特殊平行四边形证明及解答题--困难--教师版版.doc

_2015年初中数学中考特殊四边形证明及计算组卷参考答案与试题解析姓名_学号_一解答题（共30小题）1（2012威海）（1）如图，ABCD的对角线AC，BD交于点O，直线EF过点O，分别交AD，BC于点E，F求证：AE=CF（2）如图，将ABCD（纸片）沿过对角线交点O的直线EF折叠，点A落在点A1处，点B落在点B1处，设FB1交CD于点G，A1B1分别交CD，DE于点H，I求证：EI=FG考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）718351 分析：（1）由四边形ABCD是平行四边形，可得ADBC，OA=OC，又由平行线的性质，可得1=2，继而利用ASA，即可证得AOECOF，则可证得AE=CF（2）根据平行四边形的性质与折叠性质，易得A1E=CF，A1=A=C，B1=B=D，继而可证得A1IECGF，即可证得EI=FG解答：证明：（1）四边形ABCD是平行四边形，ADBC，OA=OC，1=2，在AOE和COF中，AOECOF（ASA），AE=CF；（2）四边形ABCD是平行四边形，A=C，B=D，由（1）得AE=CF，由折叠的性质可得：AE=A1E，A1=A，B1=B，A1E=CF，A1=A=C，B1=B=D，又1=2，3=4，5=3，4=6，5=6，在A1IE与CGF中，A1IECGF（AAS），EI=FG点评：此题考查了平行四边形的性质、折叠的性质以及全等三角形的判定与性质此题难度适中，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用2（2011贵阳）阅读在平面直角坐标系中，以任意两点P（ x1，y1）、Q（x2，y2）为端点的线段中点坐标为运用（1）如图，矩形ONEF的对角线相交于点M，ON、OF分别在x轴和y轴上，O为坐标原点，点E的坐标为（4，3），则点M的坐标为（2，1.5）（2）在直角坐标系中，有A（1，2），B（3，1），C（1，4）三点，另有一点D与点A、B、C构成平行四边形的顶点，求点D的坐标考点：平行四边形的性质；坐标与图形性质；矩形的性质718351 专题：几何综合题分析：（1）根据矩形的对角线互相平分及点E的坐标即可得出答案（2）根据题意画出图形，然后可找到点D的坐标解答：解：（1）M（，），即M（2，1.5）（2）如图所示：根据平行四边形的对角线互相平分可得：设D点的坐标为（x，y），以点A、B、C、D构成的四边形是平行四边形，当AB为对角线时，A（1，2），B（3，1），C（1，4），BC=，AD=，1+31=1，2+14=1，D点坐标为（1，1），当BC为对角线时，A（1，2），B（3，1），C（1，4），AC=2，BD=2，D点坐标为（5，3）当AC为对角线时，A（1，2），B（3，1），C（1，4），AB=，CD=，D点坐标为：（3，5），综上所述，符合要求的点有：D（1，1），D（3，5），D（5，3）点评：本题考查了平行四边形的性质及矩形的性质，关键是掌握已知两点求其中点坐标的方法3（2007黑龙江）在ABC中，AB=AC，点P为ABC所在平面内一点，过点P分别作PEAC交AB于点E，PFAB交BC于点D，交AC于点F若点P在BC边上（如图1），此时PD=0，可得结论：PD+PE+PF=AB请直接应用上述信息解决下列问题：当点P分别在ABC内（如图2），ABC外（如图3）时，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，PD，PE，PF与AB之间又有怎样的数量关系，请写出你的猜想，不需要证明考点：平行四边形的性质718351 专题：探究型分析：在图2中，因为四边形PEAF为平行四边形，所以PE=AF，又三角形FDC为等腰三角形，所以FD=PF+PD=FC，即PE+PD+PF=AC=AB，在图3中，PE=AF可证，FD=PFPD=CF，即PFPD+PE=AC=AB解答：解：图2结论：PD+PE+PF=AB证明：过点P作MNBC分别交AB，AC于M，N两点，PEAC，PFAB，四边形AEPF是平行四边形，MNBC，PFAB四边形BDPM是平行四边形，AE=PF，EPM=ANM=C，AB=AC，EMP=B，EMP=EPM，PE=EM，PE+PF=AE+EM=AM四边形BDPM是平行四边形，MB=PDPD+PE+PF=MB+AM=AB，即PD+PE+PF=AB图3结论：PE+PFPD=AB点评：此题主要考查了平行四边形的性质，难易程度适中，读懂信息，把握规律是解题的关键4（2006泰安）如图，矩形ABCD的对角线交于点O，AEBD，CFBD，垂足分别为E，F，连接AF，CE（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）若BAD的平分线与FC的延长线交于点G，则ACG是等腰三角形吗？