CH1习题及答案.pdf

1.1 已知、为样本空间上的三个事件，试用，的运算关系表示ABCABC下列事件：（1）发生，与不发生；ABC（2）、都发生；ABC（3）、中至少有一个发生；ABC（4）、不多于两个发生；ABC解：（1）发生，与不发生表示为：ABCABC（2）、都发生表示为：ABCABC（3）、中至少有一个发生表示为：ABCABC（4）、不多于两个发生表示为：ABCABC1.2已知样本空间，事件，1,2,10 2,3,4A 3,4,5B，写出下列事件的表达式：5,6,7C（1）；（2）；ABAB（3）；（4）；()A BCABC解：（1）1,5,6,7,8,9,101,3,4,5,6,7,8,9,10AAB（2）5 AB（3）()3,4,5,6,7()3,4()1,2,5,6,7,8,9,10BCA BCA BC（4）51,2,3,4,6,7,8,9,102,3,41,5,6,7,8,9,10BCBCABCABC1.3设随机试验是将一枚硬币抛两次，观察正面，反面出现的情况，试EH T 分析它的样本空间、事件与概率。解：样本空间：,HH TT HT TH 各种事件组成集合：,FHHTTHTTHHH TTHH HTHH THTT HTTT THHT THHH TT HTHH TT THHH HT THTT HT TH 显然，其中的事件是样本的的各种组合。，为事件包含的样本点数。AF 4kP A 0,4kA1.4设 A、B 与 C 是建立在样本空间上的事件，试证明：P ABCP AP BP CP ABP ACP BCP ABC证明：已知加法公式 =P ABCPABCP ABP CPABCP AP BP ABP CP ACBCP AP BP ABP CP ACP BCP ABCP AP BP CP ABP ACP BCP ABC1.5已知事件，相互独立，试证明：AB（1）和相互独立；（2）和相互独立；ABAB（3）和相互独立；AB解：事件，相互独立，即AB P ABP A P B（1）由事件的运算及其对应的概率关系：，所以和相互独 1P ABP ABP AABP AP ABP AP A P BP AP BP A P BAB立（2）由事件的运算及其对应的概率关系：，所以和相互独 1P ABPA BP BABP BP ABP BP A P BP BP AP B P AAB立（3）由事件的运算及其对应的概率关系：，所以和相互独立 11111P ABP ABP ABP AP BP ABP BP AP BP BP A P BP BP AP B P A AB1.6有四批零件，第一批有 2000 个零件，其中 5%是次品。第二批有 500 个零件，其中 40%是次品。第三批和第四批各有 1000 个零件，次品约占 10%。我们随机地选择一个批次，并随机地取出一个零件。（1）问所选零件为次品的概率是多少？（2）发现次品后，它来自第二批的概率是多少？解：（1）用表示第 批的所有零件组成的事件，用表示所有次品零件组成的事件。iBiD 123414P BP BP BP B12341002000.050.420005001001000.10.110001000P D BP D BP D BP D B由全概率公式：4111110.050.40.10.10.16254444iiiP DP B P D B（2）发现次品后，它来自第二批的概率为（由贝叶斯率公式），2220.25 0.40.6150.1625P BP D BP B DP D1.7一个电子系统为 5 个用户服务。若一个用户使用系统时，系统输出功率为0.6W，而且各用户独立使用系统，使用概率均为 0.3。（1）求电子系统输出功率的概率分布；（2）系统输出大于 2W 时，系统过载，求其过载的概率。解：设系统输出功率，5 个用户中实际使用系统的用户数目为，则，的XK0.6XKX可能取值集合为。每个用户使用系统的概率为；不使用系0,0.6,1.2,1.8,2.4,3.00.3p 统的概率为。各个用户是否使用系统彼此是统计独立的。因此，是二项式分10.7pK布的随机变量。所以，（1）系统输出功率的概率分布为，550.60.3 0.7kkP XkP Kkk （2）输出功率大于 2W，只有两种情况：和。因此，4K 5K 415055450.3 0.70.3 0.70.36%45PP XX 系统过载或1.8有朋自远方来，她乘火车、轮船、汽车或飞机来的概率分别是 0.3、0.2、0.1和 0.4。