2015二次函数复习专题讲义.doc

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二次函数
【知识清单】
1、一般的，形如的函数叫二次函数。例如等都是二次函数。注意：系数不能为零，可以为零。
2、二次函数的三种解析式（表达式）
①一般式：
②顶点式：，顶点坐标为
③交点式：
3、二次函数的图像位置与系数之间的关系
①：决定抛物线的开口方向及开口的大小。当时，开口方向向上；当时，开口方向向下。决定开口大小，当越大，则抛物线的开口越小；当越小，则抛物线的开口越大。反之，也成立。
②：决定抛物线与轴交点的位置。当时，抛物线与轴交点在轴正半轴（即轴上方）；当时，抛物线与轴交点在轴负半轴（即轴下方）；当时，抛物线过原点。反之，也成立。
③ ：共同决定抛物线对称轴的位置。当时，对称轴在轴右边；当时，对称轴在轴左边；当（即当时）对称轴为轴。反之，也成立。
④特别：当时，有；当，有。反之也成立。
4、二次函数的图像可由抛物线向上（向下），向左（向右）平移而得到。具体为：当时，抛物线向右平移个单位；当时，抛物线向左平移个单位，得到；当时，抛物线再向上平移个单位，当时，抛物线再向下平移个单位，而得到的图像。
5、抛物线与一元二次方程的关系：
①若抛物线与轴有两个交点，则一元二次方程有两个不相等的实根。
②若抛物线与轴有一个交点，则一元二次方程有两个相等的实根（即一根）。
③若抛物线与轴无交点，则一元二次方程没有实根。
6、二次函数的图像与性质
关系式

图像形状
抛物线

顶点坐标

对称轴

增
减
性

在图像对称轴左侧，即或，随的增大而减小；在图像对称轴右侧，即或，随的增大而增大；

在图像对称轴左侧，即或，随的增大而增大；在图像对称轴右侧，即或，随的增大而减小；

最大值最小值

当时，
当时，

当时，
当时，

【考点解析】
考点一：二次函数的概念
【例1】下列函数中是二次函数的是（ ）

【解析】根据二次函数的定义即可做出判断，中符合的形式，所以是二次函数，分别是一次函数和反比例函数，中右边不是整式，显然不是二次函数。
【答案】
【例2】已知函数是二次函数，则。
【解析】根据二次函数的定义，只需满足两个条件即可“二次项系数不为零，且的最高次数为”。故有，解得，综上所述，取。
【答案】
【针对训练】
1、 若函数是二次函数，则该函数的表达式为。

考点二：待定系数法在求解二次函数解析式中的应用
【例1】已知点在二次函数的图象上，则的值是（）

【解析】因为点在二次函数的图象上，所以将点代入二次函数中，可以得出，则可得，
【答案】
【例2】若二次函数的与的部分对应值如下表，则当时，的值为（　　）

【解析】设二次函数的解析式为，因为当或时，，由抛物线的对称性可知，，所以，把代入得，，所以二次函数的解析式为，当时，。 【答案】
【针对训练】
1、 过,,三点的抛物线的顶点坐标是（　）

2、无论为何实数，二次函数的图象总是过定点（ ）

【例3】如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数的图象顶点为，且过点，则与的函数关系式为（　　）

【解析】设这个二次函数的关系式为，将代入得，解得：，故这个二次函数的关系式是，
【答案】
【针对训练】
1、 过，，三点的抛物线的顶点坐标是_____。
考点三：二次函数的图像与性质的综合应用（与系数的关系）
【例1】已知二次函数有最小值1，则、的大小关系为（ ）
不能确定
【考点】涉及二次函数顶点坐标和最值
【解析】因为二次函数有最小值1，所以，，，所以。
【答案】
【针对训练】
1、二次函数的最小值是 。
2、二次函数的图象的顶点坐标是（ ）

3、抛物线的顶点坐标是（ ）

【例2】抛物线可以由抛物线平移得到，则下列平移过程正确的是（ ）
先向左平移2个单位，再向上平移3个单位
先向左平移2个单位，再向下平移3个单位
先向右平移2个单位，再向下平移3个单位
先向右平移2个单位，再向上平移3个单位
【考点】涉及函数平移问题
【解析】抛物线向左平移2个单位可得到抛物线，再向下平移3个单位可得到抛物线。【答案】
【针对训练】
1、已知下列函数：（1）；（2）；（3）。其中，图象通过平移可以得到函数的图象的有 （填写所有正确选项的序号）。
2、将抛物线向上平移一个单位后，得到新的抛物线，那么新的抛物线的表达式是 。
3、将抛物线向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是（ ）

【例3】二次函数的图象如图所示，则下列关系式错误的是（ ）

【考点】图像与系数的关系
【解析】观察题中图象可知，抛物线的开口方向向上，抛物线与轴的交点在轴的正半轴上，与轴有两个交点，所以，，，且当时，。显然选项A、B、C都正确，只有选项D错误。 【答案】
【例4】已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论正确的是（ ）

