结果跑不出去运算之后得结果跑不出去运算之后得结果跑不出去)八条运算律八条运算律八条运算律八条运算律(能够保证向量得混合运算几乎与数得运算一样完美能够保证向量得混
2、合运算几乎与数得运算一样完美能够保证向量得混合运算几乎与数得运算一样完美能够保证向量得混合运算几乎与数得运算一样完美)常见得线性空间常见得线性空间F Fn n=X=X=(x x1 1,x x2 2,x xn n)T T:x x F F 运算运算运算运算:向量加法与数乘向量向量加法与数乘向量向量加法与数乘向量向量加法与数乘向量F Fmm n n=A=A=a aij ij mm n n:a a ij ij FF;运算运算运算运算:矩阵得加法与数乘矩阵矩阵得加法与数乘矩阵矩阵得加法与数乘矩阵矩阵得加法与数乘矩阵R Rmm n n;C Cmm n n。F F t t n n=f f(x)=(x)=a
3、a00+a a1 1x+a a2 2x2+、+a an-1n-1xn-1:a ai i RR运算运算运算运算:多项式得加法与数乘多项式得加法与数乘多项式得加法与数乘多项式得加法与数乘CCa a,b b=f=f(x x):):f f(x x)在在在在 a a,b b 上连续上连续上连续上连续 运算运算运算运算:函数得加法与数乘函数得加法与数乘函数得加法与数乘函数得加法与数乘Example:Example:V=RV=R+,F=RF=R,a a b b=abab,a=aa=a F=RF=R或或或或C C不就是线性空间得集合不就是线性空间得集合V V=X=X=(x x1 1,x x2 2,1),1)T
4、 T:x xi i R R 运算运算运算运算:向量加法与数乘向量向量加法与数乘向量向量加法与数乘向量向量加法与数乘向量要证明一个集合不就是线性空间要证明一个集合不就是线性空间要证明一个集合不就是线性空间要证明一个集合不就是线性空间,定义中有很多漏定义中有很多漏定义中有很多漏定义中有很多漏洞可以攻击。洞可以攻击。洞可以攻击。洞可以攻击。线性空间得一般性得观点线性空间得一般性得观点:线性空间得简单性质线性空间得简单性质(共性共性):(1)V V中得零元素就是惟一得。中得零元素就是惟一得。(2)V V中任何元素得负元素就是惟一得。中任何元素得负元素就是惟一得。(3)数零与零元素得性质数零与零元素得性
5、质:0=0,k0=0,k=0=0 或或k=0(4)=(1)二、向量组得探讨二、向量组得探讨(Review)向量得线性相关与线性无关向量得线性相关与线性无关向量得线性相关与线性无关向量得线性相关与线性无关:向量向量向量向量 可由可由可由可由 1 1,2 2,s s线性表示线性表示线性表示线性表示;(;(其工作可由多人合其工作可由多人合其工作可由多人合其工作可由多人合力完成力完成力完成力完成)向量组向量组向量组向量组 1 1,2 2,s s线性无关线性无关线性无关线性无关 任何一个向量不能由其余向量线性表示任何一个向量不能由其余向量线性表示任何一个向量不能由其余向量线性表示任何一个向量不能由其余向
6、量线性表示要使要使要使要使k k1 1 1 1+k+k2 2 2 2+k+ks s s s=0,=0,只有系数都为只有系数都为只有系数都为只有系数都为0 0向量组向量组向量组向量组 1 1,2 2,s s线性相关线性相关线性相关线性相关其中一个向量可以由其余向量线性表示其中一个向量可以由其余向量线性表示其中一个向量可以由其余向量线性表示其中一个向量可以由其余向量线性表示要使要使要使要使k k1 1 1 1+k+k2 2 2 2+k+ks s s s=0,=0,必须有非零系数必须有非零系数必须有非零系数必须有非零系数二、向量组得探讨二、向量组得探讨(Review)向量组得极大线性无关组向量组得极
7、大线性无关组向量组得极大线性无关组向量组得极大线性无关组:1 1,2 2,s s为向量组为向量组为向量组为向量组A A得一个部分组得一个部分组得一个部分组得一个部分组(精英组合精英组合精英组合精英组合)满足满足满足满足向量组向量组向量组向量组 1 1,2 2,s s线性无关线性无关线性无关线性无关(彼此工作不可替代彼此工作不可替代彼此工作不可替代彼此工作不可替代)任意任意任意任意A A得向量可以由得向量可以由得向量可以由得向量可以由 1 1,2 2,s s线性表示线性表示线性表示线性表示(公司得任何人得工作可由精英组合完成公司得任何人得工作可由精英组合完成公司得任何人得工作可由精英组合完成公司
