特殊三角形知识点归纳及练习.docx

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《特殊三角形》知识点归纳及练习

【概念梳理】
▲特殊三角形：等腰三角形、等边三角形、直角三角形。

一、等腰三角形
1．等腰三角形的性质：
①等腰三角形两腰_______；等腰三角形两底角______(即在同一个三角形中，等边对__________)；
②等腰三角形三线合一，这三线是指________________、________________、________________，也就是说这三线为同一条线段；
③等腰三角形是________图形，它的对称轴有_________条。
2．等腰三角形的判定：
①有____边相等的三角形是等腰三角形；
②有_____相等的三角形是等腰三角形（即在同一个三角形中，等角对_____）。

二、等边三角形
1．等边三角形的性质：
①等边三角形各条边______，各内角_______，且都等于_____；
②等边三角形是______图形，它有____条对称轴。
2．等边三角形的判定：
①有____边相等的三角形是等边三角形；
②有三个角都是______的三角形是等边三角形；
③有两个角都是______的三角形是等边三角形；
④有一个角是______的______ 三角形是等边三角形。

三、直角三角形
1．直角三角形的性质：
①直角三角形两锐角_______；
②直角三角形斜边上的中线等于_______；
③直角三角形两直角边的平方和等于________（即勾股定理）。
④30°角所对的直角边等于斜边的________
2．直角三角形的判定：
①有一个角是______的三角形是直角三角形；
②有两个角_______的三角形是直角三角形；
③两边的平方和等于_______的三角形是直角三角形。

四、常用方法（数学思维）
1. 分类讨论思想（特别是在语言模糊的等腰三角形中）；
2. 方程思想：主要用在折叠之后产生直角三角形时，运用勾股定理列方程；还有就是在等腰三角形中求角度，求边长；
3.等面积法。

【例题精讲】
一、等腰三角形的性质及判定
例1：已知等腰三角形一腰上的中线把周长分为18cm和21cm两部分，则它的三边长为________________

例2：如图，AB=AC，BD=BC，若∠A=40°，则∠ABD的度数是（ ）

A．20° B．30° C．35° D．40°
例3：如图所示，在等腰△ABC中，AD是BC边上的中线，点E在AD上。求证：BE=CE。

例4：如图，点D和点E在BC上，AB=AC，AD=AE，求证：BD=CE

例5：已知：D、E为BC边上的点，AD=AE，BD=EC．求证：AB=AC．

例6： 如图，在△ABC和△DCB中，AC与BD相交于点O．AB=DC，AC=BD．
（1）求证：△ABC≌△DCB；
（2）△OBC的形状是________ 等腰三角形
．（直接写出结论，不需证明）

例7：如图，△ABC中，已知∠B和∠C的平分线相交于点F，经过点F作DE∥BC，交AB于D，交AC于点E，若BD+CE=9，则线段DE的长为（　　）

A．9 B.8 C.7 D. 6
A
C
D
E
B
M
例8：如图，AB=AE，BC=DE，∠ABC=∠AED，M为CD中点，求证：AM⊥CD

二、等边三角形的性质及判定
例1：如图，已知等边△ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数为（ ）

A．45° B．60° C．55° D．75°
例2：如图，△ABC,△ADE及△EFG都是等边三角形，D,G分别为AC和AE的中点．若AB=4时，则图形ABCDEFG外围的周长是

例3：一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北偏西20°的方向行驶40海里到达C地，则A、C两地相距（　　）
:
A．30海里 B．40海里 C．50海里 D．60海里

例4：如图，在等边△ABC中，AF=BD=CE，则△DEF也是等边△，请说明理由.