并说明理由考点：平行四边形的判定；全等三角形的判定；等腰三角形的判定；矩形的性质718351 专题：证明题；几何综合题；探究型分析：（1）根据矩形的性质可知：AB=CD，ABE=CDF，AEB=CFD=90，得到ABECDF，所以AECF，AE=CF，可证四边形AECF为平行四边形；（2）因为AEFG，得到G=GAE利用AG平分BAD，得到BAG=DAG，从而求得ODA=DAO所以CAG=G，可得CAG是等腰三角形解答：（1）证明：矩形ABCD，ABCD，AB=CDABE=CDF，又AEB=CFD=90，AECF，ABECDF，AE=CF四边形AECF为平行四边形（2）解：ACG是等腰三角形理由如下：AEFG，G=GAEAG平分BAD，BAG=DAG又OA=AC=BD=OD，ODA=DAOBAE与ABE互余，ADB与ABD互余，BAE=ADEBAE=DAO，EAG=CAG，CAG=G，CAG是等腰三角形点评：本题考查三角形全等的性质和判定方法以及等腰三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件5（2006陕西）如图，在RtABC中，BAC=90，E，F分别是BC，AC的中点，延长BA到点D，使AD=AB连接DE，DF（1）求证：AF与DE互相平分；（2）若BC=4，求DF的长考点：平行四边形的判定718351 专题：计算题；证明题分析：（1）连接EF、AE，证四边形AEFD是平行四边形即可（2）注意应用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和平行四边形的性质：平行四边形的对边相等，求得AE长即可解答：（1）证明：连接EF，AE点E，F分别为BC，AC的中点，EFAB，EF=AB又AD=AB，EF=AD又EFAD，四边形AEFD是平行四边形AF与DE互相平分（2）解：在RtABC中，E为BC的中点，BC=4，AE=BC=2又四边形AEFD是平行四边形，DF=AE=2点评：本题考查了平行四边形的判定，有中点时需考虑运用三角形的中位线定理或者直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半6如图，以ABC三边为边在BC同侧作三个等边ABD、BCE、ACF请回答下列问题：（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；（2）当ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形考点：平行四边形的判定；等边三角形的性质；矩形的判定718351 专题：证明题；探究型分析：1、本题可根据三角形全等证得DE=AF，AD=EF，即可知四边形ADEF是平行四边形2、要使四边形ADEF是矩形，必须让FAD=90，则BAC=360906060=150解答：证明：（1）等边ABD、BCE、ACF，DB=AB，BE=BC又DBE=60EBA，ABC=60EBA，DBE=ABCDBECBADE=AC又AC=AF，AF=DE同理可证：ABCFCE，证得EF=AD四边形ADEF是平行四边形（2）假设四边形ABCD是矩形，四边形ADEF是矩形，DAF=90又等边ABD、BCE、ACF，DAB=FAC=60BAC=360DAFFACDAB=150当ABC满足BAC=150时，四边形ADEF是矩形点评：此题主要考查了等边三角形的性质和平行四边形的判定7（2010盘锦）如图，ABC是等边三角形，点D是边BC上的一点，以AD为边作等边ADE，过点C作CFDE交AB于点F（1）若点D是BC边的中点（如图），求证：EF=CD；（2）在（1）的条件下直接写出AEF和ABC的面积比；（3）若点D是BC边上的任意一点（除B、C外如图），那么（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质718351 