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初中函数知识点总复习

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正比例函数的概念
  一般地，两个变量x，y之间的关系式可以表示成形如y=kx（k为常数，且k≠0）的函数，那么y就叫做x的正比例函数。
  正比例函数属于一次函数，但一次函数却不一定是正比例函数。正比例函数是一次函数的特殊形式，即一次函数 y=kx+b 中，若b＝0，即所谓“y轴上的截距”为零，则为正比例函数。正比例函数的关系式表示为：y=kx（k为比例系数）
  当K＞0时（一三象限），K越大，图像与y轴的距离越近。函数值y随着自变量x的增大而增大．
  当K＜0时（二四象限），k越小，图像与y轴的距离越近。自变量x的值增大时，y的值则逐渐减小．
正比例函数的性质
  1.定义域：R（实数集）
  2.值域：R（实数集）
  3.奇偶性：奇函数
  4.单调性：当k>0时，图象位于 象限，y随x的增大而增大（单调递增）；当k<0时，图象位于 象限，y随x的增大而减小（单调递减）。
  5.周期性：不是周期函数。
  6.对称轴：直线，无对称轴。
正比例函数解析式的求法
  设该正比例函数的解析式为 y=kx（k≠0），将已知点的坐标带入上式得到k，即可求出正比例函数的解析式。
  另外，若求正比例函数与其它函数的交点坐标，则将两个已知的函数解析式联立成方程组，求出其x，y值即可。
正比例函数的图像
  正比例函数的图像是经过坐标原点（0，0）和定点（x，kx）两点的一条直线，它的斜率是k，横、纵截距都为0。
正比例函数图像的作法
  1.在x允许的范围内取一个值，根据解析式求出y值
  2.根据第一步求的x、y的值描出点
  3.做过第二步描出的点和原点的直线
正比例函数的应用
  正比例函数在线性规划问题中体现的力量也是无穷的。
  比如斜率问题就取决于K值，当K越大，则该函数图像与x轴的夹角越大，反之亦然
  还有，y=kx 是 y=k/x 的图像的对称轴。
  ①正比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做成正比例关系． ①用字母表示：如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的比值，（一定）正比例关系可以用以下关系式表示： 
  ②正比例关系两种相关联的量的变化规律：对于比值为正数的,即y=kx(k>0),此时的y与x,同时扩大，同时缩小，比值不变．例如：汽车每小时行驶的速度一定，所行的路程和所用的时间是否成正比例？ 
  以上各种商都是一定的，那么被除数和除数． 所表示的两种相关联的量，成正比例关系． 注意：在判断两种相关联的量是否成正比例时应注意这两种相关联的量，虽然也是一种量，随着另一种的变化而变化，但它们相对应的两个数的比值不一定，它们就不能成正比例． 例如：一个人的年龄和它的体重，就不能成正比例关系，正方形的边长和它的面积也不成正比例关系。
反比例函数的定义
  一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y＝k／x (k为常数，k≠0)的形式，那么称y是x的反比例函数。
  因为y=k/x是一个分式，所以自变量X的取值范围是X≠0。而y=k/x有时也被写成xy=k或y=kx-¹。
[编辑本段]反比例函数表达式
  y＝k／x 其中X是自变量，Y是X的函数
  y=k/x=k·1/x
  xy=k
  y=k·x^-1
  y=k\x(k为常数(k≠0），x不等于0）
反比例函数的自变量的取值范围
  ① k ≠ 0; ②一般情况下 , 自变量 x 的取值范围是 x ≠ 0 的一切实数 ; ③函数 y 的取值范围也是一切非零实数 .
[编辑本段]反比例函数图象
  反比例函数的图象属于双曲线,
  曲线越来越接近X和Y轴但不会 （K≠0）。
反比例函数性质
  1.当k>0时，图象分别位于 象限；当k<0时，图象分别位于 象限。
  2.当k>0时.在同一个象限内，y随x的增大而 ；当k<0时，在同一个象限，y随x的增大而 。
  k>0时，函数在x<0上为 函数、在x>0上同为 函数；k<0时，函数在x<0上为 函数、在x>0上同为 函数。
  定义域为x≠0；值域为y≠0。
  3.因为在y=k/x(k≠0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交。
  4. 在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2则S1＝S2=|K|
  5. 反比例函数的图象既是 对称图形，又是 对称图形，它有两条对称轴 y=x y=-x（即第一三，二四象限角平分线），对称中心是坐标原点。
  6.若设正比例函数y=mx与反比例函数y=n/x交于A、B两点（m、n同号），那么A B两点关于原点对称。
  7.设在平面内有反比例函数y=k/x和一次函数y=mx+n，要使它们有公共交点，则b²+4k·m≥（不小于）0。
  8.反比例函数y=k/x的渐近线：x轴与y轴。
反比例函数的应用
  【例1】反比例函数 的图象上有一点P（m, n）其坐标是关于t的一元二次方程t2-3t+k=0的两根，且P到原点的距离为根号13，求该反比例函数的解析式．

