CH1习题及答案.pdf
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1、1.1 已知、为样本空间上的三个事件,试用,的运算关系表示ABCABC下列事件:(1)发生,与不发生;ABC(2)、都发生;ABC(3)、中至少有一个发生;ABC(4)、不多于两个发生;ABC解:(1)发生,与不发生表示为:ABCABC(2)、都发生表示为:ABCABC(3)、中至少有一个发生表示为:ABCABC(4)、不多于两个发生表示为:ABCABC1.2已知样本空间,事件,1,2,10 2,3,4A 3,4,5B,写出下列事件的表达式:5,6,7C(1);(2);ABAB(3);(4);()A BCABC解:(1)1,5,6,7,8,9,101,3,4,5,6,7,8,9,10AAB(2
2、)5 AB(3)()3,4,5,6,7()3,4()1,2,5,6,7,8,9,10BCA BCA BC(4)51,2,3,4,6,7,8,9,102,3,41,5,6,7,8,9,10BCBCABCABC1.3设随机试验是将一枚硬币抛两次,观察正面,反面出现的情况,试EH T 分析它的样本空间、事件与概率。解:样本空间:,HH TT HT TH 各种事件组成集合:,FHHTTHTTHHH TTHH HTHH THTT HTTT THHT THHH TT HTHH TT THHH HT THTT HT TH 显然,其中的事件是样本的的各种组合。,为事件包含的样本点数。AF 4kP A 0,4k
3、A1.4设 A、B 与 C 是建立在样本空间上的事件,试证明:P ABCP AP BP CP ABP ACP BCP ABC证明:已知加法公式 =P ABCPABCP ABP CPABCP AP BP ABP CP ACBCP AP BP ABP CP ACP BCP ABCP AP BP CP ABP ACP BCP ABC1.5已知事件,相互独立,试证明:AB(1)和相互独立;(2)和相互独立;ABAB(3)和相互独立;AB解:事件,相互独立,即AB P ABP A P B(1)由事件的运算及其对应的概率关系:,所以和相互独 1P ABP ABP AABP AP ABP AP A P BP
4、 AP BP A P BAB立(2)由事件的运算及其对应的概率关系:,所以和相互独 1P ABPA BP BABP BP ABP BP A P BP BP AP B P AAB立(3)由事件的运算及其对应的概率关系:,所以和相互独立 11111P ABP ABP ABP AP BP ABP BP AP BP BP A P BP BP AP B P A AB1.6有四批零件,第一批有 2000 个零件,其中 5%是次品。第二批有 500 个零件,其中 40%是次品。第三批和第四批各有 1000 个零件,次品约占 10%。我们随机地选择一个批次,并随机地取出一个零件。(1)问所选零件为次品的概率是
5、多少?(2)发现次品后,它来自第二批的概率是多少?解:(1)用表示第 批的所有零件组成的事件,用表示所有次品零件组成的事件。iBiD 123414P BP BP BP B12341002000.050.420005001001000.10.110001000P D BP D BP D BP D B由全概率公式:4111110.050.40.10.10.16254444iiiP DP B P D B(2)发现次品后,它来自第二批的概率为(由贝叶斯率公式),2220.25 0.40.6150.1625P BP D BP B DP D1.7一个电子系统为 5 个用户服务。若一个用户使用系统时,系统输
6、出功率为0.6W,而且各用户独立使用系统,使用概率均为 0.3。(1)求电子系统输出功率的概率分布;(2)系统输出大于 2W 时,系统过载,求其过载的概率。解:设系统输出功率,5 个用户中实际使用系统的用户数目为,则,的XK0.6XKX可能取值集合为。每个用户使用系统的概率为;不使用系0,0.6,1.2,1.8,2.4,3.00.3p 统的概率为。各个用户是否使用系统彼此是统计独立的。因此,是二项式分10.7pK布的随机变量。所以,(1)系统输出功率的概率分布为,550.60.3 0.7kkP XkP Kkk (2)输出功率大于 2W,只有两种情况:和。因此,4K 5K 415055450.3
7、 0.70.3 0.70.36%45PP XX 系统过载或1.8有朋自远方来,她乘火车、轮船、汽车或飞机来的概率分别是 0.3、0.2、0.1和 0.4。如果她乘火车、轮船或汽车来,迟到的概率分别是 0.25、0.4 和 0.1,乘飞机来则不会迟到。结果她迟到了,问她最可能搭乘的是哪种交通工具?解:设乘火车、轮船、汽车、飞机来的事件分别表示为 A1、A2、A3、A4,迟到事件为 E则 12340.30.20.10.4P AP AP AP A12340.250.40.10P E AP E AP E AP E A由贝叶斯率公式可以计算出四个后验概率:111410.3 0.25=0.454550.3