专题：证明题分析：（1）根据ABC和AED是等边三角形，D是BC的中点，EDCF，求证ABDCAF，进而求证四边形EDCF是平行四边形即可；（2）在（1）的条件下可直接写出AEF和ABC的面积比；（3）根据EDFC，结合ACB=60，得出ACF=BAD，求证ABDCAF，得出ED=CF，进而求证四边形EDCF是平行四边形，即可证明EF=DC解答：（1）证明：ABC是等边三角形，D是BC的中点，ADBC，且BAD=BAC=30，AED是等边三角形，AD=AE，ADE=60，EDB=90ADE=9060=30，EDCF，FCB=EDB=30，ACB=60，ACF=ACBFCB=30，ACF=BAD=30，在ABD和CAF中，ABDCAF（ASA），AD=CF，AD=ED，ED=CF，又EDCF，四边形EDCF是平行四边形，EF=CD（2）解：AEF和ABC的面积比为：1：4；（3）解：成立理由如下：EDFC，EDB=FCB，AFC=B+BCF=60+BCF，BDA=ADE+EDB=60+EDBAFC=BDA，在ABD和CAF中，ABDCAF（AAS），AD=FC，AD=ED，ED=CF，又EDCF，四边形EDCF是平行四边形，EF=DC点评：此题主要考查学生对平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质的理解和掌握此题涉及到的知识点较多，综合性较强，难度较大8（2011海南）如图，在菱形ABCD中，A=60，点P、Q分别在边AB、BC上，且AP=BQ（1）求证：BDQADP；（2）已知AD=3，AP=2，求cosBPQ的值（结果保留根号）考点：菱形的性质；全等三角形的判定与性质；解直角三角形718351 专题：几何综合题分析：（1）由四边形ABCD是菱形，可证得AD=AB，ABD=CBD=ABC，ADBC，又由A=60，易得ABD是等边三角形，然后由SAS即可证得BDQADP；（2）首先过点Q作QEAB，交AB的延长线于E，然后由三角函数的性质，即可求得PE与QE的长，又由勾股定理，即可求得PQ的长，则可求得cosBPQ的值解答：（1）证明：四边形ABCD是菱形，AD=AB，ABD=CBD=ABC，ADBC，A=60，ABD是等边三角形，ABC=120，AD=BD，CBD=A=60，AP=BQ，BDQADP（SAS）；（2）解：过点Q作QEAB，交AB的延长线于E，BQ=AP=2，ADBC，QBE=60，QE=QBsin60=2=，BE=QBcos60=2=1，AB=AD=3，PB=ABAP=32=1，PE=PB+BE=2，在RtPQE中，PQ=，cosBPQ=点评：此题考查了菱形的性质与勾股定理、三角函数的性质此题难度适中，解题的关键是数形结合思想的应用9（2007常德）如图1，已知四边形ABCD是菱形，G是线段CD上的任意一点时，连接BG交AC于F，过F作FHCD交BC于H，可以证明结论成立（考生不必证明）（1）探究：如图2，上述条件中，若G在CD的延长线上，其它条件不变时，其结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（2）计算：若菱形ABCD中AB=6，ADC=60，G在直线CD上，且CG=16，连接BG交AC所在的直线于F，过F作FHCD交BC所在的直线于H，求BG与FG的长（3）发现：通过上述过程，你发现G在直线CD上时，结论还成立吗？