方程的两根是，

当时，随的增大而减小
【考点】图像与性质的综合应用
【解析】由图象可知，，故A错误；因对称轴为直线，所以，故C错误；由图象可知当时，随的增大而增大，故D错误；由二次函数的对称性可知B选项正确，
【答案】
【针对训练】
1、在同一平面直角坐标系中，函数和函数（是常数，且）的图象可能是（ ）

2、已知抛物线在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（ ）

3、在反比例函数中，当时，随的增大而减小，则二次函数的图象大致是（ ）

考点四：二次函数的实际应用
【例1】某企业为重庆计算机产业基地提供电脑配件，受美元走低的影响，从去年1至9月，该配件的原材料价格一路攀升，每件配件的原材料价格（元）与月份（，且取整数）之间的函数关系如下表：
月份
1
2
3
4
5
6
7
8
9
价格（元/件）
560
580
600
620
640
660
680
700
720
随着国家调控措施的出台，原材料价格的涨势趋缓，10至12月每件配件的原材料价格（元）与月份（10≤≤12，且取整数）之间存在如图所示的变化趋势：

（1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，直接写出与之间的函数关系式，根据如图所示的变化趋势，直接写出与之间满足的一次函数关系式；
（2）若去年该配件每件的售价为1000元，生产每件配件的人力成本为50元，其它成本30元，该配件在1至9月的销售量（万件）与月份满足函数关系式（1≤≤9，且取整数）10至12月的销售量（万件）与月份满足函数关系式（10≤≤12，且取整数）．求去年哪个月销售该配件的利润最大，并求出这个最大利润；
（3）今年1至5月，每件配件的原材料价格均比去年12月上涨60元，人力成本比去年增加20%，其它成本没有变化，该企业将每件配件的售价在去年的基础上提高，与此同时每月销售量均在去年12月的基础上减少．这样，在保证每月上万件配件销量的前提下，完成了1至5月的总利润1700万元的任务，请你参考以下数据，估算出的整数值．
（参考数据：992=9901，982=9604，972=9409，962=9216，952=9025）
【考点】涉及函数模型，把实际问题转化为函数，用函数的观点来解决问题，综合性比较强，一般还涉及不等式，最值问题。
【解析】（1）把表格（1）中任意2点的坐标代入直线解析式可得的解析式．把（10，730）（12，750）代入直线解析式可得的解析式，；（2）分情况探讨得：1≤≤9时，利润=×（售价﹣各种成本）；10≤≤12时，利润=×（售价﹣各种成本）；并求得相应的最大利润即可；（3）根据1至5月的总利润1700万元得到关系式求值即可。解：（1）设，则，解得，
∴（1≤≤9，且取整数）；设，则，解得，∴（10≤≤12，且取整数）；
（2）设去年第月的利润为元．1≤≤9，且取整数时∴=4时，最大=450元；10≤≤12，且取整数时，
∴=10时，最大=361元；
（3）去年12月的销售量为﹣0.1×12+2.9=1.7（万件），
今年原材料价格为：750+60=810（元）
今年人力成本为：50×（1+20%）=60元．
∴5×[1000×（1+）﹣810﹣60﹣30]×1.7（1﹣0.1×）=1700，
设，整理得，
解得 ∵9401更接近于9409， ∴，
∴≈0.1，≈9.8， ∴≈10或≈980，
∵1.7（1﹣0.1×）≥1， ∴≈10．
【答案】（1）（10≤≤12，且取整数）；（2）=10时，最大=361元；（3）≈10
【针对训练】
1、在“母亲节”前夕，我市某校学生积极参与“关爱贫困母亲”的活动，他们购进一批单价为20元的“孝文化衫”在课余时间进行义卖，并将所得利润捐给贫困母亲。经试验发现，若每件按24元的价格销售时，每天能卖出36件；若每件按29元的价格销售时，每天能卖出21件．假定每天销售件数y（件）与销售价格x（元/件）满足一个以x为自变量的一次函数。
（1）求y与x满足的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；
（2）在不积压且不考虑其他因素的情况下，销售价格定为多少元时，才能使每天获得的利润最大？

