必修四正切函数的性质与图象(附答案).docx

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　正切函数的性质与图象
[学习目标]　1.了解正切函数图象的画法，理解掌握正切函数的性质.2.能利用正切函数的图象及性质解决有关问题．

知识点一　正切函数的图象
1．正切函数的图象：

2．正切函数的图象叫做正切曲线．
3．正切函数的图象特征：
正切曲线是被相互平行的直线x＝＋kπ，k∈Z所隔开的无穷多支曲线组成的．
思考　我们能用“五点法”简便地画出正弦、余弦函数的简图，你能类似地画出函数y＝tan x，x∈[－，]的简图吗？怎样画．
答案　能．找三个关键点：(，1)，(0,0)，(－，－1)，两条平行线：x＝，x＝－.
知识点二　正切函数图象的性质
1．函数y＝tan x(x∈R且x≠kπ＋，k∈Z)的图象与性质见下表：
解析式
y＝tan x
图象

定义域
{x|x∈R，且x≠kπ＋，k∈Z}
值域
R
周期
π
奇偶性
奇
单调性
在开区间(k∈Z)内都是增函数
2.函数y＝tan ωx(ω≠0)的最小正周期是.
思考　正切函数图象是否具有对称性？如果具有对称性，请指出其对称特征．
答案　具有对称性，为中心对称，对称中心为(，0)，k∈Z.

题型一　正切函数的定义域
例1　(1)函数y＝tan(sin x)的定义域为 ，值域为 ．
答案　R　[tan(－1)，tan 1]
解析　因为－1≤sin x≤1，
所以tan(－1)≤tan(sin x)≤tan 1，
所以y＝tan(sin x)的定义域为R，
值域为[tan(－1)，tan 1]．
(2)求函数y＝tan(2x－)的定义域．
解　由2x－≠＋kπ，k∈Z得，x≠π＋kπ，
所以y＝tan(2x－)的定义域为{x|x≠＋kπ，k∈Z}．

跟踪训练1　求函数y＝＋lg(1－tan x)的定义域．
解　由题意得
即－1≤tan x<1.
在内，满足上述不等式的x的取值范围是.
又y＝tan x的周期为π，
所以所求x的范围是[kπ－，kπ＋)(k∈Z)
即函数定义域是(k∈Z)．

题型二　求正切函数的单调区间
例2　求函数y＝tan的单调区间及最小正周期．
解　y＝tan＝－tan，
由kπ－<x－<kπ＋ (k∈Z)，
得2kπ－<x<2kπ＋π，k∈Z，
∴函数y＝tan的单调递减区间是
，k∈Z.
周期T＝＝2π.
跟踪训练2　求函数y＝tan的单调区间．
解　∵y＝tan x在x∈ (k∈Z)上是增函数，∴－＋kπ<2x－<＋kπ，k∈Z.
即－＋<x<＋，k∈Z.
∴函数y＝tan的单调递增区间是
(k∈Z)．

题型三　正切函数图象性质的应用
例3　(1)函数y＝tan(2x＋)的最小正周期是(　　)
A．π B．2π C. D.
答案　C
解析　最小正周期为T＝＝.

(2)画出函数y＝|tan x|的图象，并根据图象判断其单调区间、奇偶性、周期性．
解　由y＝|tan x|得，
y＝
其图象如图：

由图象可知，函数y＝|tan x|是偶函数．
函数y＝|tan x|的周期T＝π，
函数y＝|tan x|的单调递增区间[kπ，kπ＋)(k∈Z)，
单调递减区间为(kπ－，kπ)(k∈Z)．

跟踪训练3　(1)下列函数中，既是以π为周期的奇函数，又是(0，)上的增函数的是(　　)
A．y＝tan x B．y＝cos x
C．y＝tan D．y＝|sin x|
答案　A
解析　由于y＝tan x与y＝tan 是奇函数，但是只有y＝tan x的周期为π，y＝cos x与y＝|sin x|是偶函数．

(2)画出f(x)＝tan|x|的图象，并根据其图象判断其单调区间，周期性，奇偶性．
解　f(x)＝tan|x|化为
f(x)＝
根据y＝tan x的图象，作出f(x)＝tan|x|的图象，如图所示，

由图象知，f(x)不是周期函数，是偶函数，单调增区间为[0，)，(kπ＋，kπ＋π)(k∈N)；单调减区间为(－，0]，(kπ－π，kπ－)(k＝0，－1，－2，…)．

与三角函数相关的函数零点问题
例4　当x∈(－π，π)时，确定方程tan x－sin x＝0的根的个数．
分析　tan x－sin x＝0的根即为tan x＝sin x的根，也就是y＝tan x与y＝sin x交点的横坐标，所以可根据图形进行分析．
解　在同一平面直角坐标系内画出y＝tan x与y＝sin x在(－，)上的图象，如图，由图象可知它们有三个交点，∴方程有三个根．

1．下列说法正确的是(　　)
A．正切函数在整个定义域内是增函数
B．正切函数在整个定义域内是减函数
C．函数y＝3 tan的图象关于y轴对称
D．若x是第一象限角，则y＝tan x是增函数

2．函数f(x)＝tan(x＋)的单调递增区间为(　　)
A．(kπ－，kπ＋)，k∈Z B．(kπ，(k＋1)π)，k∈Z
C．(kπ－，kπ＋)，k∈Z D．(kπ－，kπ＋)，k∈Z
3．在下列函数中同时满足：①在上递增；②以2π为周期；③是奇函数的是(　　)
A．y＝tan x B．y＝cos x
C．y＝tan D．y＝－tan x
4．方程tan＝在区间[0,2π)上的解的个数是(　　)
A．5 B．4 C．3 D．2
5． 函数y＝3tan的对称中心的坐标是 ．

一、选择题
1．函数y＝tan，x∈R且x≠π＋kπ，k∈Z的一个对称中心是(　　)
A．(0,0) B.
C. D．(π，0)
2．函数f(x)＝lg(tan x＋)为(　　)
A．奇函数 B．既是奇函数又是偶函数
C．偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数
3．函数y＝tan在一个周期内的图象是(　　)

4．函数f(x)＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支曲线截直线y＝所得线段长为，则f的值是(　　)
A．0 B．1 C．－1 D.

