三角函数公式大全(很详细).pdf

高中三角函数公式大全高中三角函数公式大全图图1 三角函数的定义 1.1 三角形中的定义 图 1 在直角三角形中定义三角函数的示意图 在直角三角形 ABC，如下定义六个三角函数：正弦函数余弦函数正切函数余切函数正割函数余割函数1.2 直角坐标系中的定义 图 2 在直角坐标系中定义三角函数示意图 在直角坐标系中，如下定义六个三角函数：正弦函数余弦函数正切函数余切函数正割函数r余割函数2 转化关系 2.1 倒数关系2.2 平方关系 2 和角公式 3 倍角公式、半角公式3.1 倍角公式 3.2 半角公式 3.3 万能公式 4 积化和差、和差化积4.1 积化和差公式 证明过程首先，sin(+)=sincos+sincos（已证。证明过程见和角公式与差角公式的证明）因为 sin(+)=sincos+sincossin(+)=sincos+sincos（正弦和角公式）则sin(-)=sin+(-)=sincos(-)+sin(-)cos=sincos-sincos于是sin(-)=sincos-sincossin(-)=sincos-sincos（正弦差角公式）将正弦的和角、差角公式相加，得到sin(+)+sin(-)=2sincos则sincos=sin(+)/2+sin(-)/2sincos=sin(+)/2+sin(-)/2（“积化和差公式”之一）同样地，运用诱导公式 cos=sin(/2-)，有cos(+)=sin/2-(+)=sin(/2-)=sin(/2-)+(-)=sin(/2-)cos(-)+sin(-)cos(/2-)=coscos-sinsin于是cos(+)=coscos-sinsincos(+)=coscos-sinsin（余弦和角公式）那么cos(-)=cos+(-)=coscos(-)-sinsin(-)=coscos+sinsincos(-)=coscos+sinsincos(-)=coscos+sinsin（余弦差角公式）将余弦的和角、差角公式相减，得到cos(+)-cos(-)=-2sinsin则sinsin=cos(-)/2-cos(+)/2sinsin=cos(-)/2-cos(+)/2（“积化和差公式”之二）将余弦的和角、差角公式相加，得到cos(+)+cos(-)=2coscos则coscos=cos(+)/2+cos(-)/2coscos=cos(+)/2+cos(-)/2（“积化和差公式”之三）这就是积化和差公式：sincos=sin(+)/2+sin(-)/2sincos=sin(+)/2+sin(-)/2sinsin=cos(-)/2-cos(+)/2sinsin=cos(-)/2-cos(+)/2coscos=cos(+)/2+cos(-)/2coscos=cos(+)/2+cos(-)/24.2 和差化积公式 部分证明过程：sin(-)=sin+(-)=sincos(-)+sin(-)cos=sincos-sincoscos(+)=sin90-(+)=sin(90-)-=sin(90-)cos-sincos(90-)=coscos-sinsincos(-)=cos+(-)=coscos(-)-sinsin(-)=coscos+sinsintan(+)=sin(+)/cos(+)=(sincos+sincos)/(coscos-sinsin)=(costancos+costancos)/(coscos-costancostan)=(tan+tan)/(1-tantan)tan(-)=tan+(-)=tan+tan(-)/1-tantan(-)=(tan-tan)/(1+tantan)诱导公式诱导公式sin(-a)=-sin(a)cos(-a)=cos(a)sin(pi/2-a)=cos(a)cos(pi/2-a)=sin(a)sin(pi/2+a)=cos(a)cos(pi/2+a)=-sin(a)sin(pi-a)=sin(a)cos(pi-a)=-cos(a)sin(pi+a)=-sin(a)cos(pi+a)=-cos(a)tgA=tanA=sinA/cosA两角和与差的三角函数两角和与差的三角函数sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos()sin(b)cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)sin(a-b)=sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b)cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)tan(a+b)=(tan(a)+tan(b)/(1-tan(a)tan(b)tan(a-b)=(tan