等腰三角形、中垂线、角平分线培优题.doc

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1．如图，已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD，且交OE于点F．
（1）求证：OE是CD的垂直平分线．
（2）若∠AOB=60°，请你探究OE，EF之间有什么数量关系？并证明你的结论．
A
B
C
D
A
B
C
P
Q
M
N

1 2 3
2、如图，BD是四边形ABCD中∠ABC的平分线，∠A＋∠C＝180°，求证：DA＝CD

3、如图，在△ABC中，∠BAC＝α＞90°，PM、QN分别垂直平分AB、AC，垂足分别为M、N，交BC于P、Q，求∠PAQ的度数。

4、如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，FE垂直平分AD，E为垂足，EF交BC的延长线于F，求证：∠CAF＝∠B
A
B
C
D
E
F

4 5
5、已知：如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BD平分∠ABC，CE⊥BD的延长线于E. 求证：BD=2CE.

6、已知，如图，等边△ABC，AB＝6㎝，点M从点B开始沿BA边向点A以1㎝/秒的速度运动，点N从点C开始沿AC的延长线以1㎝/秒的速度运动，M、N分别从B、C同时出发，当点M到达端点A时，停止运动。（1）设线段MN与线段BC交于点P，试判断点P与线段MN的位置关系，并证明你的结论。（2）当M、N运动几秒时，△AMN为直角三角形？
（3）过点P作MN的垂线交∠BAC的平分线AD于Q点，在M、N两点的运动过程中，给出下列两个结论：①Q点为AD上的一个定点；②线段PQ的长度不变，其中有且只有一个结论是正确的，请你判断哪一个结论是正确的，证明正确的结论并求出其值。
A
C
B
P
M
N
A
C
B
P
M
N
Q
D

7.如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD、CE相交于O点，求证：AE＋CD=AC.
D
O
C
E
B
A
A
D
E
C
B

7 8 9
8、如图所示，已知AD//BC，AE平分∠DAB，BE平分∠ABC，直线DC过点E交AD于点D，交BC于点C，求证：（1）E为DC的中点；（2）AD＋BC=AB.

9．如图，△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=6cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．
（1）出发2秒后，求△ABP的周长．
（2）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？
（3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒2cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分？

10．已知△ABC的角平分线AP与边BC的垂直平分线PM相交于点P，作PK⊥AB，PL⊥AC，垂足分别是K、L，
求证：BK=CL．

10 11
11．在△ABC中，AD是∠BAC的平分线．
（1）如图1，求证：；（2）如图，若AB=5，AC=4，BC=6．求BD的长．
12．已知∠MAN=120°，AC平分∠MAN，点B、D分别在AN、AM上．（1）如图1，若∠ABC=∠ADC=90°，请你探索线段AD、AB、AC之间的数量关系，并证明之；
（2）如图2，若∠ABC+∠ADC=180°，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，
给出证明；若不成立，请说明理由.

12 13
13．已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=6，点D在边BC上，AD平分∠CAB，E为AC上的一个动点（不与A、C重合），EF⊥AB，垂足为F．
（1）求证：AD=DB；（2）设CE=x，BF=y，求y关于x的函数解析式；
（3）当∠DEF=90°时，求BF的长？
14．如图，△ABC与△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠D=90°，AB=AC=．现将△DEF与△ABC按如图所示的方式叠放在一起．现将△ABC保持不动，△DEF运动，且满足：点E在边BC上运动（不与B、C重合），且边DE始终经过点A，EF与AC交于M点．请问：在△DEF运动过程中，△AEM能否构成等腰三角形？若能，请求出BE的长；若不能，请说明理由．

14 15
15．平面直角坐标系xOy中，已知定点A（1，0）和B（0，1）．
（1）如图1，若动点C在x轴上运动，则使△ABC为等腰三角形的点C有几个？
（2）过A、B向直线l：y=﹣2x作垂线，垂足分别为M，N（如图2），试判断线段AM、BN、MN之间的数量关系，并说明理由．
（3）过A、B向动直线l：y=kx（k＞0）作垂线，垂足分别为M，N，请直接写出线段AM、BN、MN之间的数量关系．

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