考点：菱形的性质；勾股定理；平行线分线段成比例718351 专题：综合题；压轴题分析：（1）借助中间比进行证明，根据平行线分线段成比例定理分别证明两个比都等于即可；（2）首先应画出两个不同的图形进行分析构造30的直角三角形，然后计算两条直角边的长，在两种情况中，GQ=16+3=19或163=13，然后根据勾股定理计算BG的长，进一步根据比例式求得FG的长；（3）成立，根据（2）中的过程，可以分别求得左右两个比，从而证明结论解答：解：（1）结论成立证明：由已知易得FHAB，FHGC，（2）G在直线CD上，分两种情况讨论如下：G在CD的延长线上时，DG=10，如图1，过B作BQCD于Q，由于四边形ABCD是菱形，ADC=60，BC=AB=6，BCQ=60，BQ=3，CQ=3，BG=又由FHGC，可得，而CFH是等边三角形，BH=BCHC=BCFH=6FH，FH=，由（1）知，FG=G在DC的延长线上时，CG=16，如图2，过B作BQCG于Q，四边形ABCD是菱形，ADC=60，BC=AB=6，BCQ=60BQ=3，CQ=3BG=14又由FHCG，可得，BH=HCBC=FHBC=FH6，FH=FHCG，BF=1416=FG=14+（3）G在DC的延长线上时，成立结合上述过程，发现G在直线CD上时，结论还成立点评：证明比例式的时候，可以利用相似或利用平行线分线段成比例定理进行证明10（2001河北）如图，在菱形ABCD中，AB=10，BAD=60度点M从点A以每秒1个单位长的速度沿着AD边向点D移动；设点M移动的时间为t秒（0t10）（1）点N为BC边上任意一点，在点M移动过程中，线段MN是否一定可以将菱形分割成面积相等的两部分并说明理由；（2）点N从点B（与点M出发的时刻相同）以每秒2个单位长的速度沿着BC边向点C移动，在什么时刻，梯形ABNM的面积最大并求出面积的最大值；（3）点N从点B（与点M出发的时刻相同）以每秒a（a2）个单位长的速度沿着射线BC方向（可以超越C点）移动，过点M作MPAB，交BC于点P当MPNABC时，设MPN与菱形ABCD重叠部分的面积为S，求出用t表示S的关系式，井求当S=0时的值考点：菱形的性质；二次函数的最值；全等三角形的性质718351 专题：压轴题分析：（1）菱形被分割成面积相等的两部分，那么分成的两个梯形的面积相等，而两个梯形的高相等，只需上下底的和相等即可（2）易得菱形的高，那么用t表示出梯形的面积，用t的最值即可求得梯形的最大面积（3）易得MNP的面积为菱形面积的一半，求得不重合部分的面积，让菱形面积的一半减去即可解答：解：（1）设：BN=a，CN=10a（0a10）因为，点M从点A以每秒1个单位长的速度沿着AD边向点D移动，点M移动的时间为t秒（0t10）所以，AM=1t=t（0t10），MD=10t（0t10）所以，梯形AMNB的面积=（AM+BN）菱形高2=（t+a）菱形高2；梯形MNCD的面积=（MD+NC）菱形高2=（10t）+（10a）菱形高2当梯形AMNB的面积=梯形MNCD的面积时，即t+a=10，（0t10），（0a10）所以，当t+a=10，（0t10），（0a10）时，可出现线段MN一定可以将菱形分割成面积相等的两部分（2）点N从点B以每秒2个单位长的速度沿着BC边向点C移动，设点N移动的时间为t，可知0t5，因为AB=10，BAD=60，所以菱形高=5，AM=1t=t，BN=2t=2t所以梯形ABNM的面积=（AM+BN）菱形高2=3t5=t（0t5）所以当t=5时，梯形ABNM的面积最大，其数值为（3）当MPNABC时，则ABC的面积=MPN的面积，则MPN的面积为菱形面积的一半为25；因为要全等必有MNAC，N在C点外，所以不重合处面积为（at10）2重合处为S=25，当S=0时，即PM在CD上，a=2点评：本题考查了菱形以及相应的三角函数的性质，注意使用两条平行线间的距离相等等条件本题主要考查菱形和平行四边形的识别及推理论证能力对角线互相垂直平分的四边形是菱形11点评：本题主要考查了菱形的判定与性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质以及矩形的性质等知识点注意第（3）题需要分类讨论，以防错解12在平行四边形ABCD中，BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC的延长线于点F，以EC、CF为邻边作平行四边形ECFG（1）如图1，证明平行四边形ECFG为菱形；（2）如图2，若ABC=90，M是EF的中点，求BDM的度数；（3）如图3，若ABC=120，请直接写出BDG的度数考点：菱形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；平行四边形的性质；正方形的判定与性质718351 