非齐次线性微分方程通解的证明.docx

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非齐次线性微分方程通解的证明

问题重述
如果是区间上的连续函数，是区间上齐次线性微分方程
（5.21）
的基本解组，那么，非齐次线性微分方程
(5.28)
的满足初值条件

的解由下面公式给出
（5.29）
这里是的朗斯基行列式，是在中的第k行代以后得到的行列式，而且（5.28）的任一解u(t)都具有形式
，（5.30）
这里是适当选取的常数。
公式（5.29）称为（5.28）的常数变易公式。
我们指出，这时方程（5.28）的通解可以表示为

证明

考虑n阶线性微分方程的初值问题
（5.6）
其中是区间上的已知连续函数，，是已知常数，我们指出，它可以化为下列线性微分方程组的初值问题：
（5.7）
其中

事实上，令

这时

而且

现在假设是在包含的区间上（5.6）的任一解，由此，我们得知在上存在、连续、满足方程（5.6）且令

其中那么，显然有，此外，我们还得到

在此处键入公式。
这就表示这个特定的向量是（5.7）的解，反之，假设向量u（t）是在包含的区间上（5.7）的解，令

并定义函数，由（5.7）的第一个方程，我们得到，由第二个方程得到有第n-1个方程得到由第n个方程得到

由此即得

同时，我们也得到

这就是说，是（5.6）的一个解
总之，由上面的讨论，我们已经证明了初值问题（5.6）与（5.7）在下面的意义是等价的：给定其中一个初值问题的解，我们可以构造另一个初值问题的解。
值得指出的是，每一个n阶线性微分方程可化为n个一阶线性微分方程构成的方程组，反之却不成立。

本段讨论非齐次线性微分方程组
（5.14）
的解的结构问题，这里是区间上已知nxn连续矩阵，是区间上的已知的n维连续列向量，向量通常称为强迫项，因为如果（5.14）描述一个力学系统，就代表外力。
我们容易验证（5.14）的两个简单性质
性质1 如果是（5.14）的解，是（5.14）对应的其次线性微分方程组（5.15）的解，则是（5.14）的解
性质2 如果和是（5.14）的两个解，则是（5.15）的解
下面的定理7给出（5.14）的解的结构
定理7 设是（5.15）的基解矩阵，是（5.14）的某一解，则（5.14）的任一解都可表为
（5.23）
这里c是确定的常数列向量
证明 由性质2我们知道是（5.15）的解，再由5.2.1的定理1*，得到

这里c是确定的常数列向量，由此即得

定理证毕
定理7告诉我们，为了寻求（5.14）的任一解，只要知道（5.14）的一个解和它对应的齐次线性微分方程组（5.15）的基解矩阵，现在，我们要进一步指出，在已经知道（5.15）的基解矩阵的情况下，有一个寻求（5.14）的解的简单方法，这个方法就是常数变易法。
从上一节我们知道，如果c是常数列向量，则是（5.15）的解，它不可能是（5.14）的解，因此，我们将c变易为t的向量函数，而试图寻求（5.14）的形如
（5.24）
的解，这里是待定的向量函数。
假设（5.14）存在形如（5.24）的解，这时，将（5.24）代入（5.14）得到

因为是（5.15）的基解矩阵，所以，由此上式中含有的项消去了，因而必须满足关系式
（5.25）
因为在区间上是非奇异的，所以存在，用左乘（5.25）两边，然后积分之，得到

其中=0，这样，（5.24）变为
（5.26）
因此，如果（5.14）有一个形如（5.24）的解，则由公式（5.26）决定。
反之，用公式（5.26）决定的向量函数必定是（5.14）的解，事实上，微分（5.26）得到

再利用公式（5.26），即得

显然，还有=0，这样一来，我们就得到了下面的定理8
定理8 如果是（5.15）的基解矩阵，则向量函数

是（5.14）的解，且满足初值条件
由定理7和定理8容易看出，（5.14）的满足初值条件的解由下面公式给出
(5.27)
这里是（5.15）的满足初值条件的解，公式（5.26）或公式（5.27）称为非齐次线性微分方程组（5.14）的常数变易公式。

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