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方程与不等式的中考备考指导
刘伟元 张学勇
在新课改和新课标理念的指导下，中考命题出现了能力立意和题型创新的新趋向，在遵循新课标要求的同时，更加注重了对考生学习潜能的考查。对“方程与不等式”这一部分在中考如何去复习，如何把握呢?我们共同去探讨一下。
一考试内容
（1） 方程与方程组
一元一次方程、二元一次方程组、三元一次方程组、可化为一元一次方程的分式方程.一元二次方程、根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程的解法、估计方程的根、解简单的可化为一元二次方程的分式方程。
（2） 不等式、不等式组
不等式的基本性质、一元一次不等式及一元一次不等式组的解法，一元一次不等式及一元一次不等式组的应用.，
二 中考要求
方程(组）与不等式(组)是中考命题的重点和热点，重点考查方程、不等式的基础知识,多以填空题和选择题的形式出现。随着新课标的不断深入和发展，数学学习越来越注重知识的应用性。所以利用方程（组)或不等式(组)解决实际问题将会进一步加大考查的力度，同时考查同学们收集和处理信息的能力、获取新知识的能力、分析问题的能力以及创新实践能力。具体的中考要求如下：
(1) 能够根据具体问题中的数量关系，列出方程(或方程组），会应用方程（组）这一重要的数学模型解决问题。
(2) 会用观察、画图或计算器等手段估计方程的解。
(3) 会解一元一次方程、简单的二元一次方程组、三元一次方程组、可化为一元一次方程的分式方程。
(4) 理解配方法，会用因式分解法、公式法、配方法解简单的一元二次方程。会用根的判别式、根与系数的关系解决问题。会解简单的可化为一元二次方程的分式方程。
(5) 能根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义，会探索不等式的基本性质.
(6) 理解不等式解集的意义，会简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示解集。会解由两个一元一次不等式组成的不等式组，并会用数轴确定解集。
(7) 能根据具体的数量关系，列一元一次不等式或列一元一次不等式组解决简单的实际问题。
三考点分析
(一) 方程与方程组的解法
例1(2011潍坊中考3分)方程组的解是________________．
分析：把方程组中的第二个方程乘以2,然后两方程相加消去未知数y,可以解出x=2,把x=2代入第二个方程得y=3
所以,
例2（2010潍坊中考3分）
分式方程的解是—---——--————
分析：方程的两边同乘以(x—5)(x+6)得x（x+6）=（x—4）（x-5)，解整式方程得.

例3(2010潍坊中考3分)
二元一次方程组的解是（ )
A B C D

答案：A
例4．（2009潍坊中考3分）方程的解是 ．
答案:
例5（2007潍坊中考3分）．解分式方程，可知方程（ ）
A．解为 B．解为 C．解为 D．无解
答案D
点拨：根据潍坊近几年的中考题来看，解分式方程和解二元一次方程组是考察的重点，主要以选择题和填空题的形式出现，分值一般是3分左右。
(二）方程｛组}的思想解决实际问
例1。（2010,昆明中考)去年入秋以来，云南发生了百年一遇的旱灾，连续8个月无有效降水，为抗旱救灾，某部队计划为驻地村民新修水渠3600米,为了水渠能尽快投入使用，实际工作效率是原计划工作效率的1。8倍，结果提前20天完成修水渠的任务，问原计划每天修水渠多少米？
分析：本题的等量关系是“原计划所用天数－实际所用天数=20"。设原计划每天修水渠x米,则需修天；实际每天修1。8x米，则实际修了天.
解：设原计划每天修水渠x米,根据题意得，
—=20，解得x=80
经检验:x=80是原分式方程的解.
答：原计划每天修水渠80米。
例2（2009潍坊中考)（本小题满分10分）
A
D
C
B
P
Q
D
C
A
B
图①