如果她乘火车、轮船或汽车来，迟到的概率分别是 0.25、0.4 和 0.1，乘飞机来则不会迟到。结果她迟到了，问她最可能搭乘的是哪种交通工具？解：设乘火车、轮船、汽车、飞机来的事件分别表示为 A1、A2、A3、A4，迟到事件为 E则 12340.30.20.10.4P AP AP AP A12340.250.40.10P E AP E AP E AP E A由贝叶斯率公式可以计算出四个后验概率：111410.3 0.25=0.454550.3 0.25+0.2 0.4+0.1 0.1iiiP A P E AP A EP A P E A 222410.2 0.4=0.484860.3 0.25+0.2 0.4+0.1 0.1iiiP AP E AP AEP A P E A 333410.1 0.1=0.060610.3 0.25+0.2 0.4+0.1 0.1iiiP AP E AP A EP A P E A4=0P AE最大，故她最可能坐的是轮船。2P AE1.9设随机试验的分布律为XX123P0.20.50.3求的概率密度和分布函数，并给出图形。X解：0.210.520.33f xxxx 0.210.520.33F xu xu xu x1.10 设随机变量的绝对值不大于 1，它在区间上均匀分布，且X(1,1)与。求：（1）的概率密度和分布函数，并给出图形；10.2P X 10.3P X X（2）0?P X 解：（1）已知，其中，则11P X 10.2P X 10.3P X 111 0.20.30.5PX 又因为它在区间上均匀分布，所以(1,1)0.5,110.25,11110.2,10.2,10.3,10.3,10,0,xxxf xxxx 其他其他10.20.3x f x11.0 F x0.8x-1-10.3（2）由条件可知0101011010.340.55P XPXP XPXdx 1.11 设随机变量的概率密度函数为，求:(1)系数；（2）其分布函数。X()xf xaea解：（1）由()1f x dx00()2xxxf x dxaedxae dxe dxa所以12a（2）1()2xxtF xf t dte dt所以的分布函数为X 1,0211,02xxexF xex1.12 某生产线制造的电阻器，必须满足容许偏差 10%的要求。实际生产的电1000阻器阻值不可能每次都是精确的，而是随机变化的。实际生产的电阻器阻值概率分1000布满足。求该电阻器的报废率是多少？生产个电阻，平均报废的电阻器21000,30N610是多少？解：生产电阻器的阻值是随机量，报废的电阻器的电阻值满足或XX900X。因此，生产电阻器的报废率为：1100X 9001100PP XP X 电阻报废率随机变量的概率密度是X 2210002 301e230 xf x则 9001100900900110011100XXP Xf x dxFP Xf x dxF 900110090011100900 10001100 1000130303.3313.33223.330.0008XXPP XP XFF 电阻报废率于是生产个电阻器平均废品数目为，。610 6100.0008800N 个1.13 某汽车站每天有 1000 辆汽车进出，而每辆汽车每天平均发生事故的概率为0.0001，问一天内汽车站出事故的次数大于 1 的概率是多少？解：设每辆汽车每天平均发生事故的概率表示为，0.0001pP E一天内汽车站出事故的次数，N 是一个二项分布的随机变量，则一天0,1,1000N 内汽车站出事故的次数大于 1 的概率是：0100011000 101000199910009999991=10110001000=1011 0.00010.99991000 0.00010.99991 0.99990.1 0.99991 1.0999 0.9999P NP NP Np qp q 1.14 若随机变量与的联合分布律为XY YX-10100.070.180.1510.080.320.20求：（1）与的联合分布函数与密度函数；（2）与的边缘分布律；（3）XYXY的分布律；（4）与的相关系数。