(湖南专版)2019年中考数学一轮复习第四章图形的认识4.5特殊的平行四边形(试卷部分).ppt

4.5特殊的平行四边形中考数学中考数学(湖南专用)A A组组2014201420182018年湖南中考题组年湖南中考题组五年中考考点一矩形考点一矩形1.(2017湖南怀化,9,3分)如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AOB=6 0,AC=6cm,则AB的长是()A.3cmB.6cmC.10cmD.12cm答案答案A四边形ABCD是矩形,AC=6cm,OA=OC=OB=OD=3cm,AOB=60,AOB是等边三角形,AB=OA=3cm.故选A.2.(2015湖南益阳,5,5分)如图,在矩形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,以下说法错误的是()A.ABC=90B.AC=BDC.OA=OBD.OA=AD答案答案D四边形ABCD是矩形,ABC=BCD=CDA=BAD=90,AC=BD,OA=AC,OB=BD,OA=OB,A、B、C正确,D错误,故选D.3.(2018湖南常德,15,3分)如图,将矩形ABCD沿EF折叠,使点B落在AD边上的点G处,点C落在点H处,已知DGH=30,连接BG,则AGB=.解析解析由折叠的性质可知:GE=BE,EGH=ABC=90,EBG=EGB,EGH-EGB=EBC-EBG,即BGH=GBC,又ADBC,AGB=GBC,AGB=BGH,DGH=30,AGH=150,AGB=AGH=75.答案答案75思路分析思路分析由折叠的性质可知:GE=BE,EGH=ABC=90,从而可证明EBG=EGB,进而得到BGH=GBC,由平行线的性质可知AGB=GBC,从而易证AGB=BGH,据此可得答案.4.(2014湖南郴州,16,3分)如图,在矩形ABCD中,AB=8,BC=10,E是AB上一点,将矩形ABCD沿CE折叠后,点B落在AD边的点F上,则DF的长为.答案答案6解析解析在矩形ABCD中,CD=AB=8,由对称性知CF=BC=10,在RtDCF中,DF=6.评析评析本题考查了矩形的性质、图形的对称、勾股定理的应用等知识,属容易题.5.(2017湖南娄底,24,9分)如图,在ABCD中,各内角的平分线分别相交于点E,F,G,H.(1)求证:ABGCDE;(2)猜一猜四边形EFGH是什么样的特殊四边形,证明你的猜想;(3)若AB=6,BC=4,DAB=60,求四边形EFGH的面积.解析解析(1)证明:AG平分BAD,CE平分BCD,BAG=BAD,DCE=DCB,ABCD中,BAD=DCB,AB=CD,BAG=DCE,同理可得,ABG=CDE,在ABG和CDE中,ABGCDE(ASA).(2)四边形EFGH是矩形.证明:AG平分BAD,BG平分ABC,GAB=BAD,GBA=ABC,ABCD中,DAB+ABC=180,GAB+GBA=(DAB+ABC)=90,即AGB=90,同理可得,DEC=90,AHD=90=EHG,四边形EFGH是矩形.(3)依题意得,B A G=BAD=30,AGB=90,AB=6,BG=AB=3,AG=3=CE,在RtBCF中,BC=4,BCF=BCD=30,BF=BC=2,CF=2,EF=3-2=,GF=3-2=1,矩形EFGH的面积=EFG F=.解题关键解题关键本题主要考查了平行四边形的性质,矩形的判定以及全等三角形的判定与性质的运用,解题时注意:有三个角是直角的四边形是矩形.在判定三角形全等时,关键是选择恰当的判定方法.6.(2017湖南邵阳,20,8分)如图所示,已知平行四边形ABCD,对角线AC,BD相交于点O,OBC=OCB.(1)求证:平行四边形ABCD是矩形;(2)请添加一个条件使矩形ABCD为正方形.解析解析(1)证明:四边形ABCD是平行四边形,OA=OC,OB=OD,OBC=OCB,OB=OC,AC=BD,平行四边形ABCD是矩形.(2)AB=AD或ACBD,答案不唯一.理由:四边形ABCD是矩形,AB=AD,四边形ABCD是正方形.或四边形ABCD是矩形,ACBD,四边形ABCD是正方形.思路分析思路分析(1)根据平行四边形对角线互相平分可得OA=OC,OB=OD,根据等角对等边可得OB=OC,可得AC=BD,再根据对角线相等的平行四边形是矩形得证;(2)根据正方形的判定方法添加条件即可.解题关键解题关键本题考查了正方形的判定,平行四边形的性质,矩形的判定,熟练掌握特殊四边形的判定方法与性质是解题的关键.7.