吉林大学高职高专《高等数学》第03章.ppt
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1、第三章 导数与微分第一节第一节 导数的概念导数的概念第二节第二节 函数的函数的求导法则求导法则第三节第三节 高阶导数高阶导数第四节第四节 相关变化率相关变化率第五节第五节 函数的微分函数的微分1微积分学的创始人:德国数学家 Leibniz 微分学导数导数描述函数变化快慢微分微分描述函数变化程度都是描述物质运动的工具(从微观上研究函数)导数与微分导数思想最早由法国数学家 Ferma 在研究极值问题中提出.英国数学家 Newton2第一节 导数的概念一一、导数概念的两个引、导数概念的两个引例例二、导数的定义二、导数的定义三三、求导数举例、求导数举例四、导数的几何意义四、导数的几何意义五五、函数可导
2、性与连续性的、函数可导性与连续性的关系关系3一一、导数概念的两个导数概念的两个引例引例(略讲略讲)1.变速直线运动变速直线运动的瞬时速度的瞬时速度设描述质点运动位置的函数为则 到 的平均速度为而在 时刻的瞬时速度为自由落体运动42.切线问题切线问题 M,N为曲线为曲线C上不同点,作割线上不同点,作割线MN当点当点N沿曲线沿曲线C趋于点趋于点M时,如果割线时,如果割线MN绕点绕点M旋旋转而趋于极限位置转而趋于极限位置M,直线直线MT就称为曲线就称为曲线C在在点点M处的切线处的切线5极限位置即极限位置即6两个问题的共性共性:瞬时速度切线斜率所求量为函数增量与自变量增量之比的极限.类似问题还有:加速
3、度角速度线密度电流强度是速度增量与时间增量之比的极限是转角增量与时间增量之比的极限是质量增量与长度增量之比的极限是电量增量与时间增量之比的极限变化率问题7二、导数的定义二、导数的定义8其它形式其它形式即即9运动质点的位置函数在 时刻的瞬时速度曲线在 M 点处的切线斜率说明说明:在经济学中,边际成本率,边际劳动生产率和边际税率等从数学角度看就是导数.1011121314单侧导数单侧导数1516三三、求导数举例、求导数举例 由导数的定义可知,求函数y=f(x)的导数f(x),可以分为以下三个步骤:(1)求增量:y=f(x+x)f(x);下面,就根据这三个步骤来求一些比较简单的函数的导数1718例例
4、3.求函数的导数.解解:则即类似可证得19四、导数的几何意义四、导数的几何意义几何意义:几何意义:切线方程为切线方程为法线方程为法线方程为2021五、可导与连续的关系五、可导与连续的关系证证22如果函数在某点不连续,那么函数在如果函数在某点不连续,那么函数在该点肯定不可导。该点肯定不可导。注意注意:该定理的逆定理不成立该定理的逆定理不成立.对于分段函数在分段点处的可导性一对于分段函数在分段点处的可导性一定要用导数的定义来判断。定要用导数的定义来判断。2324内容小结内容小结1.导数的实质:3.导数的几何意义:4.可导必连续,但连续不一定可导;5.一些简单的求导公式:6.判断可导性不连续,一定不
5、可导.直接用导数定义;看左右导数是否存在且相等.2.增量比的极限;切线的斜率;2728课堂练习教材 P51习题3-13、4、5、第二节 函数的求导法则一、导数的一、导数的四则运算四则运算二、二、复合函数的求导复合函数的求导法则法则三三、隐函数的求导法则、隐函数的求导法则四、反函数的求导四、反函数的求导法则法则五、参数方程所确定的函数的导数五、参数方程所确定的函数的导数29一、导数的四则运算定理定理3031基本初等函数的求导公式教材教材P5332熟练掌握熟练掌握14个基本公式个基本公式例例解解同理可得同理可得33例例.求证证证:类似可证:34例例.已知已知解解:3536【例例1 1】【例2】【例
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