【例2】如图，已知二次函数图象的顶点坐标为（2，0），直线与二次函数的图象交于两点，其中点在轴上．
（1）二次函数的解析式为=　 　；
（2）证明点不在（1）中所求的二次函数的图象上；
（3）若为线段的中点，过点作轴于点，与二次函数的图象交于点．
①轴上存在点，使以为顶点的四边形是平行四边形，则K点的坐标是　 　；
②二次函数的图象上是否存在点，使得？求出点坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】考察函数的图像与性质，与平面图形综合为主，一般涉及存在性问题和动点问题。
【解析】（1）由二次函数图象的顶点坐标为，故根据抛物线的顶点式写出抛物线解析式．（2）把该点代入抛物线上，得到的一元二次方程，求根的判别式．（3）由直线与二次函数的图象交于两点，解得两点坐标，求出点坐标，①设点坐标，使为顶点的四边形是平行四边形，则，且，进而求出点的坐标．②过点作轴于，则，又为中点，求得点坐标，可得到，设，由题意可以解出．
（1）解：
（2）证明：设点在二次函数的图象上，
则有：，整理得，
∵∴原方程无解，
∴点不在二次函数的图象上．
（3）解：①或
②二次函数的图象上存在点P，使得，
如图，过点作轴于，则，又为中点，
∴，由于和可求得点
∴ ∴轴，
∴．
设，由题意得：
∵∴解得或，

当时，，
当时，，
∴存在点和，使得
【答案】（1）； （2）见上述解答过程； （3）存在，点和

【基础闯关】
1、已知二次函数的图象如图所示，那么这个函数的解析式为。
2、已知二次函数，则函数的最小值是。
3、把抛物线向上平移5个单位，所得抛物线的解析式为。
4、将二次函数化成的形式，则。
5、 如图，抛物线的函数表达式是（　　）

6、已知函数的图象如图所示，则函数的图象是（ ）

7、二次函数的图象的顶点坐标是（ ）
（1，3） （，3）
（1，） （，）
8、对于抛物线，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线；③顶点坐标为（﹣1，3）；④时，随的增大而减小，其中正确结论的个数为（　　）
1 2 3 4

9、已知：直线过抛物线的顶点，如图所示．
（1）顶点的坐标是____________________________
（2）若直线经过另一点（0，11），求出该直线的表达式；
（3）在（2）的条件下，若有一条直线与直线关于轴成轴对称，求直线与抛物线的交点坐标．

10、已知二次函数，解答下列问题：
（1）用配方法将该函数解析式化为的形式；
（2）指出该函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴，以及它的变化情况．

【拓展提高】
1、将二次函数的图象沿轴向上平移3个单位，那么平移后的二次函数图象的顶点坐标是 。
2、若抛物线的最低点的纵坐标为，则的值是 。
3、抛物线的顶点坐标是，且过点，那么二次函数的解析式为（　　）

4、抛物线图象向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图象的解析式为，则、的值为（ ）
， ， ， ，
5、抛物线图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为（ ）

6、如图，在平面直角坐标系中，有两条位置确定的抛物线，它们的对称轴相同，则下列关系不正确的是（　　）
k=n 　 h=m 　 k＜n h＜0，k＜0
7、将二次函数化为的形式，结果为（ ）

8、企业的污水处理有两种方式，一种是输送到污水厂进行集中处理，另一种是通过企业的自身设备进行处理．某企业去年每月的污水量均为12000吨，由于污水厂处于调试阶段，污水处理能力有限，该企业投资自建设备处理污水，两种处理方式同时进行．1至6月，该企业向污水厂输送的污水量y1（吨）与月份（1≤≤6，且取整数）之间满足的函数关系如下表：
月份x（月）
1
2
3
4
5
6
输送的污水量y1（吨）
12000
6000
4000
3000
2400
2000
7至12月，该企业自身处理的污水量y2（吨）与月份（7≤≤12，且取整数）之间满足二次函数关系式为．其图象如图所示．1至6月，污水厂处理每吨污水的费用：（元）与月份之间满足函数关系式：，该企业自身处理每吨污水的费用：（元）与月份之间满足函数关系式： ；7至12月，污水厂处理每吨污水的费用均为2元，该企业自身处理每吨污水的费用均为1.5元．
（1）请观察题中的表格和图象，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，分别直接写出与之间的函数关系式；
（2）请你求出该企业去年哪个月用于污水处理的费用（元）最多，并求出这个最多费用；
（3）今年以来，由于自建污水处理设备的全面运行，该企业决定扩大产能并将所有污水全部自身处理，估计扩大产能后今年每月的污水量都将在去年每月的基础上增加a%，同时每吨污水处理的费用将在去年12月份的基础上增加（﹣30）%，为鼓励节能降耗，减轻企业负担，财政对企业处理污水的费用进行50%的补助．若该企业每月的污水处理费用为18000元，请计算出a的整数值．（参考数据：，，）

9、在直角坐标系中，点A是抛物线y＝x2在第二象限上的点，连接OA，过点O作，交抛物线于点B，以OA、OB为边构造矩形AOBC．

(1)如图1，当点A的横坐标为　　时，矩形AOBC是正方形；
(2)如图2，当点A的横坐标为时，
①求点B的坐标；
②将抛物线作关于x轴的轴对称变换得到抛物线y＝－x2，试判断抛物线y＝－x2经过平移交换后，能否经过三点？如果可以，说出变换的过程；如果不可以，请说明理由．

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