5-2-1-数整除-题库教师版.doc
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1、5-2数的整除教学目标本讲是数论知识体系中的一个基石,整除知识点的特点介于“定性分析与定量计算之间”即本讲中的题型有定性分析层面的也有定量计算层面的,是很重要的一讲,也是竞赛常考的知识板块。本讲力求实现的一个核心目标是让孩子熟悉和掌握常见数字的整除判定特性,在这个基础上对没有整除判定特性的数字可以将其转化为几个有整除判定特性的数字乘积形式来分析其整除性质。另外一个难点是将数字的整除性上升到字母和代数式的整除性上,这个对于学生的代数思维是一个良好的训练也是一个不小的挑战。知识点拨一、常见数字的整除判定方法1. 一个数的末位能被2或5整除,这个数就能被2或5整除;一个数的末两位能被4或25整除,这
2、个数就能被4或25整除;一个数的末三位能被8或125整除,这个数就能被8或125整除;2. 一个位数数字和能被3整除,这个数就能被3整除;一个数各位数数字和能被9整除,这个数就能被9整除;3. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除,那么这个数能被11整除.4. 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除,那么这个数能被7、11或13整除.【备注】(以上规律仅在十进制数中成立.)二、整除性质性质1 如果数a和数b都能被数c整除,那么它们的和或差也能被c整除即如果ca,cb,那么c(ab)性质2 如果数a能被数b整除,b又能被数c整除,
3、那么a也能被c整除即如果ba,cb,那么ca用同样的方法,我们还可以得出:性质3 如果数a能被数b与数c的积整除,那么a也能被b或c整除即如果bca,那么ba,ca性质4 如果数a能被数b整除,也能被数c整除,且数b和数c互质,那么a一定能被b与c的乘积整除即如果ba,ca,且(b,c)=1,那么bca 例如:如果312,412,且(3,4)=1,那么(34) 12性质5 如果数a能被数b整除,那么am也能被bm整除如果 ba,那么bmam(m为非0整数);性质6 如果数a能被数b整除,且数c能被数d整除,那么ac也能被bd整除如果 ba ,且dc ,那么bdac;例题精讲模块一、常见数的整除
4、判定特征【例 1】 已知道六位数20279是13的倍数,求中的数字是几? 【解析】 本题为基础题型,利用13的整除判定特征即可知道方格中填1。【巩固】 六位数能被99整除,是多少? 【解析】 方法一:200008被99除商2020余28,所以能被99整除,商72时,末两位是28,所以为71;方法二:,能被99整除,所以各位数字之和为9的倍数,所以方框中数字的和只能为8或17;又根据数被11整除的性质,方框中两数字的差为6或5,可得是71.【巩固】 六位数2008能被49整除,中的数是多少? 【解析】 详解类似上题,从略。填入05【例 2】 173是个四位数字。数学老师说:“我在这个中先后填人3
5、个数字,所得到的3个四位数,依次可被9、11、6整除。”问:数学老师先后填入的3个数字的和是多少? 【解析】 用1730试除,17309=1922,17301l=1573,17306=2882所以依次添上(9-2=)7、(11-3=)8、(6-2=)4后得到的1737、1738、1734依次能被9、11、6整除所以,这三种情况下填入口内的数字的和为7+8+4=19【巩固】 某个七位数1993能够同时被2,3,4,5,6,7,8,9整除,那么它的最后三位数字依次是多少? 【解析】 本题可采用整除数字的判定特征进行判断,但是太过繁琐。采用试除法比较方便,若使得7位数能够同时被2,3,4,5,6,7
