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一元二次方程应用题经典题型汇总
一元二次方程应用题经典题型汇总

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一元二次方程应用题经典题型汇总
同学们知道,学习了一元二次方程的解法以后，就会经常遇到解决与一元二次方程有关的生活中的应用问题，即列一元二次方程解应用题,不少同学遇到这类问题总是左右为难，难以下笔，事实上，同学们只要能认真地阅读题目，分析题意，并能学会分解题目，各个击破，从而找到已知的条件和未知问题，必要时可以通过画图、列表等方法来帮助我们理顺已知与未知之间的关系,找到一个或几个相等的式子，从而列出方程求解，同时还要及时地检验答案的正确性并作答.现就列一元二次方程解应用题中遇到的常见的十大典型题目，举例说明.
一、增长率问题
例1　恒利商厦九月份的销售额为200万元,十月份的销售额下降了20％，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升,十二月份的销售额达到了193.6万元,求这两个月的平均增长率。
解　设这两个月的平均增长率是x.，则根据题意，得200（1－20%）（1+x)2＝193.6，
即(1+x）2＝1。21，解这个方程，得x1＝0。1，x2＝－2。1（舍去）.
答　这两个月的平均增长率是10%.
说明　这是一道正增长率问题，对于正的增长率问题，在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义,即可利用公式m（1+x)2＝n求解，其中m＜n。对于负的增长率问题，若经过两次相等下降后，则有公式m（1－x）2＝n即可求解，其中m＞n。
二、商品定价
例2　益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a元,则可卖出(350－10a）件,但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，商店计划要盈利400元，需要进货多少件？每件商品应定价多少？
解　根据题意，得(a－21）(350－10a)＝400，整理，得a2－56a+775＝0，
解这个方程,得a1＝25，a2＝31。
因为21×（1+20%）＝25。2，所以a2=31不合题意,舍去.
所以350－10a＝350－10×25＝100（件）。
答　需要进货100件，每件商品应定价25元。
说明　商品的定价问题是商品交易中的重要问题，也是各种考试的热点.
三、储蓄问题
例3　王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行"，到期后将本金和利息取出,并将其中的500元捐给“希望工程",剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90％，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率。（假设不计利息税)
解　设第一次存款时的年利率为x.
则根据题意,得［1000(1+x）－500]（1+0。9x)＝530.整理,得90x2+145x－3＝0。
解这个方程,得x1≈0.0204＝2。04%，x2≈－1。63.由于存款利率不能为负数,所以将x2≈－1。63舍去。
答　第一次存款的年利率约是2.04%.
说明　这里是按教育储蓄求解的,应注意不计利息税.
四、趣味问题
