2020-2021学年高中数学-第三章-不等式-3.2-第1课时-基本不等式学案新人教A版必修5.doc

2020-2021学年高中数学 第三章 不等式 3.2 第1课时 基本不等式学案新人教A版必修5

2020-2021学年高中数学 第三章 不等式 3.2 第1课时 基本不等式学案新人教A版必修5

年级：
姓名：

3.4　基本不等式：≤
第1课时　基本不等式
内　容　标　准
学　科　素　养
1.理解基本不等式的内容及证明．
2.能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小．
3.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.
发展逻辑推理
应用数学抽象

授课提示：对应学生用书第67页
[基础认识]
知识点　重要不等式与基本不等式

　对a，b∈R，a2＋b2与2ab的大小关系如何？
对正数a，b，a＋b与2的大小关系如何？
(1)第24届国际数学大会的会标抽象为正方形ABCD中有4个全等的直角三角形，如图．
直角三角形的直角边长分别为a，b.

正方形的面积为________．
提示：a2＋b2.
4个直角三角形的面积为________．
提示：2ab.
其大小关系为__________．
提示：a2＋b2≥2ab.
(2)对于a2＋b2≥2ab的一般性结论，如何证明？
提示：a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴a2＋b2≥2ab.
(3)如图，AB是圆O的直径，点Q是AB上任一点，AQ＝a，BQ＝b，过点Q作PQ垂直于AB且交圆O于点P，连接AP，PB.如何用a，b表示PO，PQ的长度？
两者间的大小关系如何？抽象出什么样的不等式？
提示：PO＝　PQ＝　PO≥PQ　≥.　　　
　知识梳理
不等式
内容
等号成立条件
重要不等式
a2＋b2≥2ab(a，b∈R)
“a＝b”时取“＝”
基本不等式
≤(a＞0，b＞0)
“a＝b”时取“＝”
一般地，对于正数a，b，为a，b的算术平均数，为a，b的几何平均数．两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，即≤.变形为ab≤2.
[自我检测]
1．x2＋y2＝4，则xy的最大值是(　　)
A.　　　　　　　 B．1
C．2 D．4
答案：C
2．给出下列条件：①ab＞0；②ab＜0；③a＞0，b＞0；④a＜0，b＜0.其中能使＋≥2成立的个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
答案：C

授课提示：对应学生用书第68页
探究一　用基本不等式比较大小
　[教材P104第6题]两次购买同一种物品，可以用两种不同的策略，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定，哪种购物方式比较经济？
探究
按第一种策略购物，设第一次购物时的价格为p1，购物的数量为n，第二次购物时的价格为p2，购物的数量仍为n，按这种策略购物时两次购物的平均价格为＝.
若按第二种策略购物，设第一次所花钱数为m，购物的数量为，第二次所花钱数仍为m，购物的数量为，两次购物的平均价格为＝＝＜＝(p1≠p2)．
∴第二种策略较经济．
[例1]　某工厂生产某种产品，第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x(a，b，x均大于零)，则(　　)
A．x＝　　　　 B．x≤
C．x＞ D．x≥
[解析]　第二年产量为B＝A(1＋a)，
第三年的产量为C＝A(1＋a)(1＋b)
若这两年的平均增长率为x，则第三年的产量C′＝A(1＋x)2，
∴A(1＋x)2＝A(1＋a)(1＋b)
∴x＝－1≤－1＝.故选B.
[答案]　B
方法技巧　基本不等式≥一端为和，一端为积，使用基本不等式比较大小要擅于利用这个桥梁化和为积或者化积为和．
跟踪探究　1.给出下列不等式
①若x∈R，则x＋≥2；
②若a＞0，b＞0，则lg a＋lg b≥2；
③若a＜0，b＜0，则ab＋≥2；
④不等式＋≥2成立的条件是x＞0且y＞0.
其中正确命题的序号是________．
解析：只有当x＞0时，才能由基本不等式得到x＋≥2＝2，故①错误；
当a＞0，b＞0时，lg a∈R，lg b∈R，不一定有lg a＞0，lg b＞0，故lg a＋lg b≥2不一定成立，故②错误；
当a＜0，b＜0时，ab＞0，由基本不等式可得ab＋≥2＝2，故③正确；
由基本不等式可知，当＞0，＞0时，有＋≥2＝2成立，这时只需x与y同号即可，故④错误．
答案：③
2．已知a＞b＞c，则与的大小关系是________．
解析：∵a－b＞0，b－c＞0，
＝≥
当且仅当a－b＝b－c时，取“＝”
答案：≤
探究二　利用基本不等式直接求最值