6、,8,9整除,只要让七位数是2,3,4,5,6,7,8,9最小公倍数的倍数即可。【2,3,4,5,6,7,8,9】=2520.用1993000试除,19930002520=7902200,余2200可以看成不足2520-2200=320,所以在末三位的方格内填入320即可【巩固】 如果六位数1992能被105整除,那么它的最后两位数是多少? 【解析】 因为,所以这个六位数同时满足能被3、7、5整除的数的特征即可方法一:利用整除特征末位只能为0或5 如果末位填入0,那么数字和为,要求数字和是3的倍数,所以 可以为0,3,6, 9,验证, 有91是7的倍数,即是7的倍数,所以题中数字的末两位为90
7、 如果末位填入5,同上解法,验证没有数同时满足能被3、7、5整除的特征所以,题中数的末两位只能是90方法二:采用试除法用试除,余15可以看成不足, 所以补上90,即在末两位的方格内填入90即可【例 3】 在六位数1111中的两个方框内各填入一个数字,使此数能被17和19整除,那么方框中的两位数是多少? 【解析】 采用试除法.设六位数为如果一个数能同时被17和19整除,那么一定能被323整除,余191也可以看成不足所以当时,即是100的倍数时,六位数才是323的倍数所以有的末位只能是,所以n只能是6,16,26,验证有时,所以原题的方框中填入5,3得到的115311满足题意【巩固】 已知四十一位
8、数555999(其中5和9各有20个)能被7整除,那么中间方格内的数字是多少?【解析】 我们知道这样的六位数一定能整除7、11、13原41位数中从高位数起共有20个5,从低位数起共有20个9,那么我们可以分别从低位和高位选出555555,和999999,从算式的结构上将就是进行加法的分拆,即:5555551000(35个0)+5555551000(29个0)+5599+9999991000(12个0)+999999.这个算式的和就是原来的41位数,我们可以发现每一组含有555555或999999因数的部分都已经是7的倍数,唯独剩余5599待定,那么只要令5599是7的倍数即可,即只要44是7的
9、倍数即可,应为6【例 4】 在方框中填上两个数字,可以相同也可以不同,使432是9的倍数. 请随便填出一种,并检查自己填的是否正确; 一共有多少种满足条件的填法?【解析】 一个数是9的倍数,那么它的数字和就应该是9的倍数,即432是9的倍数,而4329, 所以只需要两个方框中的数的和是9的倍数依次填入3、6,因为4332618是9的倍数,所以43326是9的倍数;经过分析容易得到两个方框内的数的和是9的倍数,如果和是9,那么可以是(9,0);(8,1);(7,2);(6,3);(5,4);(4,5);(3,6);(2,7);(1,8);(0,9),共10种情况,还有(0,0)和(9,9),所以
10、一共有12种不同的填法【例 5】 (2008“数学解题能力展示”初赛)已知九位数既是9的倍数,又是11的倍数;那么,这个九位数是多少? 【解析】 设原数, 或者, ()或者()或者根据两数和差同奇偶,得: 或者 不成立.所以, .【例 6】 一位后勤人员买了72本笔记本,可是由于他吸烟不小心,火星落在帐本上,把这笔帐的总数烧去两个数字.帐本是这样的:72本笔记本,共元(为被烧掉的数字),请把处数字补上,并求笔记本的单价. 【解析】 把元作为整数分.既然是72本笔记本的总线数,那就一定能被72整除,又因为,(8,9) .所以,. ,根据能被8整除的数的特征,8 |79,通过计算个位的.又,根据能
11、被9整除的数的特征, (),显然前面的应是3.所以这笔帐笔记本的单价是: (元).【例 7】 由1,3,4,5,7,8这六个数字所组成的六位数中,能被11整除的最大的数是多少? 【解析】 根据11的整除判定特征我们知道六位数的奇数位与偶数位三个数字的和的差要为11的倍数,我们不妨设奇数位上的数和为a,偶数位上的数和为b,那么有a+b=1+3+4+5+7+8=28,同时有a-b=0或a-b=11或a-b=22等情况,根据奇偶性分析自然数a与b的和为偶数,那么差也必须为偶数,但是a-b不可能为22,所以a-b=0,解得a=b=14,则容易排列出最大数875413.模块二、数的整除性质应用【例 8】
