勾股定理的应用举例.doc

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课题名称
勾股定理的应用举例
课型
新授课
学习目标
1、能运用勾股定理及直角三角形的判别条件(即勾股定理的逆定理)解决简单的实际问题。
2、学会观察图形，勇于探索图形间的关系，培养学生的空间观念。
3、在将实际问题抽象成几何图形过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想。

学案导学
批注备课
1、探索、发现给定事物中隐含的勾股定理及其逆及理，并用它们解决生活实际问题。
2、利用数学中的建模思想构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题。

过程线
问题线
活动线
一、 创设问题情境，引入新课

二、 讲授新课

三、试一试(课本P34)

前几节课我们学习了勾股定理，你还记得它有什么作用吗？
欲登12米高的建筑物，为安全需要，需使梯子底端离建筑物5米，至少需多长的梯子？
根据题意，(如图)AC是建筑物，则AC=12米，BC=5米，AB是梯子的长度。所以在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2=122+52=132；AB=13米。

所以至少需13米长的梯子。

1、 蚂蚁怎么走最近
出示问题：有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米。在圆行柱的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，需要爬行的的最短路程是多少？(π的值取3)。

2、做一做：
教材14页。

3、随堂练习
出示投影片
（1）甲、乙两位探险者，到沙漠进行探险.某日早晨8∶00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走.1时后乙出发，他以5千米/时的速度向北行进.上午10∶00，甲、乙两人相距多远？
（2）如图，有一个高1.5米，半径是1米的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分是0.5米，问这根铁棒应有多长？

在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形。在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺。如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面。请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各为多少？

学生小组讨论解决问题。

（1）同学们可自己做一个圆柱，尝试从A点到B点沿圆柱的侧面画出几条路线，你觉得哪条路线最短呢？（小组讨论）
（2）如图，将圆柱侧面剪开展开成一个长方形，从A点到B 点的最短路线是什么?你画对了吗?
（3）蚂蚁从A点出发，想吃到B点上的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？（学生分组讨论，公布结果）
我们知道，圆柱的侧面展开图是一长方形.好了，现在咱们就用剪刀沿母线AA′将圆柱的侧面展开(如下图)。

我们不难发现，刚才几位同学的走法：
(1)A→A′→B； (2)A→B′→B；
(3)A→D→B； (4)A—→B。
哪条路线是最短呢？你画对了吗？
第(4)条路线最短。因为“两点之间的连线中线段最短”。

李叔叔随身只带卷尺检测AD，BC是否与底边AB垂直，也就是要检测 ∠DAB=90°，∠CBA=90°.连结BD或AC，也就是要检测△DAB和△CBA是否为直角三角形。很显然，这是一个需用勾股定理的逆定理来解决的实际问题。

（1）分析：首先我们需要根据题意将实际问题转化成数学模型。
解：(如图)根据题意，可知A是甲、乙的出发点，10∶00时甲到达B点，则AB=2×6=12(千米)；乙到达C点，则AC=1×5=5(千米)。

在Rt△ABC中，BC2=AC2+AB2=52+122=169=132，所以BC=13千米.即甲、乙两人相距13千米。
（2）分析：从题意可知，没有告诉铁棒是如何插入油桶中，因而铁棒的长是一个取值范围而不是固定的长度，所以铁棒最长时，是插入至底部的A点处，铁棒最短时是垂直于底面时。
解：设伸入油桶中的长度为x米，则应求最长时和最短时的值。
①x2=1.52+22，x2=6.25，x=2.5
所以最长是2.5+0.5=3(米).
②x=1.5，最短是1.5+0.5=2(米).
答：这根铁棒的长应在2~3米之间(包含2米、3米).

我们可以将这个实际问题转化成数学模型。
解：如图，设水深为x尺，则芦苇长为(x+1)尺，由勾股定理可求得
(x+1)2=x2+52，x2+2x+1=x2+25
解得x=12
则水池的深度为12尺，芦苇长13尺.

梳理建构

这节课我们利用勾股定理和它的逆定理解决了生活中的几个实际问题.我们从中可以发现用数学知识解决这些实际问题，更为重要的是将它们转化成数学模型.

课堂检测
课后作业
学生完成检测

反思

能运用勾股定理及直角三角形的判别条件(即勾股定理的逆定理)解决简单的实际问题。让学会观察图形，勇于探索图形间的关系，培养学生的空间观念。
在将实际问题抽象成几何图形过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想。通过有趣的问题提高学习数学的兴趣。在解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性，体现人人都学有用的数学。

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