(2016湖南岳阳,18,6分)已知:如图,在矩形ABCD中,点E在边AB上,点F在边BC上,且BE=CF,EFDF,求证:BF=CD.证明证明四边形ABCD是矩形,B=C=90.EFDF,EFD=90,EFB+CFD=90.EFB+BEF=90,BEF=CFD.在BEF和CFD中,BEFCFD(ASA),BF=CD.解题关键解题关键此题考查了矩形的性质以及全等三角形的判定与性质,熟练掌握矩形的性质是解本题的关键.思路分析思路分析由四边形ABCD为矩形,得到B=C=90,再由EF与FD垂直,利用平角定义得到一对角互余,利用同角的余角相等得到一对角相等,利用ASA得到BEF与CFD全等,利用全等三角形对应边相等即可得证.1.(2017湖南长沙,10,3分)如图,菱形ABCD的 对 角 线AC、BD的长分别为6cm、8cm,则这个菱形的周长为()A.5cmB.10cmC.14cmD.20cm答案答案D根据菱形的对角线互相垂直平分,可知OA=3cm,OB=4cm,且OAOB,在RtAOB中,根据勾股定理可得AB=5cm,所以菱形ABCD的边长为5cm,所以菱形ABCD的周长为45=20cm.方法总结方法总结已知菱形两条对角线的长求菱形的周长时,利用菱形的对角线互相垂直平分,并结合勾股定理即可求解.考点二菱形考点二菱形2.(2016湖南岳阳,7,3分)下列说法的是()A.角平分线上的点到角的两边的距离相等B.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半C.菱形的对角线相等D.平行四边形是中心对称图形答案答案C菱形的对角线不一定相等,选项C不正确,故选C.3.(2016湖南益阳,4,5分)下列判断的是()A.两组对边分别相等的四边形是平行四边形B.四个内角都相等的四边形是矩形C.四条边都相等的四边形是菱形D.两条对角线垂直且平分的四边形是正方形答案答案D由对角线互相平分的四边形是平行四边形及对角线互相垂直的平行四边形是菱形,易得“两条对角线垂直且平分的四边形是菱形”,D项错误.故选D.4.(2016湖南湘西,8,4分)如图,已知菱形ABCD的两条对角线长分别为AC=8和BD=6,那么,菱形ABCD的面积为.答案答案24解析解析菱形ABCD的面积=68=24.思路分析思路分析直接根据菱形面积等于两条对角线的长度的乘积的一半进行计算即可.5.(2018湖南郴州,19,7分)如图,在ABCD中,作对角线BD的垂直平分线EF,垂足为O,分别交AD,BC于E,F,连接BE,DF.求证:四边形BFDE是菱形.证明证明在ABCD中,EF为对角线BD的垂直平分线,BO=DO,EDB=FBO,在DOE和BOF中,DOEBOF(ASA).OE=OF,又OB=OD,四边形BFDE是平行四边形,EFBD,四边形BFDE为菱形.6.(2015湖南益阳,18,10分)如图,在ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,CAB=ACB,过点B作BEAB交AC于点E.(1)求证:ACBD;(2)若AB=14,cosCAB=,求线段OE的长.解析解析(1)证明:CAB=ACB,AB=CB,ABCD是菱形,ACBD.(2)在RtAOB中,cosC A B=,AB=1 4,AO=14=,在RtA B E中,cosEAB=,AB=14,AE=AB=16.OE=AE-AO=16-=.考点三正方形考点三正方形1.(2017湖南长沙,12,3分)如图,将正方形ABCD折叠,使顶点A与CD边上的H重合(H不与端点C,D重合),折痕交AD于点E,交BC于点F,边AB折叠后与边B C交于点G.设正方形ABCD的周长为m,CHG的周长为n,则的值为()A.B.C.D.随H点位置的变化而变化答案答案B设正方形ABCD的边长为2a,则正方形的周长m=8a,设CH=x,DE=y,则DH=2a-x,EH=AE=2a-y,EHG=90,DHE+CHG=90,DHE+DEH=90,DEH=CHG,又D=C=90,CHGDEH,=,即=,CG=,GH=,CHG的周长为CH+CG+HG=,在RtDEH中,DH2+DE2=EH2,即(2a-x)2+y2=(2a-y)2,整理得4ax-x2=4ay,CH+CG+HG=4a=n.=,故选B.思路分析思路分析设正方形ABCD的边长为2a,则正方形的周长m=8a,设CH=x,DE=y,则DH=2a-x,EH=2a-y,然后利用正方形的性质和折叠的性质证明DEHCHG,利用相似三角形的对应边成比例可以把CG、HG分别用含a、x、y的式子来表示,CHG的周长也可以用含a、x、y的式子来表示,然后在RtDEH中用勾股定理可以得到4ax-x2=4ay,进而得到CHG的周长为4a=n,最后求得的值.2.