例4　一个醉汉拿着一根竹竿进城,横着怎么也拿不进去，量竹竿长比城门宽4米，旁边一个醉汉嘲笑他，你没看城门高吗，竖着拿就可以进去啦，结果竖着比城门高2米，二人没办法,只好请教聪明人，聪明人教他们二人沿着门的对角斜着拿，二人一试，不多不少刚好进城,你知道竹竿有多长吗?
解　设渠道的深度为xm，那么渠底宽为（x+0。1)m,上口宽为（x+0.1+1。4）m。
则根据题意，得(x+0.1+x+1。4+0.1)·x＝1。8，整理，得x2+0.8x－1.8＝0。
解这个方程，得x1＝－1。8（舍去），x2＝1.
所以x+1。4+0。1＝1+1。4+0。1＝2。5.
答　渠道的上口宽2。5m，渠深1m.
说明　求解本题开始时好象无从下笔，但只要能仔细地阅读和口味，就能从中找到等量关系，列出方程求解.
五、古诗问题
例5　读诗词解题：（通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄)。
大江东去浪淘尽，千古风流数人物;
而立之年督东吴，早逝英年两位数；
十位恰小个位三，个位平方与寿符；
哪位学子算得快，多少年华属周瑜?
解　设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为x－3.
则根据题意，得x2＝10（x－3）+x，即x2—11x+30＝0，解这个方程，得x＝5或x＝6。
当x＝5时，周瑜的年龄25岁，非而立之年，不合题意，舍去；
当x＝6时,周瑜年龄为36岁,完全符合题意。
答　周瑜去世的年龄为36岁。
说明　本题虽然是一道古诗问题,但它涉及到数字和年龄问题,通过求解同学们应从中认真口味。
六、象棋比赛
例6　象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者记2分，输者记0分.如果平局,两个选手各记1分，领司有四个同学统计了中全部选 手的得分总数，分别是1979，1980，1984，1985.经核实，有一位同学统计无误.试计算这次比赛共有多少个选手参加.
解　设共有n个选手参加比赛，每个选手都要与(n－1）个选手比赛一局,共计n（n－1)局，但两个选手的对局从每个选手的角度各自统计了一次，因此实际比赛总局数应为n(n－1)局。由于每局共计2分，所以全部选手得分总共为n（n－1）分.显然(n－1）与n为相邻的自然数，容易验证，相邻两自然数乘积的末位数字只能是0，2,6，故总分不可能是1979，1984，1985，因此总分只能是1980，于是由n(n－1）＝1980，得n2－n－1980＝0，解得n1＝45，n2＝－44（舍去）.
答　参加比赛的选手共有45人.
说明　类似于本题中的象棋比赛的其它体育比赛或互赠贺年片等问题，都可以仿照些方法求解.
七、情景对话
例7　春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如图1对话中收费标准.
某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元.请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？
解　设该单位这次共有x名员工去天水湾风景区旅游。因为1000×25＝25000＜27000，所以员工人数一定超过25人.
则根据题意,得［1000－20(x－25)]x＝27000。
整理，得x2－75x+1350＝0，解这个方程，得x1＝45，x2＝30.
当x＝45时，1000－20(x－25)＝600＜700，故舍去x1；
当x2＝30时，1000－20（x－25）＝900＞700，符合题意。
答：该单位这次共有30名员工去天水湾风景区旅游.
说明　求解本题要时刻注意对话框中的数量关系，求得的解还要注意分类讨论，从中找出符合题意的结论.