O1
O2
图②

要对一块长60米、宽40米的矩形荒地进行绿化和硬化．
(1）设计方案如图①所示,矩形P、Q为两块绿地，其余为硬化路面，P、Q两块绿地周围的硬化路面宽都相等，并使两块绿地面积的和为矩形面积的，求P、Q两块绿地周围的硬化路面的宽．
（2）某同学有如下设想：设计绿化区域为相外切的两等圆，圆心分别为和，且到的距离与到的距离都相等,其余为硬化地面，如图②所示,这个设想是否成立？若成立,求出圆的半径；若不成立,说明理由．
解：（1)设两块绿地周围的硬化路面的宽都为米,根据题意，得：
3分
解之，得： 5分
经检验，不符合题意，舍去．
所以，两块绿地周围的硬化路面宽都为10米． 6分
（2）设想成立． 7分
设圆的半径为米，到的距离为米，根据题意，得：
9分
解得：．符合实际．
所以,设想成立，此时，圆的半径是10米． 10分
例3(2007潍坊中考)（本题满分9分）
为改善办学条件，北海中学计划购买部分品牌电脑和品牌课桌．第一次，用9万元购买了品牌电脑10台和品牌课桌200张．第二次，用9万元购买了品牌电脑12台和品牌课桌120张．
(1）每台品牌电脑与每张品牌课桌的价格各是多少元？
（2）第三次购买时,销售商对一次购买量大的客户打折销售．规定：一次购买品牌电脑35台以上（含35台），按九折销售，一次购买品牌课桌600张以上（含600张)，按八折销售．学校准备用27万元购买电脑和课桌，其中电脑不少于35台,课桌不少于600张，问有几种购买方案？
解：（1)设每台品牌电脑元,每张品牌课桌元，则有
，解得．
(2）有两种方案．
设购电脑台，课桌张，则有，解得
时，时，．
方案①：购电脑35台,课桌675张；
方案②：购电脑36台，课桌630张．
点拨：以方程为背景建立数学模型来分析实际问题和解决问题的类型的题目.将正确的表达出几个数量之间的关系是建模的基础，当用一个未知数列方程比较困难时,有时可以改用列方程组的方法求解，但在列方程时未知数要选择好,否则可能加大解题的难度。方程思想的最大应用就是列方程解实际问题，要注意的是求得的解必须符合实际意义，即需要检验。很多几何题目转化成用方程的思想去求解会更加简便。在中考中用方程的思想解决实际问题是重点考察的内容之一。
（三） 一元二次方程跟的判别式与根与系数的关系
例1(2011潍坊中考3分)关千x的方程的根的情况描述正确的是（ )．
A．k为任何实数．方程都没有实数根
B,k为任何实数．方程都有两个不相等的实数根
C．k为任何实数．方程都有两个相等的实数根
D．根据k的取值不同．方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种.
本题考查一元二次方程根的情况,用根的判别式来判断。答案：B.
例2（2011潍坊中考3分）．巳知一元二次方程的两个实效根满足和，那么二次函救的图象有可能是（ )

分析：本题考查元二次方程的解与二次函数的图像与x轴的交点坐标的关系.答案:C

例3（2010潍坊中考3分）关于x一元二次方程－6x+2k=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是( )
A k≤ B k＜ C k≥ Dk＞

答案：B
例4（2009潍坊中考3分）．已知关于的一元二次方程的两个实数根是，且，则的值是（ )
A．8 B． C．6 D．5
答案：D
例5（2009潍坊中考3分）．关于的方程有实数根,则整数的最大值是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
答案：C
点拨:一元二次方程+bx+c=0的根判别式Δ=—4ac,当Δ＞0,方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根。一元二次方程+bx+c=0（a≠0）的根 ，有+=－,=。在中考中是考察的重点.

(四 ) 方程(组)与不等式（组）的应用
例 1（2011潍坊中考)．（本题满分l0分）
201 0年秋冬北方严重干旱，凤凰社区人畜饮用水紧张，每天需从社区外调运饮用水120吨，有关部门紧急部署。从甲、乙两水厂调运饮用水到社区供水点，甲厂每天最多可调出80吨，乙厂每天最多可调出90吨。从两水厂运水到凤凰社区供水点的路程和运费如下表：

(1)若某天调运水的总运费为26700元，则从甲、乙两水厂各调运了多少吨饮用水？
(2）设从甲厂调运饮用水x吨，总运费为y元。试写初W关于与x的函效关系式．
怎样安排调运方案才能使每天的总运费最省？

例2（2011青岛中考8分）某企业为了改善污水处理条件,决定购买A、B两种型号的污水处理设备共8台，其中每台的价格、月处理污水量如下表:
经预算，企业最多支出57万元购买污水处理设备，

A型
B型
价 格（万元/台）
8
6
月处理污水量（吨/月）
200
180
且要求设备月处理污水量不低于1490吨．

（1)企业有哪几种购买方案？
（2）哪种购买方案更省钱？

解：（1)设购买A型设备x台，则型设备（x-5）台，由题意得不等式组：

解得： ≤x≤
∵x是正整数
∴x=3，4
答：有两种购买方案，买A型设备3台，B型设备5台;或买A型设备4台，B型设备4台。———————-——--——-———-——--—-—-—-———--—-————---—-——--———-（5分）
（3） 当x=3时，3×8+5×6=54(万元）
当x=4时，4×8+4×6=56（万元)
答:买A型设备3台，B型设备5台更省钱.—-—--——----—-—（8分)