(2014湖 南 郴 州,7,3分)平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是()A.对角线互相平分B.对角线互相垂直C.对角线相等D.对角线互相垂直平分且相等答案答案A矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形,具有平行四边形的所有性质,所以选项A正确.故选A.3.(2015湖南怀化,14,4分)如图,在正方形ABCD中,如果AF=BE,那么AOD的度数是.答案答案90解析解析由四边形ABCD是正方形,得AD=AB,DAB=B=90.在ABE和DAF中,ABEDAF,BAE=ADF.BAE+EAD=90,OAD+ADO=90,AOD=90.4.(2018湖南常德,26,10分)已知正方形ABCD中,AC与BD交于O点,点M在线段BD上,作直线AM交直线DC于E,过D作DHAE于H,设直线DH交AC于N.(1)如图1,当M在线段BO上时,求证:MO=NO;(2)如图2,当M在线段OD上时,连接NE,当ENBD时,求证:BM=AB;(3)如图3,当M在线段OD上时,连接NE,当NEEC时,求证:AN2=NCAC.证明证明(1)正方形ABCD的对角线AC,BD相交于O,OD=OA,AOM=DON=90,OND+ODN=90,ANH=OND,ANH+ODN=90,DHAE,DHM=90,ANH+OAM=90,ODN=OAM,DONAOM,OM=ON.(2)连接MN,ENBD,ENC=DOC=90,NEC=BDC=45=ACD,EN=CN,同(1)可得,OM=ON,OD=OC,DM=CN=EN,ENDM,四边形DENM是平行四边形,DNAE,DENM是菱形,DE=EN,EDN=END,ENBD,END=BDN,EDN=BDN.BDC=45,BDN=22.5,AHD=90,AMB=DME=90-BDN=67.5,ABM=45,BAM=67.5=AMB,BM=AB.(3)设CE=a(a0),ENCD,CEN=90,ACD=45,CNE=45=ACD,EN=CE=a,CN=a,设DE=b(b0),AD=CD=DE+CE=a+b,根据勾股定理得AC=AD=(a+b),同(1)可得OAM=ODN,OAD=ODC=45,EDN=DAE,DEN=ADE=90,DENADE,=,=,a=b(负值舍去),CN=a=b,AC=(a+b)=b,AN=AC-CN=b,AN2=2b2,ACCN=bb=2b2,AN2=ACCN.思路分析思路分析(1)先判断出OD=OA,AOM=DON,再利用同角的余角相等判断出ODN=OAM,即可证得DONAOM,进而得出结论.(2)先判断出四边形DENM是菱形,进而判断出BDN=22.5,即可判断出AMB=67.5,得出结论.(3)设CE=a(a0),进而表示出EN=CE=a,C N=a,设DE=b(b0),进而表示出AD=a+b,根据勾股定理得,AC=(a+b),同(1)可得OAM=ODN,得出EDN=DAE,进而判断出DENADE,得 出=,进而得出a=b,即可表示出CN=b,AC=b,所以AN2=ACCN=2b2,即可得出结论.5.(2015湖南娄底,25,10分)如图,P为正方形ABCD的边BC上一动点(P与B、C不重合),连接AP,过点B作BQAP交CD于点Q,将BQC沿BQ所在的直线翻折得到BQC,延长QC交BA的延长线于点M.(1)试探究AP与BQ的数量关系,并证明你的结论;(2)若AB=3,BP=2PC,求QM的长;(3)当BP=m,PC=n时,求AM的长.解析解析(1)AP=BQ.证明:PAB+APB=90,APB+CBQ=90,PAB=CBQ,在ABP和BCQ中,ABPBCQ,AP=BQ.(2)AB=BC=DC,AB=3,BP=2PC,BP=2,PC=1,由(1)知ABPBCQ,BP=CQ,将BQC沿BQ所在的直线翻折得到BQC,QC=QC=2,BC=BC=3,BQC=BQC,正方形ABCD中,ABCD,ABQ=BQC,ABQ=BQC,QM=BM,设QM=x,则BM=x,在RtMBC中,x2=(x-2)2+32,解得x=.QM的长为.