八、等积变形
例8　将一块长18米，宽15米的矩形荒地修建成一个花园（阴影部分）所占的面积为原来荒地面积的三分之二。(精确到0。1m）
（1）设计方案1（如图2)花园中修两条互相垂直且宽度相等的小路。
(2）设计方案2（如图3）花园中每个角的扇形都相同.
以上两种方案是否都能符合条件?若能，请计算出图2中的小路的宽和图3中扇形的半径;若不能符合条件,请说明理由.
解　都能。(1)设小路宽为x，则18x+16x－x2＝×18×15，即x2－34x+180＝0，
解这个方程,得x＝，即x≈6。6.
(2）设扇形半径为r，则3.14r2＝×18×15，即r2≈57.32，所以r≈7.6.
说明　等积变形一般都是涉及的是常见图形的体积，面积公式；其原则是形变积不变；或形变积也变，但重量不变,等等.

九、动态几何问题
例9　如图4所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm,BC＝8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动.
（1）如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8平方厘米？
（2）点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半.若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由。
解　因为∠C＝90°，所以AB＝＝＝10（cm）。
（1）设xs后，可使△PCQ的面积为8cm2，所以 AP＝xcm，PC＝(6－x)cm，CQ＝2xcm。
则根据题意，得·(6－x)·2x＝8。整理,得x2－6x+8＝0，解这个方程，得x1＝2，x2＝4.
所以P、Q同时出发，2s或4s后可使△PCQ的面积为8cm2.
(2）设点P出发x秒后，△PCQ的面积等于△ABC面积的一半。
则根据题意,得（6－x)·2x＝××6×8.整理，得x2－6x+12＝0。
由于此方程没有实数根，所以不存在使△PCQ的面积等于ABC面积一半的时刻。
说明　本题虽然是一道动态型应用题，但它又要运用到行程的知识，求解时必须依据路程＝速度×时间。
十、梯子问题
例10　一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的底端距墙角6m。
（1）若梯子的顶端下滑1m，求梯子的底端水平滑动多少米？
（2）若梯子的底端水平向外滑动1m，梯子的顶端滑动多少米？
（3）如果梯子顶端向下滑动的距离等于底端向外滑动的距离，那么滑动的距离是多少米？
解　依题意，梯子的顶端距墙角＝8（m）.
（1)若梯子顶端下滑1m,则顶端距地面7m.设梯子底端滑动xm。
则根据勾股定理，列方程72+（6+x）2＝102，整理，得x2+12x－15＝0,
解这个方程，得x1≈1.14，x2≈－13.14(舍去),
所以梯子顶端下滑1m,底端水平滑动约1。14m。
（2）当梯子底端水平向外滑动1m时,设梯子顶端向下滑动xm.
则根据勾股定理，列方程（8－x)2+（6+1)2＝100。整理，得x2－16x+13＝0。
解这个方程,得x1≈0。86，x2≈15。14（舍去）.
所以若梯子底端水平向外滑动1m,则顶端下滑约0.86m.
（3）设梯子顶端向下滑动xm时，底端向外也滑动xm。
则根据勾股定理,列方程 （8－x)2+（6+x）2＝102,整理,得2x2－4x＝0,
解这个方程，得x1＝0（舍去），x2＝2.
所以梯子顶端向下滑动2m时，底端向外也滑动2m。
说明　求解时应注意无论梯子沿墙如何上下滑动，梯子始终与墙上、地面构成直角三角形.
十一、航海问题
例11　如图5所示,我海军基地位于A处，在其正南方向200海里处有一重要目标B，在B的正东方向200海里处有一重要目标C，小岛D恰好位于AC的中点，岛上有一补给码头；小岛F位于BC上且恰好处于小岛D的正南方向，一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航．一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送往军舰。
(1）小岛D和小岛F相距多少海里？
(2）已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处，那么相遇时补给船航行了多少海里？（精确到0.1海里）
解(1）F位于D的正南方向,则DF⊥BC.因为AB⊥BC，D为AC的中点，所以DF＝AB＝100海里，所以，小岛D与小岛F相距100海里。
(2）设相遇时补给船航行了x海里，那么DE＝x海里,AB+BE＝2x海里，EF＝AB+BC－（AB+BE）－CF＝(300－2x）海里。
在Rt△DEF中，根据勾股定理可得方程x2＝1002+（300－2x）2，整理，得3x2－1200x+100000＝0.
解这个方程，得x1＝200－≈118.4，x2＝200+(不合题意，舍去）.
所以,相遇时补给船大约航行了118。4海里.
说明　求解本题时,一定要认真地分析题意，及时发现题目中的等量关系，并能从图形中寻找直角三角形，以便正确运用勾股定理布列一元二次方程。
十二、图表信息
例12　如图6所示，正方形ABCD的边长为12，划分成12×12个小正方形格,将边长为n(n为整数，且2≤n≤11）的黑白两色正方形纸片按图中的方式，黑白相间地摆放,第一张n×n的纸片正好盖住正方形ABCD左上角的n×n个小正方形格,第二张纸片盖住第一张纸片的部分恰好为（n－1)×（n－1）个小正方形。如此摆放下去，直到纸片盖住正方形ABCD的右下角为止。
请你认真观察思考后回答下列问题：
（1)由于正方形纸片边长n的取值不同，完成摆放时所使用正方形纸片的张数也不同，请填写下表：
纸片的边长n
2
3
4
5
6
使用的纸片张数

