双曲线及其标准方程测试题及解析人教版.doc

双曲线及其标准方程测试题及解析（人教版）

§2.2双曲线
2.2.1双曲线及其标准方程
课时目标1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题．
1．双曲线的有关概念
(1)双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于________)的点的轨迹叫做双曲线．
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于|F1F2|时的点的轨迹为
__________________________________________．
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值大于|F1F2|时的点的轨迹__________．
(2)双曲线的焦点和焦距
双曲线定义中的两个定点F1、F2叫做________________，两焦点间的距离叫做________________．
2．双曲线的标准方程
(1)焦点在x轴上的双曲线的标准方程是________________，焦点F1__________，F2__________.
(2)焦点在y轴上的双曲线的标准方程是________________________，焦点F1________，F2__________.
(3)双曲线中a、b、c的关系是____________．
一、选择题
1．已知平面上定点F1、F2及动点M，命题甲：||MF1|－|MF2||＝2a(a为常数)，命题乙：M点轨迹是以F1、F2为焦点的双曲线，则甲是乙的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．若ax2＋by2＝b(ab0)，则这个曲线是()
A．双曲线，焦点在x轴上
B．双曲线，焦点在y轴上
C．椭圆，焦点在x轴上
D．椭圆，焦点在y轴上
3．焦点分别为(－2,0)，(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为()
A．x2－y23＝1B.x23－y2＝1
C．y2－x23＝1D．x22－y22＝1
4．双曲线x2m－y23＋m＝1的一个焦点为(2,0)，则m的值为()
A．12B．1或3
C．1＋22D．2－12
5．一动圆与两圆：x2＋y2＝1和x2＋y2－8x＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹为()
A．抛物线B．圆
C．双曲线的一支D．椭圆
6．已知双曲线中心在坐标原点且一个焦点为F1(－5，0)，点P位于该双曲线上，线段PF1的中点坐标为(0,2)，则该双曲线的方程是()
A．x24－y2＝1B．x2－y24＝1
C．x22－y23＝1D．x23－y22＝1
题号123456
答案
二、填空题
7．设F1、F2是双曲线x24－y2＝1的两个焦点，点P在双曲线上，且PF1→PF2→＝0，则|PF1||PF2|＝______.
8．已知方程x21＋k－y21－k＝1表示双曲线，则k的取值范围是________．
9．F1、F2是双曲线x29－y216＝1的两个焦点，P在双曲线上且满足|PF1||PF2|＝32，则∠F1PF2＝______.
三、解答题
10．设双曲线与椭圆x227＋y236＝1有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A的纵坐标为4，求此双曲线的标准方程．