ZXYXY解：（1）与的联合分布函数与密度函数为XY,0.07,10.18,0.15,10.081,10.321,0.201,1F x yu x yu x yu x yu xyu xyu xy,0.07,10.18,0.15,10.081,10.321,0.201,1f x yx yx yx yxyxyxy（2）的分布律为X00.070.180.150.4010.080.320.200.60P XP X的分布律为Y10.070.080.1500.180.320.5010.150.200.35P YP YP Y（3）的分布律为ZXY111,10.080001,00.400.320.72111,10.20P ZP XYP XYP ZP XYP XP XYP ZP XYP XY （4）因为 0 0.40 1 0.600.6010.150 0.50 1 0.350.20E XE Y 10.080 0.72 1 0.200.12E XY 则 ov,0.120.60 0.200CX YE XYE X E Y与的相关系数，可见它们无关。XY0XY1.15 设高斯随机变量作用于一个电平的量化器，其量化特性如题(0,2)XN4L 图 1.15 所示。试求输出随机变量的分布律。Y1331022XY22题图 1.15解：由量化器的输入输出特性可知，输入的连续型高斯随机变量通过量化器之后变为离散型随机变量，并满足如下关系：3212010232XXYXX 于是，221(3)(2)exp82 20.158722P YP Xxdx 同理，(1)(20)0.3413P YPX (1)(02)0.3413P YPX(3)(2)0.1587P YP X1.16 设随机变量，且相互独立，。0,1XN0,1YNUXYVXY（1）求随机变量的联合概率密度；,U V,UVfu v（2）随机变量与是否相互独立？UV解：（1）随机变量的联合概率密度为,X Y22221,2xyXYfx yex yR由反函数，22uvxuvy1112211222J 22241,4uvUVfu veu vR（2）由于,2222444111422uvuveee 2,UVUVfu vfu fvu vR所以随机变量与相互独立。UV1.17 半波整流器的输出与输入之间的数学模型可以表示为YX0()00XXYg XX如题图 1.17 所示。若已知输入随机变量的概率密度与分布函数分别为和，X()Xfx()XFx试求输出的概率密度函数。Y()Yfy解：0(x)XFf00yx(x)X(x)YFf(x)Y图题 1.17 半波整流器由已知0()00XXYg XX于是，1.如果，由于始终有，因此事件是不可能事件，所以，0y 0Y Yy()0YFyP YyP 2.如果，事件等同于事件，于是，0y YyXy()()YXFyP YyP XyFy注意到在将有一个跳跃型间断点，跳跃幅度。因此，()YFy0y(0)XF()()()()()()(0)()YXYXXFyFy u yfyfy u yFy1.18 已知随机变量的可能取值为，且每个值出现的概率均为。X4,1,0,3,41 5求（1）随机变量的数学期望和方差；X（2）随机变量的概率密度；23YX（3）的数学期望和方差；Y解：（1）随机变量的数学期望和方差X 222222221111124103455555511111424103455555542420652525E XE XD XE XEX （2）随机变量的概率密度23YX 21 1 1 2348,3,0,27,480,3,27,48,5 5 5 51112327485555YYXfyyyyy概率分别为（3）的数学期望和方差Y 22222222111212603274855555111253460327485555553461261085452525E YE YD YE YEY 1.19 整数型随机变量与独立，求的分布。XYXY解：对于整数型随机变量与，其分布律可表示为。令XY(),(),0,1,.XYpipji j，则ZXY,ij niiP ZnP Xi YjP Xi YniP Xi P Yni 其中利用与相互独立。我们知道离散型卷积公式为XY iZ nX nY nX i Y ni类似地，我们可以将分布律写成卷积 XYXYiP Znpi pnipnpn1.20 设服务器由两个相互独立的子服务器和联接而成，的寿命分L1L2L12,L L,X Y别服从参数为的指数分布，两个子服务器的联接方式有（1）串联；（2）并联；,（3）备用。试分别求出系统寿命的概率密度。LZ Zfz解：（1）串联：两台必须都正常，于是。