  【例2】直线 与位于第二象限的双曲线 相交于A、A1两点，过其中一点A向x、y轴作垂线，垂足分别为B、C，矩形ABOC的面积为6，求：
  （1）直线与双曲线的解析式；
  （2）点A、A1的坐标.

一次函数
   【解释】函数的基本概念：一般地，在一个变化过程中，有两个变量X和Y，并且对于x每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说X是自变量，y是x的函数。表示为y＝Kx＋b（其中b为任意常数,k不等于0），当b＝0时称y为x的正比例函数，正比例函数是一次函数中的特殊情况。可表示为y=kx
[编辑本段]基本定义
  变量：变化的量
  常量：不变的量
  自变量x和X的一次函数y有如下关系：
  y=kx+b （k为任意不为零常数，b为任意常数）
  当x取一个值时，y有且只有一个值与x对应。如果有2个及以上个值与x对应时，就不是一次函数。
  x为自变量，y为因变量，k为常量，y是x的一次函数。
  特别的，当b=0时，y是x的 函数。即：y=kx （k为常量，但K≠0）正比例函数图像经过 。
  定义域：自变量的取值范围，自变量的取值应使函数有意义；要与实际相符合。
函数性质
1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k
  即：y=kx+b（k≠0) （k不等于0，且k，b为常数）
  2.当x=0时，b为函数在y轴上的,坐标为(0,b).
  3 为一次函数y=kx+b的斜率,k=tanΘ(角Θ为一次函数图象与x轴正方向夹角,Θ≠90°)
  形、取、象、交、减。
  4.当b=0时(即 y=kx)，一次函数图像变为 函数， 是特殊的一次函数.
  5.函数图像性质：当k相同，且b不相等，图像 ；当k不同，且b相等，图像 ；当k互为负倒数时，两直线垂直；当k，b都相同时，两条直线重合。

图像性质
1．作法与图形：通过如下3个步骤
  （1）列表
  （2）描点；[一般取两个点,根据“两点确定一条直线”的道理]；
  （3）连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。（通常找函数图像与x轴和y轴的交点分别是-k分之b与0，0与b）
  2．性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b(k≠0)。（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像都是过原点。
  3．函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系。
  4．k，b与函数图像所在象限：
  y=kx时（即b等于0，y与x成正比例)：
  当k＞0时，直线必通过 象限，y随x的增大而 ；
  当k＜0时，直线必通过 象限，y随x的增大而 。
  y=kx+b时：
  当 k>0,b>0, 这时此函数的图象经过 象限。
  当 k>0,b<0, 这时此函数的图象经过 象限。
  当 k<0,b>0, 这时此函数的图象经过 象限。
  当 k<0,b<0, 这时此函数的图象经过 象限。
  当b＞0时，直线必通过 象限；
  当b＜0时，直线必通过 象限。
  特别地，当b=0时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。
  这时，当k＞0时，直线只通过 象限，不会通过 象限。当k＜0时，直线只通过 象限，不会通过 象限。
  4、特殊位置关系
  当平面直角坐标系中两直线平行时，其函数解析式中K值（即一次项系数）相等
  当平面直角坐标系中两直线垂直时，其函数解析式中K值互为负倒数（即两个K值的乘积为-1）
解析式类型
① [一般式] 
  ② [斜截式] 
  （k为直线斜率，b为直线纵截距，正比例函数b=0） 
  ③ [点斜式] 
  （k为直线斜率,(x1,y1)为该直线所过的一个点） 
  ④) [两点式] 
  （（x1,y1）与（x2,y2）为直线上的两点） 
  ⑤ [截距式] 
  （a、b分别为直线在x、y轴上的截距） 
  解析式表达局限性： 
  ①所需条件较多（3个）； 
  ②、③不能表达没有斜率的直线（平行于x轴的直线）； 
  ④参数较多，计算过于烦琐； 
  ⑤不能表达平行于坐标轴的直线和过圆点的直线。 
  倾斜角：x轴到直线的角（直线与x轴正方向所成的角）称为直线的倾斜 角。设一直线的倾斜角为a，则该直线的斜率k=tg(a)
常用公式
  1.求函数图像的k值：
  2.求与x轴平行线段的中点：
  3.求与y轴平行线段的中点：
  4.求任意线段的长：√(x1-x2)^2+(y1-y2)^2 （注：根号下（x1-x2)与（y1-y2)的平方和） 
  5.求两个一次函数式图像交点坐标：解两函数式 
  两个一次函数 y1=k1x+b1 y2=k2x+b2 令y1=y2 得k1x+b1=k2x+b2 将解得的x=x0值代回y1=k1x+b1 y2=k2x+b2 两式任一式 得到y=y0 则(x0,y0)即为 y1=k1x+b1 与 y2=k2x+b2 交点坐标
  6.求任意2点所连线段的中点坐标：[（x1+x2）/2，（y1+y2）/2]
  7.求任意2点的连线的一次函数解析式：（X-x1）/(x1-x2)=(Y-y1)/(y1-y2) (其中分母为0，则分子为0) 
  x y
  + + 在第一象限
  + - 在第四象限
  - + 在第二象限
  - - 在第三象限
  8.若两条直线 y1=k1x+b1‖y2=k2x+b2，那么k1=k2，b1≠b2
  9.如两条直线 y1=k1x+b1⊥y2=k2x+b2，那么k1×k2=-1
  10.y=k（x-n）+b就是向 平移n个单位
  y=k（x+n）+b就是向 平移n个单位
  口诀：右减左加（对于y=kx+b来说，只改变k）
  y=kx+b+n就是向 平移n个单位
  y=kx+b-n就是向 平移n个单位
  口诀：上加下减（对于y=kx+b来说，只改变b）
生活中的应用
1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。
 2.当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。
 3.当弹簧原长度b（未挂重物时的长度）一定时，弹簧挂重物后的长度y是重物重量x的一次函数，即y=kx+b（k为任意正数）