(2）设正方形ABCD被纸片盖住的面积(重合部分只计一次）为S1，未被盖住的面积为S2。
①当n＝2时，求S1∶S2的值；
②是否存在使得S1＝S2的n值？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由。
解（1）依题意可依次填表为：11、10、9、8、7。
（2）S1＝n2+(12－n)［n2－（n－1）2］＝－n2+25n－12。
①当n＝2时，S1＝－22+25×2－12＝34，S2＝12×12－34＝110。
所以S1∶S2＝34∶110＝17∶55。
②若S1＝S2，则有－n2+25n－12＝×122，即n2－25n+84＝0，
解这个方程，得n1＝4，n2＝21（舍去）。
所以当n＝4时，S1＝S2。所以这样的n值是存在的。
说明　求解本题时要通过阅读题设条件及提供的图表，及时挖掘其中的隐含条件，对于求解第（3)小题，可以先假定问题的存在，进而构造一元二次方程，看得到的一元二次方程是否有实数根来加以判断.
十三、探索在在问题
例13　将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形.
(1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?
（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗？ 若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由.
解（1)设剪成两段后其中一段为xcm,则另一段为(20－x）cm。
则根据题意，得+＝17,解得x1＝16,x2＝4，
当x＝16时,20－x＝4，当x＝4时，20－x＝16，
答　这段铁丝剪成两段后的长度分别是4cm和16cm。
（2）不能。理由是：不妨设剪成两段后其中一段为ycm，则另一段为（20－y）cm。则由题意得+＝12，整理,得y2－20y+104＝0，移项并配方，得(y－10）2＝－4＜0,所以此方程无解，即不能剪成两段使得面积和为12cm2。
说明　本题的第(2）小问也可以运用求根公式中的b2－4ac来判定.若b2－4ac≥0,方程有两个实数根,若b2－4ac＜0，方程没有实数根，本题中的b2－4ac＝－16＜0即无解.
十四、平分几何图形的周长与面积问题
例14　如图7，在等腰梯形ABCD中,AB＝DC＝5,AD＝4,BC＝10.点E在下底边BC上，点F在腰AB上.
（1）若EF平分等腰梯形ABCD的周长，设BE长为x，试用含x的代数式表示△BEF的面积;
(2)是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分?若存在，求出此时BE的长;若不存在,请说明理由;
（3)是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1∶2的两部分？若存在,求此时BE的长；若不存在，请说明理由.
解（1）由已知条件得，梯形周长为12,高4,面积为28。
过点F作FG⊥BC于G，过点A作AK⊥BC于K。
则可得，FG＝×4,
所以S△BEF＝BE·FG＝－x2+x(7≤x≤10）。
（2）存在.由（1）得－x2+x＝14，解这个方程，得x1＝7，x2＝5（不合题意，舍去），
所以存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长与面积同时平分，此时BE＝7。
(3）不存在。假设存在，显然有S△BEF∶S多边形AFECD ＝1∶2，
即（BE+BF)∶(AF+AD+DC)＝1∶2.则有－x2+x＝，
整理，得3x2－24x+70＝0，此时的求根公式中的b2－4ac＝576－840＜0，
所以不存在这样的实数x.即不存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1∶2的两部分.
说明　求解本题时应注意:一是要能正确确定x的取值范围；二是在求得x2＝5时，并不属于7≤x≤10，应及时地舍去;三是处理第（3）个问题时的实质是利用一元二次方程来探索问题的存在性。
十五、利用图形探索规律
例15　在如图8中,每个正方形有边长为1 的小正方形组成:

图8

（1）观察图形,请填写下列表格:
正方形边长
1
3
5
7
…
n（奇数)
黑色小正方形个数

…

正方形边长
2
4
6
8
…
n（偶数）
黑色小正方形个数

…

（2）在边长为n（n≥1）的正方形中,设黑色小正方形的个数为P1，白色小正方形的个数为P2，问是否存在偶数n,使P2＝5P1？若存在，请写出n的值；若不存在，请说明理由.
解（1）观察分析图案可知正方形的边长为1、3、5、7、…、n 时,黑色正方形的个数为1、5、9、13、2n－1（奇数）；正方形的边长为2、4、6、8、…、n 时，黑色正方形的个数为4、8、12、16、2n(偶数).
（2）由（1）可知n为偶数时P1＝2n，所以P2＝n2－2n.根据题意，得n2－2n＝5×2n,即n2－12n＝0，解得n1＝12，n2＝0（不合题意,舍去).所以存在偶数n＝12，使得P2＝5P1.
说明　本题的第(2）小问是属于存在性问题，求解时，可以先假设结论存在，进而从中找到数量关系,使问题获解。
综上所言，列一元二次方程解应用题是列一元一次方程、二元一次方程组解应用题的延续和发展,列方程解应用题就是先把实际问题抽象为方程模型，然后通过解方程获得对实际问题的解决.列一元二次方程解应用题的关键是：找出未知量与已知量之间的联系，从而将实际问题转化为方程模型，要善于将普通语言转化为代数式，在审题时，要特别注意关键词语，如“多少、快、慢、和、差、倍、分、超过、剩余、增加、减少”等等,此外，还要掌握一些常用的公式或特殊的等量关系,如特殊图形的面积公式、行程问题、工程问题、增长率问题中的一些特殊关系等等。