12、 各位数码是0、1或2,且能被225整除的最小自然数是多少?【解析】 被合数整除把225分解,分别考虑能被25和9整除特征。,所以要求分别能被25和9整除。要能被25整除,所以最后两位就是00。要能被9整除,所以所有数字的和是9的倍数,为了使得位数尽可能少,只能是4个2和1个1,这样得到1222200。【例 9】 张老师带领同学们去种树,学生的人数恰好等分成三组.已知老师和学生共种树312棵,老师与学生每人种的树一样多,并且不超过10棵.问:一共有多少学生?每人种了几棵树?【解析】 因为总棵数是每人种的棵数和人数乘积,而每个人种的棵数又不超过10所以通过枚举法来解(注意人数是减去1后是3的倍数
13、):,不是3的倍数;,不是3的倍数;,不是3的倍数;,不是3的倍数;,是3的倍数;,不是3的倍数;共有51个学生,每个人种了6棵树.【巩固】 某班同学在班主任老师带领下去种树,学生恰好平均分成三组,如果老师与学生每人种树一样多,共种了1073棵,那么平均每人种了棵树?【解析】 因为总棵数是每人种的棵数和人数的乘积,所以首先想到的是把1073数相乘,一个数为人数一个数为每人种的棵数,注意到人数是减去1是3倍数,所以人数是37均每人种了29棵。【例 10】 在865后面补上三个数字,组成一个六位数,使它能分别被3、4、5整除,且使这个数值尽可能的小。【解析】 方法一:设补上数字后的六位数是,因为这
14、个六位数能分别被3、4、5整除,所以它应满足以下三个条件:第一:数字和是3的倍数;第二:末两位数字组成的两位数是4的倍数;第三:末位数字是0或5。由以上条件,4| ,且只能取0或5,又能被4整除的数的个位数不可能是5, c只能取0,因而b只能取0,2,4,6,8中之一。又3| ,且(8+6+5)除以3余1,除以3余2。为满足题意“数值尽可能小”,只需取,。要求的六位数是865020。方法二:利用试除法,由于要求最小数,用进行试除分别被3、4、5整除,就是被整除,所以能被整除要求的六位数是865020。【巩固】 在523后面写出三个数字,使所得的六位数被7、8、9整除那么这三个数字的和是多少?
15、【解析】 7、8、9的最小公倍数是504,所得六位数应被504整除,所以所得六位数是,或因此三个数字的和是17或8【巩固】 要使能被36整除,而且所得的商最小,那么分别是多少? 【解析】 分解为互质的几个数的乘积,分别考虑所以能被4整除,从而只可能是1,3,5,7,9.要使商最小,应尽可能小,先取,又,所以是9的倍数所以,时,取得最小值.【例 11】 从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个数字中选出五个不同的数字组成一个五位数,使它能被3、5、7、13整除,这个数最大是多少? 【解析】 本题采用试除法。因为3,5,7,13的最小公倍数为1365,在100000之内最大的1365的倍数为
16、99645(1000001365=73355,100000-355=99645),但是不符合数字各不相同的条件,于是继续减1365依次寻找第二大,第三大的数,看是否符合即可。有99645-1365=98280,98280-1365=9691596915-1365=9555095550-1365=94185所以,满足题意的5位数最大为94185【巩固】 请求出最大的七位数,使得它能被3、5、7、11、13整除,且各位数字互不相同,这个七位数是多少? 【解析】 解法一:因为711131001,9991001999999不是七位数,这个七位数是1001abcdabcd000abcd,如果c不是9,那
17、么b就会重复,所以c9,因为是5的倍数,所以d5,要使最大,先假设a8时,b取8,5,2都不符合要求,当a7时,b取9,6,3,0中3符合要求,所以最大的是7402395分析题意知,这个七位数是711131001的倍数,根据1001的特点,解法二:假设这个七位数是abcdefg,满足abcdefgn00n,很容易得出c0,f9,b和e相差1,如果g0,那么ad,所以g5。假设a8,那么d3,b和e就是2,1或者7,6,经检验都不符合要求。假设a7,那么d2,b和e就是4,3,经检验刚好可以。这个七位数是7402395.【例 12】 修改31743的某一个数字,可以得到823的倍数。问修改后的这
