解三角形知识点总结及典型例题.doc

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课前复习
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
1两角和与差的正弦公式,
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ,
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ.
2两角和与差的余弦公式,
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
cos(α-β)=cosαcos+sinαsinβ
3两角和、差的正切公式
tan(α+β)= （）；
tan(α-β)=（）．
简单的三角恒等变换
二倍角的正弦、余弦和正切公式：
⑴．
⑵
升幂公式
降幂公式，
⑶
默写上述公式，检查上次的作业 课本上的!解三角形知识点总结及典型例题
一、 知识点复习
1、正弦定理及其变形

2、正弦定理适用情况：
（1）已知两角及任一边
（2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）
已知a，b和A，求B时的解的情况:
如果，则B有唯一解；如果，则B有两解；
如果，则B有唯一解；如果，则B无解.
3、余弦定理及其推论

4、余弦定理适用情况：
（1）已知两边及夹角；（2）已知三边.
5、常用的三角形面积公式
（1）；
（2）（两边夹一角）.
6、三角形中常用结论
（1）；
（2）.
（3）在△ABC中，，所以；；.
.

二、典型例题
题型1
边角互化
[例1 ]在中，若，则角的度数为
【解析】由正弦定理可得，,令依次为，
则===
因为，所以
[例2 ] 若、、是的三边，，则函数的图象与轴( )
A、有两个交点 B、有一个交点 C、没有交点 D、至少有一个交点
【解析】由余弦定理得，所以=，因为1,所以0，因此0恒成立，所以其图像与轴没有交点。
题型2 三角形解的个数
[例3]在中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是( )
A、，，； B、，，；
C、，，； D、，，。
题型3 面积问题
[例4] 的一个内角为，并且三边构成公差为的等差数列，则的面积为
【解析】设△ABC的三边分别：，
∠C=120°，∴由余弦定理得：，解得：，
∴三边分别为6、10、14，
.
题型4 判断三角形形状
[例5] 在中，已知,判断该三角形的形状。
【解析】把已知等式都化为角的等式或都化为边的等式。
方法一：

由正弦定理，即知

由，得或,
即为等腰三角形或直角三角形.

方法二：同上可得
由正、余弦定理，即得：

即
或,
即为等腰三角形或直角三角形.
【点拨】判断三角形形状问题，一是应用正弦定理、余弦定理将已知条件转化为边与边之间的关系，通过因式分解等方法化简得到边与边关系式，从而判断出三角形的形状；（角化边）
二是应用正弦定理、余弦定理将已知条件转化为角与角之间三角函数的关系，通过三角恒等变形以及三角形内角和定理得到内角之间的关系，从而判断出三角形的形状。（边化角）
题型5 正弦定理、余弦定理的综合运用
[例6]在中，分别为角的对边，且且
（1）当时，求的值；
（2）若角为锐角，求的取值范围。
【解析】（1）由题设并由正弦定理，得，解得，或
（2）由余弦定理，=
即，因为，所以，由题设知，
所以.
三、课堂练习：
1、满足，，的的个数为，则为 .
2、 已知，，解三角形。

3、在中，已知，，，如果利用正弦定理解三角形有两解，则的取值范围是( )
A、 B、 C、 D、
4、 在中，若则角 .

5、设是外接圆的半径，且，试求面积的最大值。

6、在中，为边上一点，，，，求.

7、在中，已知分别为角的对边，若，试确定形状。

8、在中，分别为角的对边，已知
（1）求；
（2）若求的面积。

四、课后作业
1、在中，若，且，则是
A、等边三角形 B、钝角三角形
C、直角三角形 D、等腰直角三角形
2、中若面积S=则角
3、清源山是国家级风景名胜区，山顶有一铁塔，在塔顶处测得山下水平面上一点的俯角为，在塔底处测得点的俯角为，若铁塔的高为，则清源山的高度为 。
A、 B、
C、 D、
4、 的三个内角为，求当为何值时，取得最大值，并求出这个最大值。

5、在中，分别为角的对边，且满足
（1）求角的大小
（2）求的最大值，并求取得最大值时角的大小。

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