(3)设AM=y,BP=m,PC=n,AB=BC=m+n,由(2)知QM=BM,在RtMBC中,(y+m+n)2=(y+n)2+(m+n)2,y=,即AM的长为.B B组组2014201420182018年全国中考题组年全国中考题组考点一矩形考点一矩形1.(2015山东临沂,12,3分)如图,四边形ABCD为平行四边形,延长AD到E,使DE=AD,连接E B,EC,DB.添加一个条件,不能使四边形DBCE成为矩形的是()A.AB=BEB.BEDCC.ADB=90D.CEDE答案答案B四边形ABCD是平行四边形,ADBC,AD=BC,AB=CD,DEBC,又DE=AD,DE=BC,四边形DBCE是平行四边形.若AB=BE,则CD=BE,则平行四边形DBCE是矩形.若CEDE,即DEC=90,则平行四边形DBCE是矩形.若ADB=90,则BDE=90,则平行四边形DBCE是矩形.当BEDC时,平行四边形DBCE是菱形.故选B.2.(2018四川成都,14,4分)如图,在矩形ABCD中,按以下步骤作图:分别以点A和C为圆心,以大于AC的长为半径作弧,两弧相交于点M和N;作直线MN交CD于点E.若DE=2,CE=3,则矩形的对角线AC的长为.解析解析如图,连接AE,由作图方法得MN垂直平分AC,EA=EC=3.在RtADE中,AD=.在RtADC中,AC=.答案答案思路分析思路分析连接AE,根据题中的作图方法,可得MN垂直平分AC,则EA=EC=3,用勾股定理先计算出AD,再计算出AC,得解.解题关键解题关键本题考查了矩形的性质,基本作图(作已知线段的垂直平分线),勾股定理,识别基本作图并熟练应用勾股定理计算是解题的关键.3.(2015福建龙岩,20,10分)如图,E,F分别是矩形ABCD的边AD,AB上的点,若EF=EC,且EFEC.(1)求证:AE=DC;(2)已知DC=,求BE的长.解析解析(1)证明:在矩形ABCD中,A=D=90,1+2=90.EFEC,FEC=90,2+3=90,1=3.(2分)在AEF和DCE中,AEFDCE,(4分)AE=DC.(6分)(2)由(1)得AE=DC,AE=DC=.在矩形ABCD中,AB=DC=,(8分)在RtABE中,AB2+AE2=BE2,即()2+()2=BE2,BE=2.(10分)考点二菱形考点二菱形1.(2018河南,10,3分)如图1,点F从菱形ABCD的顶点A出发,沿ADB以1cm/s的速度匀速运动到点B.图2是点F运动时,FBC的面积y(cm2)随时间x(s)变化的关系图象,则a的值为()图1图2A.B.2C.D.2答案答案C如图,作DEBC于点E,在菱形ABCD中,当F在AD上时,y=BCDE,即a=aDE,DE=2.由题意知DB=,在RtDEB中,BE=1,EC=a-1.在RtDEC中,DE2+EC2=DC2,22+(a-1)2=a2.解得a=.故选C.思路分析思路分析当点F在AD上运动时,y不变,值为a,可求得菱形的BC边上的高为2,由点F在BD上运动的时间为,得出BD的长,作出菱形的BC边上的高,由勾股定理可求a值.解后反思解后反思本题为菱形中的动点和函数图象问题,关键要根据菱形的各边都相等以及y的意义求出菱形的BC边上的高和BD的长,再构造直角三角形,用勾股定理求解.2.(2017河南,7,3分)如图,在ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,添加下列条件判定ABCD是菱形的只有()A.ACBDB.AB=BCC.AC=BDD.1=2答案答案C根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得选项A正确;根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可得选项B正确;对角线相等的平行四边形为矩形,故选项C错误;因为CDAB,所以2=DCA,再由1=2,可得1=DCA,所以AD=CD,由一组邻边相等的平行四边形是菱形,得ABCD是菱形,D正确.故选C.3.(2015福建龙岩,10,4分)如图,菱形ABCD的 周 长 为16,ABC=120,则AC的长为()A.4B.4C.2D.2答案答案A设AC与BD相交于点O,四边形ABCD是菱形,且其周长为16,ABC=120,AB=4,ACBD,AC=2AO,ABO=60,则在RtABO中,AO=AB s i n 6 0=2,AC=4,故选A.4.(2015甘肃兰州,10,4分)如图,菱形ABCD中,AB=4,B=60,AEBC,AFCD,垂足分别为E,F,连接EF,则AEF的面积是()A.4B.3 C.2D.