高三数学第一轮复习:抛物线定义、性质及.doc
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1、高三数学第一轮复习:抛物线的定义、性质及标准方程【本讲主要内容】 抛物线的定义及相关概念、抛物线的标准方程、抛物线的几何性质 【知识掌握】【知识点精析】 1. 抛物线定义: 平面内与一个定点和一条直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,点叫做抛物线的焦点,直线叫做抛物线的准线,定点不在定直线上。它与椭圆、双曲线的第二定义相仿,仅比值(离心率e)不同,当e1时为抛物线,当0e1时为双曲线。 2. 抛物线的标准方程有四种形式,参数的几何意义,是焦点到准线的距离,掌握不同形式方程的几何性质(如下表): 其中为抛物线上任一点。 3. 对于抛物线上的点的坐标可设为,以简化运算。 4. 抛物线的焦点弦:设过抛
2、物线的焦点的直线与抛物线交于,直线与的斜率分别为,直线的倾斜角为,则有,。 说明: 1. 求抛物线方程时,若由已知条件可知曲线是抛物线一般用待定系数法;若由已知条件可知曲线的动点的规律一般用轨迹法。 2. 凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时要注意利用韦达定理,能避免求交点坐标的复杂运算。 3. 解决焦点弦问题时,抛物线的定义有广泛的应用,而且还应注意焦点弦的几何性质。 【解题方法指导】 例1. 已知抛物线的顶点在坐标原点,对称轴为轴,且与圆相交的公共弦长等于,求此抛物线的方程。解析:设所求抛物线的方程为或设交点(y10)则,代入得点在上,在上或,故所求抛物线方程为或。 例2. 设抛物
3、线的焦点为,经过的直线交抛物线于两点,点在抛物线的准线上,且轴,证明直线经过原点。解析:证法一:由题意知抛物线的焦点故可设过焦点的直线的方程为 由,消去得 设,则 轴,且在准线上 点坐标为 于是直线的方程为 要证明经过原点,只需证明,即证 注意到知上式成立,故直线经过原点。 证法二:同上得。又轴,且在准线上,点坐标为。于是,知三点共线,从而直线经过原点。 证法三:如图, 设轴与抛物线准线交于点,过作,是垂足 则,连结交于点,则 又根据抛物线的几何性质, 因此点是的中点,即与原点重合,直线经过原点。 评述:本题考查抛物线的概念和性质,直线的方程和性质,运算能力和逻辑推理能力。其中证法一和二为代数
4、法,证法三为几何法,充分运用了抛物线的几何性质,数形结合,更为巧妙。【考点突破】【考点指要】 抛物线部分是每年高考必考内容,考点中要求掌握抛物线的定义、标准方程以及几何性质,多出现在选择题和填空题中,主要考查基础知识、基础技能、基本方法,分值大约是分。 考查通常分为四个层次: 层次一:考查抛物线定义的应用; 层次二:考查抛物线标准方程的求法; 层次三:考查抛物线的几何性质的应用; 层次四:考查抛物线与平面向量等知识的综合问题。 解决问题的基本方法和途径:待定系数法、轨迹方程法、数形结合法、分类讨论法、等价转化法。【典型例题分析】 例3. (2006江西)设为坐标原点,为抛物线的焦点,为抛物线上
5、一点,若,则点的坐标为( )A. B. C. D. 答案: 解析:解法一:设点坐标为,则 , 解得或(舍),代入抛物线可得点的坐标为。 解法二:由题意设,则, 即,求得,点的坐标为。 评述:本题考查了抛物线的动点与向量运算问题。 例4. (2006安徽)若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合,则的值为( ) A. 2 B. 2 C. 4 . 4 答案:D 解析:椭圆的右焦点为,所以抛物线的焦点为,则。 评述:本题考查抛物线与椭圆的标准方程中的基本量的关系。【达标测试】一. 选择题:1. 抛物线的准线方程为,则实数的值是( ) A. B. C. D. 2. 设抛物线的顶点在原点,其焦点在轴上,又抛物线
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