重点高中自招必备-九年级-专题25-平面几何的最值问题.doc
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1、初中自招必备领先一步专题25 平面几何的最值问题 阅读与思考 几何中的最值问题是指在一定的条件下,求平面几何图形中某个确定的量(如线段长度、角度大小、图形面积)等的最大值或最小值 求几何最值问题的基本方法有: 1特殊位置与极端位置法:先考虑特殊位置或极端位置,确定最值的具体数据,再进行一般情形下的推证 2几何定理(公理)法:应用几何中的不等量性质、定理3数形结合法等:揭示问题中变动元素的代数关系,构造一元二次方程、二次函数等例题与求解【例1】在RtABC中,CB=3,CA=4,M为斜边AB上一动点过点M作MDAC于点D,过M作MECB于点E,则线段DE的最小值为 (四川省竞赛试题)解题思路:四
2、边形CDME为矩形,连结CM,则DE= CM,将问题转化为求CM的最小值 【例2】如图,在矩形ABCD中,AB=20cm,BC=10cm若在AC,AB上各取一点M,N,使BM+MN的值最小,求这个最小值(北京市竞赛试题) 解题思路:作点B关于AC的对称点B,连结BM,BA,则BM= BM,从而BM+MN= BM+MN要使BM+MN的值最小,只需使BM十MN的值最小,当B,M,N三点共线且BNAB时,BM+MN的值最小【例3】如图,已知ABCD,AB=a,BC=b(),P为AB边上的一动点,直线DP交CB的延长线于Q求AP+BQ的最小值 (永州市竞赛试题) 解题思路:设AP=,把AP,BQ分别用
3、的代数式表示,运用不等式以或a+b2(当且仅当a=b时取等号)来求最小值【例4】阅读下列材料: 问题 如图1,一圆柱的底面半径为5dm,高AB为5dm,BC是底面直径,求一只蚂蚁从A点出发沿圆柱表面爬行到C点的最短路线 小明设计了两条路线: 路线1:侧面展开图中的线段AC如图2所示 设路线l的长度为l1,则l12 =AC2=AB2 +BC2 =25+(5) 2=25+252 路线2:高线AB十底面直径BC如图1所示 设路线l的长度为l2,则l22 = (BC+AB)2=(5+10)2 =225 l12 l22 = 25+252225=252200=25(28),l12 l22 , l1l2 所
4、以,应选择路线2(1)小明对上述结论有些疑惑,于是他把条件改成:“圆柱的底面半径为1分米,高AB为5分米”继续按前面的路线进行计算请你帮小明完成下面的计算: 路线1:l12=AC2= 25+2; 路线2:l22=(AB+BC)2= 49 l12 l22,l1 l2(填“”或“”),所以应选择路线 1(填“1”或“2”)较短(2)请你帮小明继续研究:在一般情况下,当圆柱的底面半径为r,高为h时,应如何选择上面的两条路线才能使蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到C点的路线最短 (衢州市中考试题) 解题思路:本题考查平面展开一最短路径问题比较两个数的大小,有时比较两个数的平方比较简便比较两个数的平方,通常
5、让这两个数的平方相减【例5】如图,已知边长为4的正方形钢板,有一个角锈蚀,其中AF=2,BF=1为了合理利用这块钢板,将在五边形EABCD内截取一个矩形块MDNP,使点P在AB上,且要求面积最大,求钢板的最大利用率 (中学生数学智能通讯赛试题)解题思路:设DN=x,PN=y,则S=建立矩形MDNP的面积S与x的函数关系式,利用二次函数性质求S的最大值,进而求钢板的最大利用率【例6】如图,在四边形ABCD中,AD=DC=1,DAB=DCB=90,BC,AD的延长线交于P,求ABSPAB的最小值 (中学生数学智能通讯赛试题)解题思路:设PD=x(x1),根据勾股定理求出PC,证RtPCDRtPAB