答案答案B连接AC,在菱形ABCD中,AB=BC,B=60,ABC是等边三角形,AEBC,AE=2,EAC=30,同理可得AF=2,CAF=30,则EAF为等边三角形,SAEF=(2)2=3.故选B.5.(2015辽 宁 沈 阳,7,3分)顺次连接对角线相等的四边形的各边中点,所形成的四边形是()A.平行四边形B.菱形C.矩形D.正方形答案答案B如图,在ABD中,E,F分别是AB,AD的中点,EF是 ABD的中位线,EF=BD,同理,GH=BD,EH=AC,FG=AC,AC=BD,EF=FG=HG=HE,四边形EFGH是菱形.评析评析顺次连接四边形各边中点所得的四边形是中点四边形.中点四边形一定是平行四边形,它的其他特征取决于原四边形对角线的特点:若原四边形的对角线互相垂直,则中点四边形的各角为直角;若原四边形的对角线相等,则中点四边形的各边相等.6.(2017新疆乌鲁木齐,12,4分)如图,在菱形ABCD中,DAB=60,AB=2,则菱形ABCD的面积为.答案答案2解析解析四边形ABCD是菱形,AB=AD=2.如图,作DEAB交AB于点E,则DE=ADsin60=,S菱形ABCD=ABDE=2.考点三正方形考点三正方形1.(2017广东,10,3分)如图,已知正方形ABCD中,点E是BC边的中点,DE与AC相交于点F,连接BF.下列结论:SABF=SADF;SCDF=4SCEF;SADF=2SCEF;SADF=2SCDF,其中正确的是()A.B.C.D.答案答案CAB=AD,BAF=DAF,AF=AF,ABFADF,SABF=SADF,正确;同理,SCDF=SCBF,点E为BC边的中点,SCBF=2SCEF,即SCDF=2SCEF,不正确;ADEC,FAD=FCE,FDA=FEC,AFDCFE,=2,=22=4,SAFD=4SCFE,不正确;=2,=2,SADF=2SCDF,正确.故选C.2.(2015陕西,9,3分)在ABCD中,AB=10,BC=14,E、F分别为边BC、AD上 的 点.若四边形AECF为正方形,则AE的长为()A.7B.4或10C.5或9D.6或8答案答案D如图,设AE=x,则BE=14-x,在RtAEB中,x2+(14-x)2=102,整理得x2-14x+48=0,解得x1=6,x2=8.故选D.评析评析本题考查了平行四边形的性质,正方形的性质,勾股定理,关键是根据勾股定理得到关于AE的方程.3.(2017湖北黄冈,12,3分)已知:如图,在正方形ABCD的外侧,作等边三角形ADE,则BED=度.答案答案45解析解析四边形ABCD是正方形,AB=AD,BAD=90.三角形ADE是等边三角形,AD=AE,DAE=AED=60.BAE=BAD+DAE=90+60=150,AB=AE,AEB=ABE=(180-BAE)2=15,BED=AED-AEB=60-15=45.思路分析思路分析根据正方形的性质,可得AB与AD的数量关系,BAD的度数,根据等边三角形的性质,可得AE与AD的数量关系,AED的度数,进而可得ABE为等腰三角形及BAE的度数,从而可得AEB的度数,即可求得BED的度数.4.(2017天津,17,3分)如图,正方形ABCD和正方形EFCG的边长分别为3和1,点F,G分别在边BC,CD上,P为AE的中点,连接PG,则PG的长为.答案答案解析解析如图,过P作PHDG,H为垂足,过E作EJAD,J为垂足,设EJ与PH交于I.因为四边形ABCD和四边形EFCG都是正方形,所以PHAD,四边形EGDJ和四边形EGHI是矩形,所以DJ=EG=1,所以AJ=AD-DJ=3-1=2.又因为P为AE的中点,所以I为EJ的中点,所以PI=AJ=1,IE=JE=DG=1.因为四边形EGHI是矩形,所以HI=EG=1,HG=IE=1,所以PH=PI+IH=2.在RtPGH中,PG=.C C组教师专用题组组教师专用题组考点一矩形考点一矩形1.(2018浙江杭州,8,3分)如图,已知点P是矩形ABCD内一点(不含边界),设PAD=1,PBA=2,PCB=3,PDC=4.若APB=80,CPD=50,则()A.(1+4)-(2+3)=30B.(2+4)-(1+3)=40C.(1+2)-(3+4)=70D.(1+2)+(3+4)=180答案答案A过P作PQAD,与AB交于点Q,ADBC,PQADBC,APQ=PAD,QPB=CBP,又APB=80,CBP=APB-DAP=80-1,ABC=2+80-1,又在CDP中,DCP=180-CPD-PDC=130-4,BCD=3+130-4,又在矩形ABCD中,ABC+BCD=180,2+80-1+3+130-4=180,即(1+4)-(2+3)=30,故选A.2.