由于min,ZX Y min,()()()()()()()()ZXYXYFzP ZzPX YzPXzYzP XzP YzPXzYzFzFzFz Fz()()()()()(),00,0ZXYXYXYzfzfzfzfz FzFz fzezz（2）并联：只要有一台正常，于是max,ZX Y max,()()()()ZXYFzP ZzPX YzPXzYzFz Fz,0()()()()0,0zzzZXYXYeeezfzfz FzFz fzz（3）备用：两台接替使用，于是ZXY ()0(),(),zxz xZXYzzzfzfzfzeedxeeu zzeu z1.21 已知对随机变量与，有，XY1EX 3EY()4D X()16D Y，又设，试求，和0.5XY3UXY2VXYEUEV()D U()D V。(,)Cov U V解：首先，。22()()5EXD XEX22()()25EYD YEY又因为。于是()(,)()()7XYE XYCov X YEXEYD X D YEXEY，(3)36EUEXYEXEY(2)25EVE XYEXEY 22222()()(96)()76D UEUEUEXXYYEU22222()()(44)()52D VEVEVE XXYYEV22()(3)(2)(352)70E UVEXYXYEXXYY(,)()40Cov U VE UVEUEV 1.22 若随机变量 X 与 Y 的联合密度函数为 9,02,03,0,XYxyxyfx y其它 判断 X 与 Y 是否正交、无关与独立。解：2322008,/903XYE XYxyfx y dxdyx ydxdy 故 X 与 Y 不正交。X 与 Y 的边缘密度函数分别为 30,9,022XXYxfxfx y dyxydyx 202,9,039YXYyfyfx y dxxydxy ,XYXYfx yfxfy故 X 与 Y 独立，因而 X 与 Y 也不相关。1.23 若随机变量与的联合密度函数为XY01,(,)0,xXYyxefx y其他求：（1）与的边缘分布律；（2）与的独立性；（3）。XYXYE Y Xx解：（1）的边缘概率密度X 001,(,)0,xxxXXYxe dyxefxfx y dy其他的边缘概率密度Y 1101(,)0 xyyYXYe dxeeyfyfx y dx其他（2）由于，则与不独立。(,)()()01XYXYfx yfx fyyxXY（3）101,(,)()()0,XYXyxfx yf y xxfx其他于是01(|)()2xxE Y Xxyf y x dyydyx1.24 已知随机变量服从上的均匀分布。随机变量服从上的均匀分布，X0,aY,X a试求（1）；(),(0)E Y XXa（2）EY解：（1）对有，0,xa()2aXE Y X（2）/23()224aXaaEYE E Y XEa1.25 试证明条件期望基本性质：E h Y g X Yh Y E g X Y 证明：E h Y g X Yh y g x f x y dxh yg x f x y dxh Y E g X Y 1.26 设太空梭飞行中，宇宙粒子进入其仪器舱的数目服从参数为泊松分布。进N舱后每个粒子造成损坏的概率为 p，彼此独立。求：造成损坏的粒子平均数目。解：每个粒子是否造成损坏用表示iX1,1,2,0iXiN造成损坏没有造成损害,造成损坏的粒子数，于是1NiiYX11(|)(|)|nniiiiE Y NnEXNnE XNn可合理地认为和是独立的，于是NiX1(|)niiE Y NnE Xnp()(|)E YE E Y NE NppE Np1.27 若随机变量 X 的概率特性如下，求其相应的特征函数：（1）为常数 c，即；X1P Xc（2）参数为 2 的泊松分布；（3）（1，1）伯努利分布：()0.4(1)0.6(1)f xxx（4）指数分布：303(),0 xxef x其他解：（1），如果 c=0，则。()jvXjvcjvcXvE eE ee()1Xv（2）1000()!jvjvkjvkejvXjvkjvkeXkkkevE eeP Xkeeee eekk（3）11()0.40.60.40.6jvjvXjvjvjvXvE eeeee（4）3(3)003()333jvXjvxxjvxXvE eeedxedxjv1.28 随机变量彼此独立；且特征函数分别为，求下列随机变123,X XX123(),(),()xxx量的特征函数：（1）；12XXX（2）；123XXXX（3）；12323XXXX（4）；1232410XXXX解：（1）12()()()jvXXvE evv（2）同（1），123()()()()Xvvvv（3）12323123()()(2)(3)jv XXXXvE evvv（4）123241010123()(2)()(4)jvXXXjvXvE eevvv1.29 随机变量 X 具有下列特征函数，求其概率密度函数、均值、均方值与方差。