数学问题
一、确定字母系数的取值范围
  例1 已知正比例函数 ，则当k<0时，y随x的增大而减小。

二、比较x值或y值的大小
  例2. 已知点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）是一次函数y=3x+4的图象上的两个点，且y1>y2，则x1与x2的大小关系是（ ）
  A. x1>x2 B. x1<x2 C. x1=x2 D.无法确定 

三、判断函数图象的位置
  例3. 一次函数y=kx+b满足kb>0，且y随x的增大而减小，则此函数的图象不经过（ ）
  A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
 典型例题
例1. 一个弹簧，不挂物体时长12cm,挂上物体后会伸长，伸长的长度与所挂物体的质量成正比例.如果挂上3kg物体后，弹簧总长是13.5cm，求弹簧总长是y(cm)与所挂物体质量x(kg)之间的函数关系式.如果弹簧最大总长为23cm，求自变量x的取值范围.

  例2 某学校需刻录一些电脑光盘，若到电脑公司刻录，每张需8元，若学校自刻，除租用刻录机120元外，每张还需成本4元，问这些光盘是到电脑公司刻录，还是学校自己刻费用较省？

例3 如果一次函数y=kx+b中x的取值范围是-2≤x≤6，相应的函数值的范围是-11≤y≤9.求此函数的的解析式。

二次函数
一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：
  一般式：1：y=ax^2;+bx+c(a≠0，a、b、c为常数)，     则称y为x的二次函
  数。顶点坐标
  2：顶点式：y=a(x-h）^2+k或y=a(x+m)^2+k (两个式子实质一样,
  但初中课本上都是第一个式子)
  3：交点式（与x轴）：y=a(x-x1)(x-x2)
  重要概念：（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下。IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大。）
  二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
  x是自变量，y是x的二次函数
  x1,x2=[-b±根号下(b^2-4ac)]/2a (即一元二次方程求根公式） 
  求根的方法还有十字相乘法和配方法
二次函数的图像
  在平面直角坐标系中作出二次函数y=2x的平方的图像，
  可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。不同的二次函数图像
  如果所画图形准确无误，那么二次函数将是由一般式平移得到的。
  注意：草图要有        1本身图像，旁边注名函数。
  2画出对称轴，并注明X=什么
  3与X轴交点坐标，与Y轴交点坐标，顶点坐标。
抛物线的性质
  1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线
  对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
  特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是 轴（即直线x=0）
  2.抛物线有一个顶点P，坐标为
  当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b^2-4ac=0时，P在x轴上。
  3.二次项系数a决定抛物线的
  当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。
  |a|越大，则抛物线的开口越小。
  4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
  当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴 侧； 因为若对称轴在左边则对称轴小于0，也就是-          b/2a<0,所以b/2a要大于0，所以a、b要同号
  当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴 侧。因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是-          b/2a>0,    所以b/2a要小于0，所以a、b要异号
  可简单记忆为左同右异，即当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时
  （即ab＜  0 ），对称轴在y轴右。
 5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
  抛物线与y轴交于（0，c）
  6.抛物线与x轴交点个数
  Δ= b^2-4ac＞0时，抛物线与x轴有 个交点。
  Δ= b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有 个交点。
Δ= b^2-4ac＜0时，抛物线与x轴 。
  当a>0时，函数在x= -b/2a处取得最 值f(-b/2a)=4ac-b²/4a；在{x|x<-b/2a}上是减函数，在
  {x|x>-b/2a}上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是{y|y≥4ac-b^2/4a}相反不变
  当b=0时，抛物线的对称轴是 轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为y=ax^2+c(a≠0)
  7.特殊值的形式
  ①当x=1时 y=a+b+c
