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非齐次线性微分方程通解的证明.docx
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1、_ 非齐次线性微分方程通解的证明 问题重述如果是区间上的连续函数,是区间上齐次线性微分方程 (5.21)的基本解组,那么,非齐次线性微分方程 (5.28)的满足初值条件 的解由下面公式给出 (5.29)这里是的朗斯基行列式,是在中的第k行代以后得到的行列式,而且(5.28)的任一解u(t)都具有形式 ,(5.30)这里是适当选取的常数。公式(5.29)称为(5.28)的常数变易公式。我们指出,这时方程(5.28)的通解可以表示为 证明 考虑n阶线性微分方程的初值问题 (5.6)其中是区间上的已知连续函数,是已知常数,我们指出,它可以化为下列线性微分方程组的初值问题: (5.7)其中 事实上,令
2、 这时 而且 现在假设是在包含的区间上(5.6)的任一解,由此,我们得知在上存在、连续、满足方程(5.6)且令 其中那么,显然有,此外,我们还得到 在此处键入公式。这就表示这个特定的向量是(5.7)的解,反之,假设向量u(t)是在包含的区间上(5.7)的解,令 并定义函数,由(5.7)的第一个方程,我们得到,由第二个方程得到有第n-1个方程得到由第n个方程得到 由此即得 同时,我们也得到 这就是说,是(5.6)的一个解总之,由上面的讨论,我们已经证明了初值问题(5.6)与(5.7)在下面的意义是等价的:给定其中一个初值问题的解,我们可以构造另一个初值问题的解。值得指出的是,每一个n阶线性微分方
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