（1）；2424()0.20.30.20.20.1j vj vj vj vveeee（2）；()0.30.7jvjvvee（3）；()4/(4)vjv（4）；()(sin5)/(5)vvv解：（1）0.20.320.240.220.14f xxxxxx(0)/2 0.34 0.220.240.10.6E Xj 22222(0)20.340.220.240.16.8E X 226.80.366.44Var XE XEX（2）0.310.71f xxx (0)/1 0.310.70.4E Xj 222(0)10.310.71E X 221 0.160.84Var XE XEX（3）利用傅里叶变换公式，可知这是指数分布，44()xf xeu x 201(0)/4(4)4vE Xjjv 2301(0)8(4)8vE Xjv。22111()81616Var XE XEX（4），利用傅里叶变换公式，可知这是均匀分布，sin512sin5()510vvvvv 1,55100,xf x 其他,0E X 21025123Var X。22253E XVar XEX1.30 利用傅立叶变换推导均匀分布的特征函数。解：设随机变数服从均匀分布，由于是宽度为，高度为，中X(,)U a b()f xba1ba心在处的矩形函数。其傅立叶变换为2ab()22sin()/21()jv a bv baF vebav因此，()2sin()2()()()2()jvbjvajv a bXv baeevFvev bajv ba1.31 给定线性变换，证明bGXY TjTev bYXvv G证：由特征函数的定义()()()()()()TTTTTTTjjjjjjjTE eE eeE eeE eev YvGX bv bv GXYv bv G Xv bXvv G1.32 利用特征函数的唯一性，证明：若高斯随机变量，,1,2,iX in相互独立，并且，则也是高斯的。2(,)iiiXN 1niiYXY证：因为随机变量的特征函数为，由于相互独立，所2(,)iiiXN 2 212iiijvvXve以 2222111111()expexp22innnnYXiiiiiiiivvjvvjvv该形式说明，必然是高斯的，且。Y211,nniiiiYN1.33 设有高斯随机变量，试利用随机变量的矩发生特性证明：2(,)XN(1)EX(2)222EX(3)3233EX解：特征函数为，由矩发生性质，22()exp(2)Xvj vv2 2220()(0)()()ej vvXvEXjjjv 2 22 222222222220()(0)()()eej vvj vvXvEXjjjv 2 22 2333232222230()(0)()()e3()e3Xj vvj vvvEXjjjvjv 1.34 已知随机变量，的联合特征函数为XY6(,)623XYQu vjujvuv求：（1）随机变量的特征函数；X（2）随机变量的期望和方差；Y解：(1)随机变量的特征函数：X 06()=(,)62XXYvQuQu vju（2）随机变量的特征函数：Y 06()=(,)63YXYuQ vQu vjv 102181(0)=263YvjEYj Qjjv 22222032218 611=(0)=2263111244YvEYjQjjjvDYEYEY 1.35 计算机在进行某种加法时，将每个加数舍入最靠近它的整数，假设所有舍入误差是独立的，且在服从均匀分布。(0.5,0.5)（1）若将 1200 个数相加，问误差总和的绝对值超过 10 的概率是多少？（2）为保证误差总和的绝对值小于 10 的概率不小于 0.90，最多可有几个数相加？解：（1）设第 k 个数的舍入误差为，在上均匀分布，(1,2,1200)kXk kX(0.5,0.5)则即为误差总和。并且12001kkYX12000,()1200()100kkEYEXVar YVar X由同分布的中心极限定律可知，即，因此，/10(0,1)YN(0,10)YN1021(10/10)0.3682P Y（3）设满足所给条件下，最多可由 n 个数相加，则，只要 n 较0,()/12EYVar Yn大，。先假定比较大，条件要求(0,/12)YNn 即 1010210.90/12P Yn 100.95/12n查表得，即即可（可见 n 确实比较大）。10 12/1.645n 443n