11．在△ABC中，B(4,0)、C(－4,0)，动点A满足sinB－sinC＝12sinA，求动点A的轨迹方程．

能力提升
12．若点O和点F(－2，0)分别为双曲线x2a2－y2＝1(a0)的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则OP→FP→的取值范围为()
A．[3－23，＋∞)B．[3＋23，＋∞)
C．[－74，＋∞)D．[74，＋∞)
13．已知双曲线的一个焦点为F(7，0)，直线y＝x－1与其相交于M，N两点，MN中点的横坐标为－23，求双曲线的标准方程．
1．双曲线的标准方程可以通过待定系数法求得．
2．和双曲线有关的轨迹问题要按照求轨迹方程的一般步骤来解，也要和双曲线的定义相结合．
3．直线和双曲线的交点问题可以转化为解方程组(设而不求)，利用韦达定理，弦长公式等解决．
§2.2双曲线
2．2.1双曲线及其标准方程
答案
知识梳理
1．(1)|F1F2|以F1，F2为端点的两条射线不存在(2)双曲线的焦点双曲线的焦距
2．(1)x2a2－y2b2＝1(a0，b0)(－c,0)(c,0)
(2)y2a2－x2b2＝1(a0，b0)(0，－c)(0，c)
(3)c2＝a2＋b2
作业设计
1．B[根据双曲线的定义，乙⇒甲，但甲乙，
只有当2a|F1F2|且a≠0时，其轨迹才是双曲线．]
2．B[原方程可化为x2ba＋y2＝1，因为ab0，所以ba0，所以曲线是焦点在y轴上的双曲线，故选B.]
3．A[∵双曲线的焦点在x轴上，
∴设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)．
由题知c＝2，∴a2＋b2＝4.①
又点(2,3)在双曲线上，∴22a2－32b2＝1.②
由①②解得a2＝1，b2＝3，
∴所求双曲线的标准方程为x2－y23＝1.]
4．A[∵双曲线的焦点为(2,0)，在x轴上且c＝2，
∴m＋3＋m＝c2＝4.∴m＝12.]
5．C[由题意两定圆的圆心坐标为O1(0,0)，O2(4,0)，设动圆圆心为O，动圆半径为r，则|OO1|＝r＋1，|OO2|＝r＋2，∴|OO2|－|OO1|＝1|O1O2|＝4，故动圆圆心的轨迹为双曲线的一支．]
6．B[设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1，因为c＝5，c2＝a2＋b2，所以b2＝5－a2，所以
x2a2－y25－a2＝1.由于线段PF1的中点坐标为(0,2)，则P点的坐标为(5，4)．代入双曲线方程得5a2－165－a2＝1，解得a2＝1或a2＝25(舍去)，所以双曲线方程为x2－y24＝1.故选B.]
7．2
解析∵||PF1|－|PF2||＝4，
又PF1⊥PF2，|F1F2|＝25，
∴|PF1|2＋|PF2|2＝20，∴(|PF1|－|PF2|)2
＝20－2|PF1||PF2|＝16，∴|PF1||PF2|＝2.
8．－1k1
解析因为方程x21＋k－y21－k＝1表示双曲线，
所以(1＋k)(1－k)0.所以(k＋1)(k－1)0.
所以－1k1.
9．90°
解析设∠F1PF2＝α，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2.
在△F1PF2中，由余弦定理，
得(2c)2＝r21＋r22－2r1r2cosα，
∴cosα＝(r1－r2)2＋2r1r2－4c22r1r2＝36＋64－10064＝0.
∴α＝90°.
10．解方法一设双曲线的标准方程为y2a2－x2b2＝1(a0，b0)，由题意知c2＝36－27
＝9，c＝3.
又点A的纵坐标为4，则横坐标为±15，于是有
42a2－(±15)2b2＝1，a2＋b2＝9，解得a2＝4，b2＝5.
所以双曲线的标准方程为y24－x25＝1.
方法二将点A的纵坐标代入椭圆方程得
A(±15，4)，
又两焦点分别为F1(0,3)，F2(0，－3)．
所以2a＝|(±15－0)2＋(4＋3)2－
(±15－0)2＋(4－3)2|＝4，
即a＝2，b2＝c2－a2＝9－4＝5，
所以双曲线的标准方程为y24－x25＝1.
11．解设A点的坐标为(x，y)，在△ABC中，由正弦定理，得asinA＝bsinB＝csinC＝2R，
代入sinB－sinC＝12sinA，
得|AC|2R－|AB|2R＝12|BC|2R，又|BC|＝8，
所以|AC|－|AB|＝4.
因此A点的轨迹是以B、C为焦点的双曲线的右支(除去右顶点)且2a＝4,2c＝8，所以
a＝2，c＝4，b2＝12.
所以A点的轨迹方程为x24－y212＝1(x2)．
12．B
[由c＝2得a2＋1＝4，
∴a2＝3，
∴双曲线方程为x23－y2＝1.
设P(x，y)(x≥3)，
∴OP→FP→＝(x，y)(x＋2，y)＝x2＋2x＋y2
＝x2＋2x＋x23－1
＝43x2＋2x－1(x≥3)．
令g(x)＝43x2＋2x－1(x≥3)，则g(x)在[3，＋∞)上单调递增．g(x)min＝g(3)＝3＋23.
OP→FP→的取值范围为[3＋23，＋∞)．]
13．解设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1，
且c＝7，则a2＋b2＝7.①
由MN中点的横坐标为－23知，
中点坐标为－23，－53.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则由x21a2－y21b2＝1，x22a2－y22b2＝1，
得b2(x1＋x2)(x1－x2)－a2(y1＋y2)(y1－y2)＝0.
∵x1＋x2＝－43y1＋y2＝－103，且y1－y2x1－x2＝1，
∴2b2＝5a2.②
由①，②求得a2＝2，b2＝5.
∴所求双曲线的标准方程为x22－y25＝1.