(a)-tan(b)/(1+tan(a)tan(b)三角函数和差化积公式三角函数和差化积公式sin(a)+sin(b)=2sin(a+b)/2)cos(a-b)/2)sin(a)sin(b)=2cos(a+b)/2)sin(a-b)/2)cos(a)+cos(b)=2cos(a+b)/2)cos(a-b)/2)cos(a)-cos(b)=-2sin(a+b)/2)sin(a-b)/2)积化和差公式积化和差公式sin(a)sin(b)=-1/2*cos(a+b)-cos(a-b)cos(a)cos(b)=1/2*cos(a+b)+cos(a-b)sin(a)cos(b)=1/2*sin(a+b)+sin(a-b)二倍角公式二倍角公式sin(2a)=2sin(a)cos(a)cos(2a)=cos2(a)-sin2(a)=2cos2(a)-1=1-2sin2(a)半角公式半角公式sin2(a/2)=(1-cos(a)/2 cos2(a/2)=(1+cos(a)/2 tan(a/2)=(1-cos(a)/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a)万能公式万能公式sin(a)=(2tan(a/2)/(1+tan2(a/2)cos(a)=(1-tan2(a/2)/(1+tan2(a/2)tan(a)=(2tan(a/2)/(1-tan2(a/2)其它公式其它公式a*sin(a)+b*cos(a)=sqrt(a2+b2)sin(a+c)其中，tan(c)=b/a a*sin(a)-b*cos(a)=sqrt(a2+b2)cos(a-c)其中，tan(c)=a/b 1+sin(a)=(sin(a/2)+cos(a/2)2 1-sin(a)=(sin(a/2)-cos(a/2)2其他非重点三角函数其他非重点三角函数csc(a)=1/sin(a)sec(a)=1/cos(a)双曲函数双曲函数sinh(a)=(ea-e(-a)/2 cosh(a)=(ea+e(-a)/2 tgh(a)=sinh(a)/cosh(a)常用公式表常用公式表（一一）1 1。乘法公式。乘法公式（1 1）（a+ba+b）=a=a2 2+2ab+b+2ab+b2 2 (2)(a-b)=a-2ab+b(2)(a-b)=a-2ab+b (3)(a+b)(a-b)(3)(a+b)(a-b)=a-b=a-b(4)a+b=(a+b)(a-ab+b)(4)a+b=(a+b)(a-ab+b)(5)a-b=(a-b)(a+ab+b)(5)a-b=(a-b)(a+ab+b)2 2、指数公式：、指数公式：(1)a(1)a=1=1 （a0a0）（2 2）a a=（a0a0）（3 3）a a=0PPa1mnmna（4 4）a a a a=a=a （5 5）a a aa=a=a （6 6）（a a）=a=amnnmmnnmaanmmnmn（7 7）（abab）=a=a b b （8 8）（）n=nnba （9 9）（a）2=a=a nnnba（1010）=|a|=|a|2a3 3、指数与对数关系：、指数与对数关系：（1 1）若）若a ab=N=N，则，则 （2 2）若）若1010b=N=N，则，则b=lgNb=lgN Nbalog（3 3）若）若=N=N，则，则b=Nb=Nbe4 4、对数公式：、对数公式：（1 1）,eeb=b=b （2 2），e eNln=N=NbabalogNaaNlog（3 3）（4 4）（5 5）aNNalnlnlogabbealnNMMNlnlnln（6 6）（7 7）（8 8）=NMNMlnlnlnMnMnlnlnMnln15 5、三角恒等式：、三角恒等式：（1 1）（SinSin）+（CosCos）=1=1 （2 2）1+1+（tantan）=(sec)=(sec)（3 3）1+(cot)=(csc)1+(cot)=(csc)（4 4）（5 5）tancossincotsincos（6 6）（7 7）（8 8）tan1cotcos1csccos1sec6 6、特殊角三角函数值：、特殊角三角函数值：0 064322sinasina0 02122231 10 0-1-10 0cosacosa1 12322210 0-1-10 01 1tanatana0 0331 130 0-0 0cotacota31 1330 0-0 07.7.倍角公式倍角公式：（1 1）（2 2）cossin22sin2tan1tan22tan（3 3）2222sin211cos2sincos2cos8.8.