三、直角三角形和勾股定理
例1：如果三角形的三个内角的比是1：2：3，那么这个三角形的是（ ）
A．锐角三角形 B.直角三角形
C．钝角三角形 D.锐角三角形或钝角三角
例2、如图，在△ABC中，∠C=2∠B，D是BC上的一点，且AD⊥AB，点E是BD的中点，连AE。
求证：（1）∠AEC=∠C；（2）BD=2AC。

例3：已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=8cm，D为AB中点，DE⊥AC于E，∠A=30°，求BC，CD和DE的长。

例4：轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上，则C处与灯塔A的距离是（　　）海里．
A．25 B．25 C．50 D．25

例5：如果的三边长满足关系式，则
=________，=________，=________，的形状是______________.

例6：在△ABC中，CD是AB边上的高，AC=4，BC=3，DB=.
(1) 求AD的长；
(2) △ABC是直角三角形吗？请说明理由.

【巩固提高】
一、选择题
1．下列图形中，不一定是轴对称图形的是 ( )
A．线段 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．圆
2．若等腰三角形的两边长分别为4和9，则周长为( )
A．17 B．22 C．13 D．17或22
3．如果三角形一边上的高平分这条边所对的角，那么此三角形一定是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
4．小明将两个全等且有一个角为60°的直角三角板拼成如图所示的图形，其中两条较长直角边在同一直线上，则图中等腰三角形的个数是( )
A．4 B．3 C．2 D．1

5．如图，已知在△ABC中，∠ABC=90°，∠A=30°，BD⊥AC，DE⊥BC，D，E为垂足，下列结论正确的是( )
A．AC=2AB B．AC=8EC C．CE=BD D．BC=2BD
6．有四个三角形，分别满足下列条件：(1)一个角等于另外两个内角之和；(2)三个内角之比为3：4：5；(3)三边之比为5：12：13；(4)三边长分别为5，24，25．其中直角三角形有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图，EA⊥AB，BC⊥AB，AB=AE=2BC，D为AB的中点，有以下判断：①DE=AC；②DE⊥AC；③∠CAB=30°；④∠EAF=∠ADE．其中正确结论的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图，以点A和点B为两个顶点作位置不同的等腰直角三角形，一共可以作出( )
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个

9．如图所示，已知△ABC中，AB=6，AC=9，AD⊥BC于D，M为AD上任一点，则MC2=MB2等于 ( )
A．9 B．35 C．45 D．无法计算
10．若△ABC是直角三角形，两条直角边分别为5和12，在三角形内有一
点D，D到△ABC各边的距离都相等，则这个距离等于 ( )
A．2 B．3 C．4 D．5

二、填空题
11．已知等腰三角形中顶角的度数是底角的3倍，那么底角的度数是________．
12．已知等腰△ABC的底边BC=8cm，且|AC-BC|=2cm，那么腰AC的长为__________．
13．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条小路，他们仅仅少走了_______步路，(假设2步为1m)，却踩伤了花革．

14．如图，在△ABC中，AB=5cm，BC=12cm，AC=13cm，那么AC边上的中线BD的长为______cm．
15．已知，如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE=CD，不添加辅助线,请你写出三个正确结论：(1)____________；(2)_____________；(3)_____________．
16．已知，如图，正方形ABCD中，对角线AC和BD相交于点0，E，F分别是边AD，DC上的点，若AE=4cm，FC=3cm，且0E⊥0F，则EF=______cm．

三、解答题
17．如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC边上，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，添加一个条件，使DE=DF．

18．如图，已知∠AOB=30°，0C平分∠AOB，P为OC上一点，PD∥0A交OB于D，PE⊥OA于E，如果OD=4，求PE的长.

19．如图，△ABC是等边三角形，ABCD是等腰直角三角形，其中∠BCD=90°，求∠BAD的度数．

20．如图，E为等边三角形ABC边AC上的点，∠1=∠2，CD=BE，判断△ADE的形状．

21．如图所示，已知：在△ABC中，∠A=80°，BD=BE，CD=CF．求∠EDF的度数．

22．如图，已知点B，C，D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形，BE交AC于点F，AD交CE于点H．(1)说明：△BCE≌△ACD；(2)说明：CF=CH；(3)判断△CFH的形状并说明理由．

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