18、个数是几? 【解析】 本题采用试除法。823是质数,所以我们掌握的较小整数的特征不适用,31743823=38469,于是31743除以823可以看成余469也可以看成不足(823-469=)354,于是改动某位数字使得得到的新数比原来大354或354+823n也是满足题意的改动有n=1时,354+823:1177,n=2时,354+8232=2000,所以当千位增加2,即改为3时,有修改后的五位数33743为823的倍数【例 13】 某个自然数既能写成9个连续自然数的和,还同时可以写成10个连续自然数的和,也能写成11个连续自然数的和,那么这样的自然数最小可以是几? 【解析】 本题所体现的是
19、一个常用小结论,即任意奇数个连续自然数的和必定是这个奇数的倍数。任意偶数个连续自然数的和必定是这个偶数的一半的倍数,并且除以这个偶数的一半后所得的商为一个奇数。证明方法很简单,以连续9个奇数为例子:我们可以令连续9个奇数为:a-4,a-3,a-2,a-1,a,a+1,a+2,a+3,a+4则他们的和为9a,即为9的倍数。对于连续10个自然数,可以为a-4,a-3,a-2,a-1,a,a+1,a+2,a+3,a+4,a+5则它们的和为10a+5=5(2a+1),即是5的倍数且除以5后商是奇数。所以本题中要求的数是5,9,11的最小公倍数的倍数即495的倍数,最小值即495.【巩固】 是一个三位数
20、.它的百位数字是4,能被7整除,能被9整除,问是多少? 【解析】 能被7整除,说明能被7整除;能被9整除,说明能被9整除;,则符合上述两个条件.(因,则可以写成这样的形式:).又是一个百位数字是4的三位数,估算知,.【巩固】 有些数既能表示成3个连续自然数的和,又能表示成4个连续自然数的和;还能表示成5个连续自然数的和请你找出700至1000之间,所有满足上述要求的数,并简述理由.【解析】 3个连续自然数的和,一定能够被3整除;4个连续自然数的和,一定能够被2整除,且除以2所得的商是奇数,也就是说它不能被4整除,除以4所得余数为2;5个连续自然数的和,一定能够被5整除3、2、5的最小公倍数是3
21、0,所以满足上述三个条件的最小的数是303、4、5的最小公倍数是60,所以60的整数倍加上30就可以满足条件,所以第一个符合题意的数是,最大的一个数是,共计个数,分别为750、810、870、930、960【例 14】 用数字6,7,8各两个,组成一个六位数,使它能被168整除。这个六位数是多少? 【解析】 因为168=837,所以组成的六位数可以被8、3、7整除能够被8整除的数的特征是末三位组成的数一定是8的倍数,末两位组成的数一定是4的倍数,末位为偶数在题中条件下,验证只有688、768是8的倍数,所以末三位只能是688或768,而又要求是7的倍数,由例8知形式的数一定是7、11、13的倍
22、数,所以768768一定是7的倍数,688的不管怎么填都得不到7的倍数至于能否被3整除可以不验证,因为整除3的数的规律是数字和为3的倍数,在题中给定的条件下,不管怎么填数字和都是定值。所以768768能被168整除,且验证没有其他满足条件的六位数【例 15】 将数字4,5,6,7,8,9各使用一次,组成一个被667整除的6位数,那么,这个6位数除以667的结果是多少? 【解析】 本题考察对数字667的特殊认识,即6673=2001。本题要求用4,5,6,7,8,9组成一个667的倍数,其实发现4,5,6,7,8,9组合出的数一定是3的倍数,那么只要考虑组成一个2001的倍数即可,而2001的六
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