例3.(2008潍坊中考)（本题满分8分）
为了美化校园环境，建设绿色校园，某学校准备对校园中30亩空地进行绿化。.绿化采用种植草皮与种植树木两种方式，要求种植草皮与种植树木的面积都不少于10亩，并且种植草皮面积不少于种植树木面积的.已知种植草皮与种植树木每亩的费用分别为8000元与12000元。
（1） 种植草皮的最小面积是多少？
（2） 种植草皮的面积为多少时绿化总费用最低?最低费用为多少？
解：(1）解设种植草皮的面积为x亩，则种植树木面积为（30-x）亩，则：

解得
答：种植草皮的最小面积是18亩。
（3） 由题意得：y=8000x+12000（30-x)=360000-4000x,当x=20时y有最小值280000元.
例4（2006长沙市中考10分）我市某乡A、B两村盛产柑桔,A村有柑桔200吨，B村有柑桔300吨．现将这些柑桔运到C、D两个冷藏室，已知C仓库可储存240吨，D仓库可储存260吨；从A村运往C、D两处的费用分别为每吨20元和25元，从B村运往C、D两处的费用分别为每吨15元和18元．设从A村运往C仓库的柑桔重量为x吨，A、B两村运往两仓库的柑桔运输费用分别为yA元和yB元．
（1）请填写下表,并求出yA、yB与x之间的函数关系式：

C
D
总计
A
x吨

200吨
B

300吨
总计
240吨
260吨
500吨
（2）试讨论A、B两村中，哪个村的运费较少;
（3)考虑到B村的经济承受能力，B村的柑桔运费不得超过4830元．在这种情况下，请问怎样调运，才能使两村运费之和最小?求出这个最小值．

解：（1）

C
D
总计
A
x吨
(200-x）吨
200吨
B
（240-x）吨
（60+x）吨
300吨
总计
240吨
260吨
500吨
yA=-5x+5000（0≤x≤2000)，yB=3x+4680（0≤x≤200）．
（2）当yA=yB时，-5x+5000=3x+4680，x=40；
当yA〉yB时，-5x+5000〉3x+4680，x〈40;
当yA〈yB时,—5x+5000〈3x+4689，x〉40，
∴当x=40时，yA=yB即两村运费相等；
当0≤x<40时，yA>yB即B村运费较少；
当40<x≤200时，yA〈yB即A村费用较小．
（3）由yB≤4830，3x+4680≤4830，∴x≤50，
设两村运费之和为y，∴y=yA+yB，即:y=—2x+9680．
又∵0≤x≤50时，y随x增大而减小．
∴当x=50时,y有最小值，y最小值=9580(元）．
答：当A村调往C仓库的柑桔重量为50吨，调往D仓库为150吨,B村调往C仓库为190吨，调往D仓库110吨的时候,两村的运费之和最小，最小费用为9580元．
点拨：通过不等式（组）对代数式进行比较，已确定最佳方案，获取最大收益，确定最好的工作途径等。这类题目涉及内容表现形式十分丰富.如图形题、图表题、阅读理解题，综合性强、难度大、分值高,考查学生的自学能力、阅读理解能力、获取与处理信息的能力、灵活运用知识的能力。解决方案决策类题目，首先从已知信息中确定不等关系并列出不等式（组)，根据解集中未知数的范围确定方案种类，再决定优劣取舍。
五 不等式与不等式组的解法
例1（2011潍坊中考3分）．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ )

答案：A
例2。（2008潍坊中考3分)已知3x+4≤6+2(x—2），则 的最小值等于________.
答案：1
例3（2011德州中考6分）解不等式组 并把解集在数轴上表示出来
②
①
解：
解不等式①,得 x1 -——-——--——2分
解不等式②，得 x＜4．
所以，不等式组的解集为:
1x＜4 —----—-—---—————------—--——4分
在数轴上表示为：
x
0
4
1

—--—--------—-—--——-—--—--6分
点拨：不等式（组)的解法是初中数学的重要内容之一，它是历年来中考考查的重点内容，常以选择题、填空题的形式出现，有时也出现解答题,一般直接考查知识点，也有与其它知识结合，考查知识综合应用。
总之，方程(组)不等式(组）的解法和应用是近几年中考热点问题，考察比较频繁，常与分式、三角函数、圆等知识结合在一起命题，特别与函数结合在一起的方案问题，因此在复习时要重点把握，提高认识。