(2018浙江杭州,16,4分)折叠矩形纸片ABCD时,发现可以进行如下操作:把ADE翻折,点A落在DC边上的点F处,折痕为DE,点E在AB边上;把纸片展开并铺平;把CDG翻折,点C落在线段AE上的点H处,折痕为DG,点G在BC边上.若AB=AD+2,EH=1,则AD=.解析解析设AD=x(x0),则AB=x+2,把ADE翻折,点A落在DC边上的点F处,DF=AD,EA=EF,又DFE=A=90,四边形AEFD为正方形,AE=AD=x,把CDG翻折,点C落在线段AE上的点H处,折痕为DG,点G在BC边上,DH=DC=x+2,HE=1,AH=AE-HE=x-1,在RtADH中,AD2+AH2=DH2,x2+(x-1)2=(x+2)2,整理得x2-6x-3=0,解得x1=3+2,x2=3-2(舍去),AD=3+2.答案答案3+2方法总结方法总结本题考查了折叠的性质.折叠是一种对称变换,它属于轴对称,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等.同时本题也考查了矩形的性质和勾股定理.3.(2017江西,12,3分)已知点A(0,4),B(7,0),C(7,4),连接AC,BC得到矩形AOBC,点D在边AC上,将边OA沿OD折叠,点A的对应点为A,若点A到矩形两对边的距离之比为13,则点A的坐标为.答案答案(,3)或(,1)或(2,-2)(每答对一个得1分)解析解析点A(0,4),B(7,0),C(7,4),BC=OA=4,OB=AC=7.分两种情况进行讨论:(1)当点A在矩形AOBC的内部时,过A作OB的垂线交OB于F,交AC于E,如图1所示:图1当AEAF=13时,AE+AF=OA=4,AE=1,AF=3,由折叠可得OA=OA=4,在RtOAF中,OF=,A(,3).当AEAF=31时,同理,得A(,1).(2)当点A在矩形AOBC的外部时,此时点A在第四象限,过A作OB的垂线交OB于F,交AC于E,如图2所示:图2AFAE=13,则AFEF=12,AF=EF=BC=2,由折叠可得OA=OA=4,在RtOAF中,OF=2,A(2,-2).综上,点A的坐标为(,3)或(,1)或(2,-2).易错警示易错警示解此题时,需分类讨论点A的位置,学生往往只画出点A在第一象限的情况而漏解.4.(2017贵州贵阳,15,4分)如图,在矩形纸片ABCD中,AB=2,AD=3,点E是AB的中点,点F是AD边上的一个动点,将AEF沿EF所在直线翻折,得到AEF,则AC的长的最小值是.答案答案-1解析解析连接CE(图略).由题意知CE,EA的长是定值,且有ACCE-EA,当A在CE上时,AC的长最小.E为AB的中点,AB=2,BE=1.在RtCBE中,CE=.AE=AE=1,AC的长的最小值=CE-AE=-1.思路分析思路分析当A在CE上时,AC的长最小,根据勾股定理求出CE,根据折叠的性质可知AE=AE=1,即可求出AC的长的最小值.解题关键解题关键得出点A的位置是解题的关键.5.(2015内蒙古包头,20,3分)如图,在矩形ABCD中,BAD的平分线交BC于点E,交DC的延长线于点F,取EF的中点G,连接CG,BG,BD,DG,下列结论:BE=CD;DGF=135;ABG+ADG=180;若=,则3SBDG=13SDGF.其中正确的结论是.(填写所有正确结论的序号)答案答案解析解析因为BAD=ADF=90,AE平分BAD,所以BAE=DAF=F=45,所以AD=DF=BC,AB=BE=CD.在DGF中,F=45,所以DGF135.在等腰RtEFC中,因为G为EF的中点,所以GF=GC,F=BCG=45,又因为DF=BC,所以DGFBGC(SAS),所以GDF=GBC.又因为DBC+BDC=90,所以GBD+GDB=GBC+CBD+GDB=CBD+GDB+CDG=90,所以BGD=90,在 四 边 形ABGD中,BAD=BGD=90,所以ABG+ADG=180.因为=,所以可设AB=2k,则AD=3k,所以BD=k.所以SBDG=BD2=k2.作GMCF于M,则G M=C F=k.所以SDGF=DFGM=k2.所以3SBDG=13SDGF.故正确.评析评析本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质与判定、三角形全等的性质与判定、三角形的面积等知识.考查内容较多、较复杂.属难题.6.