分析：（1）平行四边形的性质可得ADBC，ABCD，再根据平行线的性质证明CEF=CFE，根据等角对等边可得CE=CF，再有条件四边形ECFG是平行四边形，可得四边形ECFG为菱形；（2）首先证明四边形ECFG为正方形，再证明BMEDMC可得DM=BM，DMC=BME，再根据BMD=BME+EMD=DMC+EMD=90可得到BDM的度数；（3）分别连接GB、GC，求证四边形CEGF是平行四边形，再求证ECG是等边三角形由ADBC及AF平分BAD可得BAE=AEB，求证BEGDCG，然后即可求得答案解答：解：（1）证明：AF平分BAD，BAF=DAF，四边形ABCD是平行四边形，ADBC，ABCD，DAF=CEF，BAF=CFE，CEF=CFE，CE=CF，又四边形ECFG是平行四边形，四边形ECFG为菱形（2）如图，连接BM，MC，ABC=90，四边形ABCD是平行四边形，四边形ABCD是矩形，又由（1）可知四边形ECFG为菱形，ECF=90，四边形ECFG为正方形BAF=DAF，BE=AB=DC，M为EF中点，CEM=ECM=45，BEM=DCM=135，在BME和DMC中，BMEDMC（SAS），MB=MD，DMC=BMEBMD=BME+EMD=DMC+EMD=90，BMD是等腰直角三角形，BDM=45；（3）BDG=60，延长AB、FG交于H，连接HDADGF，ABDF，四边形AHFD为平行四边形，ABC=120，AF平分BAD，DAF=30，ADC=120，DFA=30，DAF为等腰三角形，AD=DF，平行四边形AHFD为菱形，ADH，DHF为全等的等边三角形，DH=DF，BHD=GFD=60，FG=CE，CE=CF，CF=BH，BH=GF，在BHD与GFD中，BHDGFD（SAS），BDH=GDFBDG=BDH+HDG=GDF+HDG=60点评：此题主要考查平行四边形的判定方法，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质等知识点，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法13如图1，在ABC中，AB=BC=5，AC=6ECD是ABC沿BC方向平移得到的，连接AE、AC和BE相交于点O（1）判断四边形ABCE是怎样的四边形，说明理由；（2）如图2，P是线段BC上一动点（图2），（不与点B、C重合），连接PO并延长交线段AE于点Q，QRBD，垂足为点R四边形PQED的面积是否随点P的运动而发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出四边形PQED的面积考点：菱形的判定与性质718351 专题：动点型；数形结合分析：（1）利用平移的知识可得四边形ABCE是平行四边形，进而根据AB=BC可得该四边形为菱形；（2）利用证明三角形全等可得四边形PQED的面积为三角形BED的面积，所以不会改变；进而利用三角形的面积公式求解即可解答：解：（1）四边形ABCE是菱形，证明如下：ECD是由ABC沿BC平移得到的，ECAB，且EC=AB，四边形ABCE是平行四边形，（2分）又AB=BC，四边形ABCE是菱形（4分）（2）由菱形的对称性知，PBOQEO，SPBO=SQEO（7分）ECD是由ABC平移得到的，EDAC，ED=AC=6，又BEAC，BEED，（8分）S四边形PQED=SQEO+S四边形POED=SPBO+S四边形POED=SBED=BEED=86=24（10分）点评：考查菱形的判定及相关性质；把不规则图形的面积转化为较简单的规则图形的面积是解决本题的关键14（2011清远）如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AE=BC，DFAE，垂足为F，连接DE（1）求证：AB=DF；（2）若AD=10，AB=6，求tanEDF的值考点：矩形的性质；全等三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义718351 