常微分方程习题课.doc
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1、_第七章 常微分方程 重点微分方程的基本概念,可分离变量方程,一阶线性方程,二阶线性微分方程的解法难点由实际问题建立微分方程 一阶微分方程一、基本要求1 了解微分方程的阶、解、通解、初始条件和特解等概念2 能正确识别下列几种一阶微分方程:可分离变量方程、齐次方程、线性方程、贝努利方程;可降阶的高阶微分方程3 熟练掌握可分离变量方程和一阶线性方程的解法4 会解齐次方程和贝努利方程,并从中领会用变换代换求解方程的思想5 熟练掌握可降阶的高阶微分方程的解法6 对简单的实际问题能建立一阶微分方程从而求解二、要点1关于常微分方程的基本概念(略)2一阶微分方程的解法 (1)可分离变量的一阶微分方程形如的方
2、程,称为可分离变量的微分方程将上式两边同时积分即可求得通解即其中、在所考察的范围内是连续函数若给定了初始条件,则可求得方程的特解 (2)齐次微分方程形如的方程,称为齐次微分方程令,则,从而有,原方程化为可分离变量的方程:,从而两边积分求得通解 (3)一阶线性微分方程 形如的方程,称为一阶线性微分方程分两步求解 求对应的齐次方程的通解 将分离变量得,从而通解为 用常数变易法求非齐次方程的通解设,代入原方程求得,所以为方程的通解注意在具体解题时,可直接代上述公式求一阶线性微分方程的通解若一阶线性微分方程的标准型,则其通解 (4)贝努利方程 形如的方程,称为贝努利方程两边同除以,令 ,则原方程化为,
3、这是关于的一阶线性方程,代入公式求通解即可(5)可降阶的高阶微分方程型的微分方程对两边积分,有,依次进行次积分即得通解 型的微分方程 方程的特点是右端不显含,令,则,于是原方程化为,是关于的一阶方程,若其解为,即,积分求解即可 型的微分方程方程的特点是右端不显含自变量,令,则,于是原方程化为,是关于的一阶方程,若其解为,即,再积分求解即可二阶线性微分方程一、基本要求1 正确识别二阶常系数线性齐次与非齐次微分方程2 熟练掌握二阶常系数线性齐次与非齐次微分方程的解法3 熟练掌握二阶常系数非齐次微分方程解的结构,掌握非齐次方程当自由项为两种特殊情形时通解的解法4 会解决简单二阶方程的应用问题二、要点
4、关于二阶常系数线性微分方程的解法:1线性齐次方程的通解 解法先解特征方程的根设特征根为,分以下三种情况:(1) 当时,特征方程有两个相异的实根,则方程的通解为(2) 当时,特征方程有重根,则方程的通解为(3) 当时,特征方程有一对共轭的复根,则方程的通解为定理 若为齐次方程的两个解,则亦是齐次方程的解,其中是任意常数又若为线性无关时,则是齐次方程的通解2线性非齐次方程的通解定理 设是非齐次线性方程的一个特解,而是相应的线性齐次方程的通解,则其和为线性非齐次方程的通解具体解法:(1)先求的特解,由下表通过待定系数法可得自由项右端项与特征根特解形式,其中为n次多项式不是特征方程的根是特征方程的单根
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