(2014河南,15,3分)如图,矩形ABCD中,AD=5,AB=7.点E为DC上一个动点,把ADE沿AE折叠,当点D的对应点D落在ABC的角平分线上时,DE的长为.解析解析作BF平分ABC交CD于点F,作AGBF于点G,由题意知AG=ABsin45=,5,D是以A为圆心,AD长为半径的圆弧与BF的交点,易知有两种情况,第一种情况:如图,图在RtAGD中,DG=,BD=+=4,答案答案或DF=BF-DB=5-4=,作DHCD,垂足为H.在RtDFH中,易求得FH=HD=1,DH=DF+FH=3,设DE=x,则DE=x,EH=3-x,在RtEHD中,EH2+DH2=DE2,即(3-x)2+12=x2,解得x=,即DE=,第二种情况:如图,图作DHCD,垂足为H,同理求得DE=.综上所述,DE的 长 为或.评析评析本题是以矩形为载体,以折叠为背景的求线段长问题,主要考查矩形的性质,轴对称的性质,角平分线,勾股定理的运用,依据题意构造直角三角形是关键,本题属难题.7.(2018天津,24,10分)在平面直角坐标系中,四边形AOBC是矩形,点O(0,0),点A(5,0),点B(0,3),以点A为中心,顺时针旋转矩形AOBC,得到矩形ADEF,点O,B,C的对应点分别为D,E,F.(1)如图a,当点D落在BC边上时,求点D的坐标.(2)如图b,当点D落在线段BE上时,AD与BC交于点H.求证ADBAOB;求点H的坐标.(3)记K为矩形AOBC对角线的交点,S为KDE的面积,求S的取值范围(直接写出结果即可).图a图b解析解析(1)点A(5,0),点B(0,3),OA=5,OB=3.四边形AOBC是矩形,AC=OB=3,BC=OA=5,OBC=C=90.矩形ADEF是由矩形AOBC旋转得到的,AD=AO=5.在RtADC中,有AD2=AC2+DC2,DC=4.BD=BC-DC=1.点D的坐标为(1,3).(2)证明:由四边形ADEF是矩形,得ADE=90.又点D在线段BE上,得ADB=90.由(1)知,AD=AO,又AB=AB,AOB=90,RtADBRtAOB.由RtADBRtAOB,得BAD=BAO.又在矩形AOBC中,OABC,CBA=OAB.BAD=CBA.BH=AH.设BH=t(0t5),则AH=t,HC=BC-BH=5-t.在RtACH中,有AH2=AC2+HC2,t2=32+(5-t)2,解得t=.BH=.点H的坐标为.(3)S.思路分析思路分析(1)根据点的坐标及旋转的性质得AD=AO=5,在直角ACD中运用勾股定理可求CD的长,从而可确定D点坐标.(2)根据直角三角形全等的判定方法进行判定;由知BAD=BAO,再根据矩形的性质得CBA=OAB,从而BAD=CBA,故BH=AH,在RtACH中,运用勾股定理可求得AH的长,得出H点的坐标.(3)在矩形旋转的过程中,根据点K与直线DE的距离范围即可确定S的取值范围.提示如图1,当矩形顶点D在线段AB上时,点K到直线DE的距离最小,最小值为线段DK的长,DK=AD-AB=5-,S=DKDE=.图1如图2,当矩形顶点D在BA的延长线上时,点K到直线DE的距离最大,最大值为线段DK的长,DK=AD+AB=5+,S=DKDE=.所以S.图28.(2018贵州贵阳,24,12分)如图,在 矩 形ABCD中,AB=2,AD=,P是BC边上的一点,且BP=2CP.(1)用尺规在图中作出CD边上的中点E,连接AE,BE(保留作图痕迹,不写作法);(2)如图,在(1)的条件下,判断EB是否平分AEC,并说明理由;(3)如图,在(2)的条件下,连接EP并延长交AB的延长线于点F,连接AP.不添加辅助线,PFB能否由都经过P点的两次变换与PAE组成一个等腰三角形?如果能,说明理由,并写出两种方法(指出对称轴、旋转中心、旋转方向、旋转角或平移方向和平移距离);如果不能,也请说明理由.解析解析(1)如图所示,点E为所作的点,EA,EB为所连的线段.(2)EB平分AEC,理由如下:如题图,由(1)及已知可知DE=1.四边形ABCD是矩形,A D=,在RtADE中,t a n DEA=,AE=2,DEA=60,EAB=60,AEC=180-60=120.由作图可知EA=EB,EAB是等边三角形,AEB=60,CEB=120-60=60,AEB=CEB,EB平分AEC.(3)PFB能由都经过P点的两次变换与PAE组成一个等腰三角形,理由如下:如题图,BP=2CP,AD=BC=,BP=.由题意可知,C=PBF=90,EPC=FPB,ECPFBP,=,FB=2EC=DC=2,B是AF的中点,PB是线段AF的垂直平分线,PBFPBA.