专题：几何综合题分析：（1）根据矩形的对边平行且相等得到AD=BC=AE，DAF=EAB再结合一对直角相等即可证明ABEDFA；然后根据全等三角形的对应边相等证明AB=DF；（2）根据全等三角形的对应边相等以及勾股定理，可以求得DF，EF的长；再根据勾股定理求得DE的长，运用三角函数定义求解解答：（1）证明：在矩形ABCD中，BC=AD，ADBC，B=90，DAF=AEBDFAE，AE=BC，AFD=90，AE=ADABEDFA；AB=DF；（2）解：由（1）知ABEDFAAB=DF=6在RtADF中，AF=，EF=AEAF=ADAF=2tanEDF=点评：本题综合考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质及锐角三角函数的定义熟练运用矩形的性质和判定，能够找到证明全等三角形的有关条件；运用全等三角形的性质求得三角形中的边，再根据锐角三角函数的概念求解15（2010大庆）已知：如图，正方形ABCD与矩形DEFG的边AD、DE在同一直线l上，点G在CD上正方形ABCD的边长为a，矩形DEFG的长DE为b，宽DG为3（其中ab3）若矩形DEFG沿直线l向左以每秒1个单位的长度的速度运动（点D、E始终在直线l上）若矩形DEFG在运动过程中与正方形ABCD的重叠部分的面积记作S，运动时间记为t秒（0tm），其中S与t的函数图象如图所示矩形DEFG的顶点经运动后的对应点分别记作D、E、F、G（1）根据题目所提供的信息，可求得b=4，a=5，m=9；（2）连接AG、CF，设以AG和CF为边的两个正方形的面积之和为y，求当0t5时，y与时间t之间的函数关系式，并求出y的最小值以及y取最小值时t的值；（3）如图，这是在矩形DEFG运动过程中，直线AG第一次与直线CF垂直的情形，求此时t的值并探究：在矩形DEFG继续运动的过程中，直线AG与直线CF是否存在平行或再次垂直的情形？如果存在，请画出图形，并求出t的值；否则，请说明理由考点：矩形的性质；二次函数的最值；正方形的性质718351 专题：代数几何综合题分析：（1）由图的函数图象知：从第45秒，S的值恒为12，即此时矩形全部落在正方形的内部，由此可求得两个条件：矩形的面积为12，正方形的边长为1+DE，根据这两个条件求解即可（2）当0t5时，矩形在直线AB的左侧，可用t表示出AD、PF的长，易求得DG、CP的长，即可用勾股定理求得AG2、CF2的值，即可得到y、t的函数关系式（3）此题要分五种情况讨论：当0t4时，点E在D点右侧；由于HGF、HFG都是锐角，显然直线AG与CF不可能平行；当两条直线垂直时，GHF是直角三角形，易证得ADGCPF，根据相似三角形得到的比例线段即可求得t的值；当t=4时，D、E重合，此时直线DC与EF重合，显然此时AG与CF既不平行也不垂直，因为过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行或垂直；当4t5时，矩形在正方形的内部，延长GF交BC于P，延长AG交CD于Q，此时CFP是锐角，所以CFG是钝角，显然AG与CF不可能垂直；当两直线平行时，可证得ADGFPC，进而可根据相似三角形得到的比例线段求得t的值；当t=5时，此种情况与相同；当5t9时，此时QGF与CFG都是钝角，显然AG与CF不可能平行；当两直线垂直时，可延长CF与AG相交于点M，延长GF与CD相交于点P，通过证ADGCPF来求得此时t的值解答：解：（1）由图知：从第4到第5秒时，S的值恒为12，此时矩形全部落在正方形的内部，那么矩形的面积为12，即可求得DE=4；这个过程持续了1秒，说明正方形的边长为：DE+1=5；由于矩形的速度恒定，所以5m也应该用4秒的时间，故m=5+4=9；即：b=4，a=5，m=9（2）如图，当0t5时，AD=5t，DG=3，PF=4t，CP=2，y=9+（5t）2+4+（4t）2，y=2（t）2+，当t=时，y有最小值，y最小值=（3）当0t4时，分别延长AG和FC；如图，由于1和2都是锐角，所以1+2180，所以AG与CF不可能平行设AG与FC的延长线交于点H，当GAD=PCF时，直线AGCF；ADGCPF，=，解得t1=2，t2=7（不合题意，舍去）当t=4时，由于点F在CD上，而点G不在直线AD上，因为ADCD，所以AG不可能也垂直于CD（因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直）同样，由于ABCD，而点G不在直线AB上，所以t=4时，AG也不可能平行于CD（CF）（因为过