  ②当x=-1时 y=a-b+c
  ③当x=2时 y=4a+2b+c
  ④当x=-2时 y=4a-2b+c
  8.定义域：R 
  值域：（对应解析式，且只讨论a大于0的情况，a小于0的情况请读者自行推断）①[(4ac-b^2)/4a，
  正无穷）；②[t，正无穷） 
  奇偶性：偶函数 
  周期性：无 
二次函数与一元二次方程
  特别地，二次函数（以下称函数）y=ax^2+bx+c，
  当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），
  即ax^2+bx+c=0
  此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。
  函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。 
  1．二次函数y=ax^2;，y=a(x-h)^2;，y=a(x-h)^2+k，y=ax^2+bx+c(各式中，a≠0)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表： 
  解析式  顶点坐标  对 称 轴 
y=ax^2; (0，K) x=0 
y=ax^2+K (h，0)  x=0
y=a(x-h)^2;  (0，0)  x=h 
y=a(x-h)^2+k (h，k)  x=h 
  y=ax^2+bx+c       (-b/2a，4ac-b^2/4a)  x=-b/2a 
当h>0时，y=a(x-h)^2;的图象可由抛物线y=ax^2;向 平行移动 个单位得到，
  当h<0时，则向 平行移动 个单位得到．
  当h>0,k>0时，将抛物线y=ax^2;向 平行移动 个单位，再向 移动 个单位，就可以得到y=a(x-h)^2+k的图象；
  当h>0,k<0时，将抛物线y=ax^2;向 平行移动 个单位，再向 移动 个单位可得到y=a(x-h)^2-k的图象；
  当h<0,k>0时，将抛物线向 平行移动 个单位，再向 移动 个单位可得到y=a(x+h)²+k的图象；
  当h<0,k<0时，将抛物线向 平行移动 个单位，再向 移动 个单位可得到y=a(x-h)²+k的图象；在向上或向下.向左或向右平移抛物线时，可以简记为“上加下减，左加右减”。
  因此，研究抛物线 y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)^2;+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了．这给画图象提供了方便． 
  2．抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象：当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，[4ac-b^2;]/4a)． 
  3．抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)，若a>0，当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而减小；当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而增大．若a<0，当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而增大；当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而减小． 
  4．抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点： 
  (1)图象与y轴一定相交，交点坐标为 ； 
  (2)当△=b^2-4ac>0，图象与x轴交于两点A(x?，0)和B(x?，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0  
  (a≠0)的两根．这两点间的距离AB=|x?-x?| =√△/∣a∣（a绝对值分之根号下△）另外，抛物线上任何一对对称点的距离可以由|2×（-b/2a）－A |（A为其中一点的横坐标）
  当△=0．图象与x轴只有一个交点； 
  当△<0．图象与x轴没有交点．当a>0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0；当a<0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0． 
  5．抛物线y=ax^2+bx+c的最值：如果a>0(a<0)，则当x= -b/2a时，y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a． 
  顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值． 
  6．用待定系数法求二次函数的解析式 
  (1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：
  y=ax^2+bx+c(a≠0)． 
  (2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴或极大（小）值时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)^2+k(a≠0)． 
  (3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x?)(x-x?)(a≠0)． 

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