6、,得到,求出AB,根据三角形的面积公式求出y=ABSPAB,整理后得到y4,即可求出答案能力训练A级1如图,将两张长为8、宽为2的矩形纸条交叉,使重叠部分是一个菱形容易知道当两张纸条垂直时,菱形的周长有最小值,那么菱形周长的最大值是 (烟台市中考试题) 2D是半径为5cm的O内一点,且OD=3cm,则过点O的所有弦中,最短的弦AB= cm (广州市中考试题)3如图,有一个长方体,它的长BC=4,宽AB=3,高BB1=5一只小虫由A处出发,沿长方体表面爬行到C1,这时小虫爬行的最短路径的长度是 (“希望杯”邀请赛试题) 第1题图 第3题图 第4题图 第5题图 4如图,在ABC中,AB=10,AC
7、=8,BC=6,经过点C且与边AB相切的动圆与CB,CA分别相交于点E,F,则线段EF长度的最小值是( ) (兰州市中考试题)A4 B4.75 C5 D4.8 5如图,圆锥的母线长OA=6,底面圆的半径为2一小虫在圆锥底面的点A处绕圆锥侧面一周又回到点A,则小虫所走的最短距离为( ) (河北省竞赛试题) A12 B4 C6 D6 6如图,已知MON= 40,P是MON内的一定点,点A,B分别在射线OM,ON上移动,当PAB周长最小时,APB的值为( ) (武汉市竞赛试题) A80 B100 C120 D140 7如图,是以等边三角形ABC一边AB为半径的四分之一圆周,P为AD上任意一点若AC=
8、5,则四边形ACBP周长的最大值是( ) (福州市中考试题) A15 B20 C15+5 D15+5 第6题图 第7题图 第8题图 8如图,在正方形ABCD中,AB=2,E是AD边上一点(点E与点A,D不重合),BE的垂直平分线交AB于M,交DC与N (1) 设AE=x,四边形ADNM的面积为S,写出S关于x的函数关系式(2) 当AE为何值时,四边形ADNM的面积最大?最大值是多少? (山东省中考试题) 9如图,六边形ABCDEF内接于半径为r的O,其中AD为直径,且AB=CD=DE=FA (1) 当BAD=75时,求的长; (2) 求证:BCADFE; (3) 设AB=,求六边形ABCDEF
9、的周长l关于x的函数关系式,并指出x为何值时,l取得最大值 10如图,已知矩形ABCD的边长AB=2,BC=3,点P是AD边上的一动点(P异于A、D)Q是BC边上任意一点连结AQ,DQ,过P作PEDQ交于AQ于E,作PF/AQ交DQ于F (1) 求证:APEADQ; (2) 设AP的长为x,试求PEF的面积SPEF关于x的函数关系式,并求当P在何处时,SPEF取得最大值?最大值为多少?(3) 当Q在何处时,ADQ的周长最小?(须给出确定Q在何处的过程或方法,不必证明) (无锡市中考试题) 11在等腰ABC中,AB=AC=5,BC=6动点M,N分别在两腰AB,AC上(M不与A,B重合,N不与A,
10、C重合),且MNBC将AMN沿MN所在的直线折叠,使点A的对应点为P (1)当MN为何值时,点P恰好落在BC上? (2)设MN=x,MNP与等腰ABC重叠部分的面积为y,试写出y与x的函数关系式,当x为何值时,y的值最大,最大值是多少? (宁夏省中考试题)B级1已知凸四边形ABCD中,AB+AC+CD= 16,且S四边彤ABCD=32,那么当AC= ,BD= 时,四边形ABCD面积最大,最大值是 (“华杯赛”试题)2如图,已知ABC的内切圆半径为r,A=60,BC=2,则r的取值范围是 (江苏省竞赛试题) 第2题图 第3题图 第4题图 第5题图3如图O的半径为2,O内的一点P到圆心的距离为1,
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