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行）4t5时，延长GF交PC于P，延长AG交CD于Q，由于CFP是锐角，所以CFG是钝角，所以CFG+QGF90，所以AG与CF不可能垂直；当GAD=CFP时，AGCF，易得ADGFPC，=，解得t=4.4当t=5时，AG与CF既不可能垂直也不可能平行，理由同当5t9时，因为QGF与CFG都是钝角，所以QGF+CFG180，所以AG与CF不可能平行延长CF与AG相交于点M，延长GF与CD相交于点P；当MGF+MFG=90时，AGCF；又AGD+AGF=90，MFG=CFP，AGD=CFP，又ADG=FPC，ADGCPF，即；解得：t1=2（不合题意，舍去），t2=7；所以，综上所述，当t=2或t=7时，直线AG与直线CF垂直，当t=4.4时，直线AG与直线CF平行点评：此题主要考查了矩形、正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质以及分段函数的应用等知识，同时还考查了分类讨论的数学思想，难度较大16（2005淮安）已知：平行四边形ABCD的对角线交点为O，点E、F分别在边AB、CD上，分别沿DE、BF折叠四边形ABCD，A、C两点恰好都落在O点处，且四边形DEBF为菱形（如图）（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）在四边形ABCD中，求的值考点：矩形的判定718351 专题：计算题；证明题分析：（1）根据矩形的判定定理，先证DE=BE，再证DOE=90，则可证（2）根据已知条件和（1）的结论，先求得AD：AB，易求解的值解答：（1）证明：连接OE，四边形ABCD是平行四边形，DO=OB，四边形DEBF是菱形，DE=BE，EOBD，DOE=90，即DAE=90，又四边形ABCD是平行四边形，四边形ABCD是矩形（2）解：四边形DEBF是菱形，FDB=EDB，又由题意知EDB=EDA，由（1）知四边形ABCD是矩形，ADF=90，即FDB+EDB+ADE=90，则ADB=60，在RtADB中，有AD：AB=1：，又BC=AD，则说明：其他解法酌情给分点评：本题考查矩形的判定定理及相关性质，直角三角形的性质等，难度偏难17如图，已知矩形ABCD，AD=4，CD=10，P是AB上一动点，M、N、E分别是PD、PC、CD的中点（1）求证：四边形PMEN是平行四边形；（2）请直接写出当AP为何值时，四边形PMEN是菱形；（3）四边形PMEN有可能是矩形吗？若有可能，求出AP的长；若不可能，请说明理由考点：矩形的判定与性质；平行四边形的判定；菱形的判定718351 分析：（1）根据三角形的中位线的性质和平行四边形的判定定理可证明（2）当DP=CP时，四边形PMEN是菱形，P是AB的中点，所以可求出AP的值（3）四边形PMEN是矩形的话，DPC必需为90，判断一下DPC是不是直角三角形就行解答：解：（1）M、N、E分别是PD、PC、CD的中点，MEPC，ENPD，四边形PMEN是平行四边形；（2）当AP=5时，PA=PB=5，AD=BC，A=B=90，PADPBC，PD=PC，M、N、E分别是PD、PC、CD的中点，NE=PMPD，ME=PN=PC，PM=ME=EN=PN，四边形PMEN是菱形；（3）假设DPC为直角三角形设PA=x，PB=10x，DP=，CP=DP2+CP2=DC216+x2+16+（10x）2=102x210x+16=0x=2或x=8故当AP=2或AP=8时，能够构成直角三角形点评：本题考查平行四边形的判定，菱形的判定定理，以及矩形的判定定理和性质，知道矩形的四个角都是直角，对边相等等性质18如图：矩形ABCD中，AB=2，BC=5，E、P分别在AD、BC上，且DE=BP=1（1）判断BEC的形状，并说明理由？（2）判断四边形EFPH是什么特殊四边形？并证明你的判断；（3）求四边形EFPH的面积考点：矩形的判定与性质；三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理；平行四边形的判定与性质718351 专题：计算题；证明题分析：（1）根据矩形性质得出CD=2，根据勾股定理求出CE和BE，求出CE2+BE2