　[教材P99例1]方法步骤：已知x，y都是正数．
(1)若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值()2.
(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2.
[例2]　(1)已知x＞0，y＞0，且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为(　　)
A．16 B．25
C．9 D．36
(2)若正实数x，y满足x＋2y＋2xy－8＝0，则x＋2y的最小值(　　)
A．3 B．4
C. D.
(3)已知函数f(x)＝4x＋(x＞0，a＞0)在x＝3时取得最小值，求a的值．
[解析]　(1)∵x＞0，y＞0，x＋y＝8
所以(1＋x)(1＋y)＝1＋x＋y＋xy＝9＋xy≤9＋2＝9＋42＝25，
因此当且仅当x＝y＝4时，
(1＋x)·(1＋y)取最大值25.
[答案]　B
(2)因为正实数x，y满足x＋2y＋2xy－8＝0，
所以x＋2y＋2－8≥0，
设x＋2y＝t＞0，
所以t＋t2－8≥0，
所以t2＋4t－32≥0，
即(t＋8)(t－4)≥0，
所以t≥4，
故x＋2y的最小值为4.
[答案]　B
(3)因为f(x)＝4x＋≥2·＝4，
当且仅当4x＝，即4x2＝a时，f(x)取得最小值．
又因为x＝3，所以a＝4×32＝36.
延伸探究　1.将本例(2)中的条件“x＋2y＋2xy－8＝0”改为“x＋3y＋xy＝9”，其他条件不变，求x＋3y的最小值．
解析：由已知得xy＝9－(x＋3y)，即3xy＝27－3(x＋3y)≤2，当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1时取等号，令x＋3y＝t，则t＞0，且t2＋12t－108≥0，得t≥6，即x＋3y≥6.
即x＋3y的最小值为6.
延伸探究　2.将本例(1)变为：若a，b都是正数，则的最小值为(　　)
A．7 B．8
C．9 D．10
解析：因为a，b都是正数，所以＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当b＝2a＞0时取等号．
答案：C
方法技巧　利用基本不等式求最值的策略

探究三　利用基本不等式借助拼凑法求最值
[例3]　(1)已知x＞0，y＞0，且＋＝1，则3x＋4y的最小值是________．
(2)已知x＜，求f(x)＝4x－2＋的最大值．
[解析]　(1)因为x＞0，y＞0，＋＝1，所以3x＋4y＝(3x＋4y)＝13＋＋≥13＋3×2＝25(当且仅当x＝2y＝5时取等号)，
所以(3x＋4y)min＝25.
(2)因为x＜，所以4x－5＜0,5－4x＞0.f(x)＝4x－5＋3＋＝－＋3≤－2＋3＝1.
当且仅当5－4x＝时等号成立，
又5－4x＞0，
所以5－4x＝1，x＝1.
所以f(x)max＝f(1)＝1.
[答案]　(1)25　(2)见解析
延伸探究　3.本例(2)中条件改为当x＞时，求函数f(x)＝的最大值．
解析：因为x＞，所以f(x)＝≤＝＝3－2.
当且仅当x＝，即x＝时，等号成立，所以f(x)＝的最大值为3－2.
方法技巧
1．通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略
拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：
(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形．
(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标．
(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．
2．常数代换法求最值的方法步骤
常数代换法适用于求解条件最值问题．应用此种方法求解最值的基本步骤为：
(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)．
(2)把确定的定值(常数)变形为1.
(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式．
(4)利用基本不等式求解最值．

授课提示：对应学生用书第70页

[课后小结]
　(1)≤(a＞0，b＞0)．当对正数a，b赋予不同的值时，可得以下推论：
①ab≤2≤(a，b∈R)；
②＋≥2(a，b同号)；
③a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R)．
(2)用基本不等式求最值
①利用基本不等式，通过恒等变形，以及配凑，使得“和”或“积”为定值，从而求得函数最大值或最小值．这种方法在应用的过程中要把握下列三个条件：a.“一正”——各项为正数；b.“二定”——“和”或“积”为定值；c.“三相等”——等号一定能取到．这三个条件缺一不可．
②利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用基本不等式的条件．
③在求最值的一些问题中，有时看起来可以运用基本不等式求最值，但由于其中的等号取不到，所以运用基本不等式得到的结果往往是错误的，这时通常可以借助函数y＝x＋(p＞0)的单调性求得函数的最值．
[素养培优]
1．忽视“正数”条件
求函数y＝x＋的值域．
易错分析　忽略了定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，而求x＞0的值域．
自我纠正　当x＞0时，x＋≥2＝2，
当且仅当x＝，即x＝1时，等号成立，所以y≥2.
当x＜0时，x＋＝－≤－2＝－2，
当且仅当－x＝，即x＝－1时，等号成立．
所以y≤－2.
故函数y＝x＋的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)．
2．忽视等号成立条件
求函数y＝的最小值为________．
易错分析　此题变形为y＝＋，只从形式上看适合基本不等式求最值，但等号成立时，＝无意义．
自我纠正　y＝＝＝＋.
令t＝，则t∈[2，＋∞)，所以y＝t＋，t∈[2，＋∞)．
易证y＝t＋在t∈[2，＋∞)上为单调递增函数，所以y≥2＋＝.
故ymin＝.
答案：
3．忽视定值条件
函数f(x)＝2x(5－3x)，x∈(0，)的最大值为________．
易错分析　盲目使用基本不等式2x·(5－3x)≤2，强制等号成立：2x＝5－3x.
自我纠正　∵x∈，∴2x＞0,5－3x＞0，
f(x)＝2x(5－3x)＝[]2≤
2＝.
当且仅当3x＝5－3x，即x＝∈时，等号成立，故所求函数的最大值为.
答案：
4．忽视等号成立的一致性
已知x＞0，y＞0，且x＋2y＝1，则＋的最小值为(　　)
A．1＋　　　　　　　 B．3＋2
C．3 D．4
易错分析　多次使用基本不等式，而等号成立条件不一致，x＋2y≥2，与＋≥2的两次等号成立，条件不一致．
自我纠正　∵x＋2y＝1，x＞0，y＞0，
∴＋＝(x＋2y)＝3＋＋≥3＋2(当且仅当＝，即x＝y时，等号成立)．
∴x＝－1，y＝1－.
故当x＝－1，y＝1－时，＋有最小值，为3＋2.
答案：B