8、 0.25+0.2 0.4+0.1 0.1iiiP A P E AP A EP A P E A 222410.2 0.4=0.484860.3 0.25+0.2 0.4+0.1 0.1iiiP AP E AP AEP A P E A 333410.1 0.1=0.060610.3 0.25+0.2 0.4+0.1 0.1iiiP AP E AP A EP A P E A4=0P AE最大,故她最可能坐的是轮船。2P AE1.9设随机试验的分布律为XX123P0.20.50.3求的概率密度和分布函数,并给出图形。X解:0.210.520.33f xxxx 0.210.520.33F xu xu
9、xu x1.10 设随机变量的绝对值不大于 1,它在区间上均匀分布,且X(1,1)与。求:(1)的概率密度和分布函数,并给出图形;10.2P X 10.3P X X(2)0?P X 解:(1)已知,其中,则11P X 10.2P X 10.3P X 111 0.20.30.5PX 又因为它在区间上均匀分布,所以(1,1)0.5,110.25,11110.2,10.2,10.3,10.3,10,0,xxxf xxxx 其他其他10.20.3x f x11.0 F x0.8x-1-10.3(2)由条件可知0101011010.340.55P XPXP XPXdx 1.11 设随机变量的概率密度函数
10、为,求:(1)系数;(2)其分布函数。X()xf xaea解:(1)由()1f x dx00()2xxxf x dxaedxae dxe dxa所以12a(2)1()2xxtF xf t dte dt所以的分布函数为X 1,0211,02xxexF xex1.12 某生产线制造的电阻器,必须满足容许偏差 10%的要求。实际生产的电1000阻器阻值不可能每次都是精确的,而是随机变化的。实际生产的电阻器阻值概率分1000布满足。求该电阻器的报废率是多少?生产个电阻,平均报废的电阻器21000,30N610是多少?解:生产电阻器的阻值是随机量,报废的电阻器的电阻值满足或XX900X。因此,生产电阻器
11、的报废率为:1100X 9001100PP XP X 电阻报废率随机变量的概率密度是X 2210002 301e230 xf x则 9001100900900110011100XXP Xf x dxFP Xf x dxF 900110090011100900 10001100 1000130303.3313.33223.330.0008XXPP XP XFF 电阻报废率于是生产个电阻器平均废品数目为,。610 6100.0008800N 个1.13 某汽车站每天有 1000 辆汽车进出,而每辆汽车每天平均发生事故的概率为0.0001,问一天内汽车站出事故的次数大于 1 的概率是多少?解:设每辆
12、汽车每天平均发生事故的概率表示为,0.0001pP E一天内汽车站出事故的次数,N 是一个二项分布的随机变量,则一天0,1,1000N 内汽车站出事故的次数大于 1 的概率是:0100011000 101000199910009999991=10110001000=1011 0.00010.99991000 0.00010.99991 0.99990.1 0.99991 1.0999 0.9999P NP NP Np qp q 1.14 若随机变量与的联合分布律为XY YX-10100.070.180.1510.080.320.20求:(1)与的联合分布函数与密度函数;(2)与的边缘分布律;(
13、3)XYXY的分布律;(4)与的相关系数。ZXYXY解:(1)与的联合分布函数与密度函数为XY,0.07,10.18,0.15,10.081,10.321,0.201,1F x yu x yu x yu x yu xyu xyu xy,0.07,10.18,0.15,10.081,10.321,0.201,1f x yx yx yx yxyxyxy(2)的分布律为X00.070.180.150.4010.080.320.200.60P XP X的分布律为Y10.070.080.1500.180.320.5010.150.200.35P YP YP Y(3)的分布律为ZXY111,10.0800
14、01,00.400.320.72111,10.20P ZP XYP XYP ZP XYP XP XYP ZP XYP XY (4)因为 0 0.40 1 0.600.6010.150 0.50 1 0.350.20E XE Y 10.080 0.72 1 0.200.12E XY 则 ov,0.120.60 0.200CX YE XYE X E Y与的相关系数,可见它们无关。XY0XY1.15 设高斯随机变量作用于一个电平的量化器,其量化特性如题(0,2)XN4L 图 1.15 所示。试求输出随机变量的分布律。Y1331022XY22题图 1.15解:由量化器的输入输出特性可知,输入的连续型高
15、斯随机变量通过量化器之后变为离散型随机变量,并满足如下关系:3212010232XXYXX 于是,221(3)(2)exp82 20.158722P YP Xxdx 同理,(1)(20)0.3413P YPX (1)(02)0.3413P YPX(3)(2)0.1587P YP X1.16 设随机变量,且相互独立,。0,1XN0,1YNUXYVXY(1)求随机变量的联合概率密度;,U V,UVfu v(2)随机变量与是否相互独立?UV解:(1)随机变量的联合概率密度为,X Y22221,2xyXYfx yex yR由反函数,22uvxuvy1112211222J 22241,4uvUVfu v
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