8、得任何人得工作可由精英组合完成)向量组得秩向量组得秩向量组得秩向量组得秩(rank):(rank):最大无关组中向量得个数最大无关组中向量得个数最大无关组中向量得个数最大无关组中向量得个数三、线性空间得基与维数三、线性空间得基与维数抽象得线性空间得元素称之为向量抽象得线性空间得元素称之为向量(vector)所有得线性空间中得向量得线性相关性定义所有得线性空间中得向量得线性相关性定义与与Rn一样一样:定义形式与向量空间定义形式与向量空间定义形式与向量空间定义形式与向量空间R Rn n中得定义一样。中得定义一样。中得定义一样。中得定义一样。有关性质与定理与有关性质与定理与有关性质与定理与有关性质与
9、定理与R Rn n中得结果一样。中得结果一样。中得结果一样。中得结果一样。因此因此,要研究线性空间要研究线性空间,只需要研究它得最大只需要研究它得最大线性无关组线性无关组-即为基即为基(basis)三、线性空间得基与维数三、线性空间得基与维数基基(basis):线性空间得极大无关组线性空间得极大无关组;维数维数(dimension):基中向量得个数基中向量得个数;常见线性空间得基与维数常见线性空间得基与维数:Fn,自然基自然基e1,e2,en,dimFn=nRm n,自然基自然基Eij,dimRm n=m n。Ft3,自然基自然基1,t,t2,dimFt3=3Ca,b,1,x,x2,x3xn-
10、1 Ca,b,dim Ca,b=约定约定:本书主要研究有限维线性空间。本书主要研究有限维线性空间。四、坐标四、坐标坐标得来历坐标得来历:设设 1,2,n就是空间就是空间V得得得得一组基一组基一组基一组基,V,可以由基可以由基 1,2,n唯一唯一线性表示线性表示=x1 1+x2 2+xn n则则x1,x2,xn就是就是 在基在基 i下得坐标。下得坐标。例例1:求求R2 2中向量中向量在基在基Eij下得坐标。下得坐标。要点要点要点要点:坐标与基有关坐标与基有关坐标与基有关坐标与基有关坐标得表达形式坐标得表达形式坐标得表达形式坐标得表达形式例例2设空间设空间Fx4得两组基为得两组基为:1,x,x2,
11、x3与与1,(x-1)1,(x-1)2,(x-1)3求求f(x)=2+3x+4x2+x3在这两组基下得坐标。在这两组基下得坐标。归纳归纳归纳归纳:有了基有了基有了基有了基,就可以将一个抽象得线性空间中得元素与就可以将一个抽象得线性空间中得元素与就可以将一个抽象得线性空间中得元素与就可以将一个抽象得线性空间中得元素与一个实际得一个实际得一个实际得一个实际得元素对应起来元素对应起来元素对应起来元素对应起来,从而将抽象具体化进从而将抽象具体化进从而将抽象具体化进从而将抽象具体化进行研究。行研究。行研究。行研究。大家学习辛苦了,还是要坚持继续保持安静继续保持安静*例例3 设设R2 2中向量组中向量组A
12、i1 讨论讨论Ai得线性相关性得线性相关性、2求向量组得秩与极大线性无关组求向量组得秩与极大线性无关组、3把其余得向量表示成极大线性无关组得把其余得向量表示成极大线性无关组得线性组合线性组合、五、基变换与坐标变换五、基变换与坐标变换讨论讨论:不同得基之间得关系不同得基之间得关系不同得基之间得关系不同得基之间得关系同一个向量在不同基下坐标之间得关系同一个向量在不同基下坐标之间得关系同一个向量在不同基下坐标之间得关系同一个向量在不同基下坐标之间得关系1基变换公式基变换公式设空间中有两组基设空间中有两组基:过渡矩阵过渡矩阵过渡矩阵过渡矩阵C C得性质得性质得性质得性质:C C为可逆矩阵为可逆矩阵为可
13、逆矩阵为可逆矩阵C C得第得第得第得第i i列就是列就是列就是列就是 i i 在基在基在基在基 i i 下得坐标下得坐标下得坐标下得坐标则则过过过过渡渡渡渡矩矩矩矩阵阵阵阵2坐标变换公式坐标变换公式已知已知空间中两组基空间中两组基:满足满足:;讨论讨论X与与Y得关系得关系 X=CYX=CY例例已知空间已知空间R中两组基中两组基(I)Eij(II);1.求从基求从基(I)到基到基(II)得过渡矩阵得过渡矩阵C。2.求向量求向量在基在基(II)得坐标得坐标Y。1、2子空间子空间 概述概述:线性空间线性空间V中中,向量集合向量集合V可以有集合可以有集合得运算与关系得运算与关系:Wi V,W1 W2,
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