5．函数y＝lg(1＋tan x)的定义域是(　　)
A．(kπ－，kπ＋)(k∈Z) B．(kπ－，kπ＋)(k∈Z)
C．(kπ－，kπ＋)(k∈Z) D．(kπ－，kπ＋)(k∈Z)
6．函数y＝tan x＋sin x－|tan x－sin x|在区间内的图象是(　　)

二、填空题
7．使函数y＝2tan x与y＝cos x同时为单调递增的区间是 ．
8．函数y＝3tan(ωx＋)的最小正周期是，则ω＝ .
9．求函数y＝－tan2x＋4tan x＋1，x∈的值域为 ．
10．已知函数y＝tan ωx在(－，)是减函数，则ω的取值范围是 ．

三、解答题
11．判断函数f(x)＝lg的奇偶性．

12．求函数y＝tan(－)的定义域、周期、单调区间和对称中心．

13．(1)求函数y＝3tan(－2x)的单调区间；
(2)比较tan 1，tan 2，tan 3的大小．

当堂检测答案
1．答案　C
解析　由正切函数性质可知A、B、D均不正确，
又y＝3tan ＝3tan|x|为偶函数，
故其图象关于y轴对称，故选C.
2．答案　C
3．答案　C
4．答案　B
解析　由tan＝解得2x＋＝＋kπ(k∈Z)，∴x＝(k∈Z)，又x∈[0,2π)，∴x＝0，，π，.故选B.
5．答案　 (k∈Z)
解析　由x＋＝ (k∈Z)，得x＝－ (k∈Z)．
∴对称中心坐标为 (k∈Z)．

课时精练答案
一、选择题
1．答案　C
2．答案　A
解析　∵>|tan x|≥－tan x，
∴其定义域为{x|x≠kπ＋，k∈Z}关于原点对称，
又f(－x)＋f(x)＝lg(－tan x＋)＋lg(tan x＋)＝lg 1＝0，
∴f(x)为奇函数，故选A.
3．答案　A
4．答案　A
解析　由题意，得T＝＝，∴ω＝4.
∴f(x)＝tan 4x，f＝tan π＝0.
5．答案　C
解析　由题意得1＋tan x>0，即tan x>－1，
由正切函数的图象得kπ－<x<kπ＋(k∈Z)．
6．答案　D
解析　当<x<π时，tan x<sin x，y＝2tan x<0；
当x＝π时，y＝0；当π<x<时，
tan x>sin x，y＝2sin x．故选D.

二、填空题
7．答案　(2kπ－，2kπ)(k∈Z)和(2kπ＋π，2kπ＋)(k∈Z)
解析　由y＝2tan x与y＝cos x的图象知，同时为单调递增的区间为(2kπ－，2kπ)(k∈Z)和(2kπ＋π，2kπ＋)(k∈Z)．
8．答案　±2
解析　T＝＝，∴ω＝±2.
9．答案　[－4,4]
解析　∵－≤x≤，
∴－1≤tan x≤1.
令tan x＝t，则t∈[－1,1]．
∴y＝－t2＋4t＋1＝－(t－2)2＋5.
∴当t＝－1，即x＝－时，ymin＝－4，
当t＝1，即x＝时，ymax＝4.
故所求函数的值域为[－4,4]．
10．答案　[－1,0)
解析　∵y＝tan ωx在(－，)内是减函数，
∴ω<0且T＝≥π.
∴|ω|≤1，即－1≤ω＜0.

三、解答题
11．解　由>0得tan x>1或tan x<－1.
∴函数定义域为(kπ－，kπ－)∪(kπ＋，kπ＋)(k∈Z)关于原点对称．
f(－x)＋f(x)＝lg ＋lg
＝lg(·)＝lg 1＝0.
∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．
12．解　①由－≠kπ＋，k∈Z，
得x≠2kπ＋π，k∈Z.
∴函数的定义域为{x|x∈R且x≠2kπ＋π，k∈Z}．
②T＝＝2π.∴函数的周期为2π.
③由kπ－<－<kπ＋，k∈Z，
解得2kπ－<x<2kπ＋π，k∈Z.
∴函数的单调增区间为(2kπ－，2kπ＋π)，k∈Z.
④由－＝，k∈Z，
得x＝kπ＋π，k∈Z.
∴函数的对称中心是(kπ＋π，0)，k∈Z.
13．解　(1)y＝3tan(－2x)
＝－3tan(2x－)，
由－＋kπ<2x－<kπ＋，k∈Z，
得－＋<x<＋，k∈Z.
∴y＝3tan(－2x)的单调减区间为(－＋，＋)(k∈Z)．
(2)tan 2＝－tan(π－2)
＝tan(2－π)
tan 3＝－tan(π－3)
＝tan(3－π)
∵－<2－π<3－π<1<，
∴tan(2－π)<tan(3－π)<tan 1
∴tan 2<tan 3<tan 1.

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