吉林大学高职高专《高等数学》第04章.ppt
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1、第四章 微分中值定理与导数的应用第一节第一节 微分中值定理微分中值定理第二节第二节 洛必达法则洛必达法则第三节第三节 函数函数单调性的判别法单调性的判别法第四节第四节 函数的函数的极值及其求法极值及其求法第五第五节节 函数的最大值和最小值函数的最大值和最小值第六节第六节 曲线的凹凸性与拐点曲线的凹凸性与拐点第七节第七节 函数图形的描绘函数图形的描绘1第一节 微分中值定理一、罗尔中值定理一、罗尔中值定理二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理三、柯西中值定理三、柯西中值定理2罗尔定理 设函数 f(x)满足(1)在闭区间a,b上连续,(2)在开区间(a,b)内可导,(3)f(a)=f(b),注意:
2、罗尔定理的条件有三个,如果缺少其中任何一个条件,定理将不成立.一、罗尔中值定理3罗尔定理几何意义:4例例.证明方程有且仅有一个小于1 的正实根.证证:1)存在性.则在 0,1 连续,且由零点定理知存在使即方程有小于 1 的正根2)唯一性.假设另有为端点的区间满足罗尔定理条件,至少存在一点但矛盾,故假设不真!设5定理 设函数f(x)满足(1)在闭区间a,b上连续;(2)在开区间(a,b)内可导;则至少存在一点 分析 与罗尔定理相比,拉格朗日中值定理中缺少条件是f(a)=f(b).如果能由f(x)构造一个新函数 使 在a,b上满足罗尔定理条件,且由 能导出 则问题可解决.二、拉格朗日中值定理6几何
3、意义:几何意义:如果在a,b上的连续曲线,除端点外处处有不垂直于x轴的切线,那么在曲线弧上至少有一点 使曲线在该点处的切线平行于过曲线弧两端点的弦线.弦线的方程为7教材教材P70P708例例2.证明不等式证证:设中值定理条件,即因为故因此应有9例例3.证明等式证证:设由推论可知 (常数)令 x=0,得又故所证等式在定义域 上成立.自证自证:经验经验:欲证时只需证在 I 上10定理 设函数f(x)与g(x)满足:(1)在闭区间a,b上都连续,(2)在开区间(a,b)内都可导,(3)在开区间(a,b)内,则至少存在一点在柯西中值定理中,若取g(x)=x,则得到拉格朗日中值定理.因此柯西中值定理可以
4、看成是拉格朗日中值定理的推广.三、柯西中值定理(可略)11柯西柯西(1789 1857)法国数学家,他对数学的贡献主要集中在微积分学,柯 西全集共有 27 卷.其中最重要的的是为巴黎综合学 校编写的分析教程,无穷小分析概论,微积分在几何上的应用 等,有思想有创建,响广泛而深远.对数学的影他是经典分析的奠人之一,他为微积分所奠定的基础推动了分析的发展.复变函数和微分方程方面.一生发表论文800余篇,著书 7 本,14第二节 洛必达法则一、一、型不定式型不定式二、二、型不定式型不定式三、其他三、其他类型不定式类型不定式15微分中值定理函数的性态导数的性态函数之商的极限导数之商的极限 转化(或 型)
5、本节研究本节研究:洛必达法则洛必达法则16不定式不定式17一、型未定式定理定理11819【例例1 1】【例例2 2】【例例3 3】【例例4 4】教材教材P74P74【例例5 5】【例例6 6】二、型未定式定理定理22021【例例7 7】【例例8 8】【例例9 9】【例例1010】教材教材P76P76三、其他类型未定式例例1 1解解解法:解法:将其它类型未定式化为洛必达法则可解将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型决的类型22例例2 2解解23例例3 3解解24洛必达法则洛必达法则2526教材教材P77P77习题习题4-24-21 1、2 2、3 3、4 4第三节 函数单调性的判定方法 问题
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