在RtPFB中,tanF=,F=30,AEP=180-F-EAF=90.AE=AB,AP=AP,AEP=ABP=90,RtPEARtPBA,PBFPBAPEA,可将PFB作如下变换后与PAE组成一个等腰三角形.PFB关于PF对称,再以点P为旋转中心,逆时针旋转120;PFB以点P为旋转中心,顺时针旋转120,再关于PE对称.9.(2018云南昆明,23,12分)如图1,在矩形ABCD中,P为CD边上一点(DPAB.在边AD上取点E,使AE=AB,连接CE.过点E作EFCE,与边AB或其延长线交于点F.猜想:如图,当点F在边AB上时,线段AF与DE的大小关系为.探究:如图,当点F在边AB的延长线上时,EF与边BC交于点G.判断线段AF与DE的大小关系,并加以证明.应用:如图,若AB=2,AD=5,利用探究得到的结论,求线段BG的长.解析解析猜想:AF=DE.(2分)探究:AF=DE.证明:EFCE,CEF=90.1+2=90.四边形ABCD为矩形,A=D=90,AB=CD.2+3=90.1=3.AE=AB,AE=DC.AEFDCE.AF=DE.(6分)应用:AF=DE=AD-AE=5-2=3,BF=AF-AB=3-2=1.在矩形ABCD中,ADBC,FBGFAE.=,即=.BG=.(9分)15.(2015北京,22,5分)在ABCD中,过点D作DEAB于点E,点F在边CD上,DF=BE,连接AF,BF.(1)求证:四边形BFDE是矩形;(2)若CF=3,BF=4,DF=5,求证:AF平分DAB.证明证明(1)在ABCD中,ABCD,DF=BE,四边形BFDE为平行四边形.DEAB,DEB=90.四边形BFDE是矩形.(2)由(1)可得,BFC=90.在RtBFC中,由勾股定理可得BC=5.AD=BC=5.AD=DF.DAF=DFA.ABCD,DFA=FAB.DAF=FAB.AF平分DAB.16.(2015辽宁沈阳,18,8分)如图,点E为矩形ABCD外一点,AE=DE,连接EB、EC分别与AD相交于点F、G.求证:(1)EABEDC;(2)EFG=EGF.证明证明(1)四边形ABCD是矩形,AB=DC,BAD=CDA=90.EA=ED,EAD=EDA,EAB=EDC,EABEDC.(2)EABEDC,AEF=DEG.EFG=EAF+AEF,EGF=EDG+DEG,EFG=EGF.考点二菱形考点二菱形1.(2017江西,6,3分)如图,任意四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA上的点,对于四边形EFGH的形状,某班学生在一次数学活动课中,通过动手实践,探索出如下结论,其中的是()A.当E,F,G,H是各边中点,且AC=BD时,四边形EFGH为菱形B.当E,F,G,H是各边中点,且ACBD时,四边形EFGH为矩形C.当E,F,G,H不是各边中点时,四边形EFGH可以为平行四边形D.当E,F,G,H不是各边中点时,四边形EFGH不可能为菱形答案答案D连接AC,BD.当E,F,G,H是各边中点时,由三角形中位线定理可得EFA C且EF=AC,GHAC且GH=AC,所以EFGH且EF=GH,所以四边形EFGH为平行四边形.当AC=BD时,因为E F=AC,E H=BD,所以EF=EH,所以四边形EFGH为菱形,选项A正确;当ACBD时,因为EFAC,EHBD,所以EFEH,所以四边形EFGH为矩形,选项B正确;当E,F,G,H不是各边中点时,若=,=,则GHAC,EFAC,所以GHEF.因为=,所以EF=GH,所以四边形EFGH为平行四边形,选项C正确;例如,当E,F,G,H不是各边中点,且=,BD=2AC时,由上述可知四边形EFGH为平行四边形,所以=,=,即=,所以=,即EF=EH,所以四边形EFGH为菱形,选项D错误.综上,选D.2.(2017河北,9,3分)求证:菱形的两条对角线互相垂直.已知:如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD交于点O.求证:ACBD.以下是排乱的证明过程:又BO=DO,AOBD,即ACBD.四边形ABCD是菱形,AB=AD.证明步骤正确的顺序是()A.B.C.D.答案答案B证明:四边形ABCD是菱形,AB=AD,又BO=DO,AOBD,即ACBD.所以证明步骤正确的顺序是,故选B.3.(2017广西南宁,16,3分)如图,菱形ABCD的 对 角 线 相 交 于 点O,AC=2,BD=2,将菱形按如图方式折叠