半角公式半角公式（降幂公式降幂公式）：）：（1 1）（）2=2cos1a （2 2）（）2=2cos1a2sin2cos（3 3）=aasincos1=aacos1sin2tan9 9、三角函数与反三角函数关系：、三角函数与反三角函数关系：（1 1）若）若x=sinyx=siny，则，则y=arcsinxy=arcsinx （2 2）若）若x=cosyx=cosy，则，则y=arccosxy=arccosx（3 3）若）若x=tanyx=tany，则，则y=arctanxy=arctanx （4 4）若）若x=cotyx=coty，则，则y=arccotxy=arccotx1010、函数定义域求法：、函数定义域求法：（1 1）分式中的分母不能为）分式中的分母不能为0 0，（a1 00）（2 2）负数不能开偶次方，）负数不能开偶次方，（a 00）（3 3）对数中的真数必须大于）对数中的真数必须大于0 0，（N0N0）Nalog（4 4）反三角函数中）反三角函数中arcsinxarcsinx，arccosxarccosx的的x x满足：（满足：（-1x1-1x1）（5 5）上面数种情况同时在某函数出现时，此时应取其交集。）上面数种情况同时在某函数出现时，此时应取其交集。1111、直线形式及直线位置关系：、直线形式及直线位置关系：（1 1）直线形式：点斜式：直线形式：点斜式：00 xxkyy斜截式：斜截式：y=kx+by=kx+b 两点式：两点式：121121xxxxyyyy（2 2）直线关系：）直线关系：111:bxkyl222:bxkyl平行：若平行：若，则，则21/ll21kk 垂直：若垂直：若，则，则21ll 121kk常用公式表（二）常用公式表（二）1 1、求导法则：（、求导法则：（1 1）（u+vu+v）/=u=u/+v+v/（2 2）（u-vu-v）/=u=u/-v-v/（3 3）（cucu）/=cu=cu/（4 4）（uvuv）/=uv=uv/+u+u/v v （5 5）2vvuvuvu2 2、基本求导公式：、基本求导公式：（1 1）（c c）/=0=0 （2 2）（x xa）/=ax=ax1a （3 3）（a ax）/=a=axlnalna（4 4）（e ex）/=e=ex （5 5）（ax x）/=axln1 （6 6）（lnxlnx）/=x1（7 7）（sinxsinx）/=cosx=cosx （8 8）（cosxcosx）/=-sinx=-sinx（9 9）（tanxtanx）/=2)(cos1x=（secxsecx）2 （1010）（cotxcotx）/=-=-2)(sin1x=-=-（cscxcscx）2(11)(secx)(11)(secx)/=secx*tanx=secx*tanx (12)(cscx)(12)(cscx)/=-cscx*cotx=-cscx*cotx(13)(arcsinx)(13)(arcsinx)/=211x (14)(arccosx)(14)(arccosx)/=-=-211x(15)(arctanx)(15)(arctanx)/=211x (16)(16)211cotxxarc3 3、微分、微分 （1 1）函数的微分函数的微分：dy=ydy=y/dxdx（2 2）近似计算近似计算：|x|x|很小时很小时，f f=f=f（x x0）+f+f/（x x0）*xxx04 4、基本积分公式、基本积分公式（1 1）kdx=kx+ckdx=kx+c （2 2）Cxadxxaa111（3 3）cxdxxln1 （4 4）Caadxaxxln（5 5）cedxexx （6 6）Cxxdxcossin（7 7）（8 8）CxxdxsincosCxdxxxdxtancos1sec22（9 9）cxdxxxdxcotsin1csc22 （1010）cxdxxarcsin112 （1111）cxdxxarctan1125 5、定积分公式：、定积分公式：（1 1）babadttfdxxf)()(（2 2）aadxxf0)(（3 3）（4 4）bacabcdxxfdxxfdxxf)()()(dxxfdxxfabba（5 5）若）若f f（x x）是）是-a,a-a,a的连续奇函数，则的连续奇函数，则aadxxf0)(（6 6）若）若f f（x x）是）是-a,a-a,a的连续偶函数，则的连续偶函数，则:aaadxxfdxxf0)(2)(6 6、积分定理：、积分定理：（1 1）xfdttfxa xaxafxbxbfdttfxbxa2（3 3）若）若F F（x x）是）是f f（x x）的一个原函数，则）的一个原函数，则)()()()(aFbFxFdxxfbaba7.7.积分表积分表 Cxxxdxtanseclnsec1 Cxxxdxcotcsclncsc2 Caxadxxaarctan11322 Caxdxxaarcsin1422 Caxaxadxaxln2115228 8积分方法积分方法；设：；设：baxxf1tbax；设：；设：222xaxftaxsin ；设：；设：22axxftaxsec ；设：；设：22xaxftaxtan分部积分法：分部积分法：3vduuvudv