四川省乐山市沫若中学2020-2021学年高二数学下学期入学考试试题-理.doc

四川省乐山市沫若中学2020-2021学年高二数学下学期入学考试试题 理

四川省乐山市沫若中学2020-2021学年高二数学下学期入学考试试题 理

年级：
姓名：

12

四川省乐山市沫若中学2020-2021学年高二数学下学期入学考试试题 理
满分：150分 考试时间：120分钟
一、选择题：（共12个小题，每题5分，共60分。）
1．点A（3，2，1）关于xOy平面的对称点为（　　）
A．（-3，-2，-1） B．（-3，2，1） C．（3，-2，1） D．（3，2，-1）
2．抛物线的准线方程为　　
A. B. C. D.
3．设a，b是两条直线，，是两个平面，且，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．体积为的正方体的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
5．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，如果，那么　　
A. 6 B. 8 C. 9 D. 10
6．已知双曲线的一条渐近线方程为，则此双曲线的离心率为　　
A. B. C. D.
7．在底面为正方形的四棱锥中，底面，，则异面直线与所成的角为（ ）
A． B． C． D．
8．若直线与圆的两个交点关于直线对称，则的值分别为（ ）
A． B． C． D．

9．已知，为椭圆的左、右焦点，点在上，，则等于　　
A. B. C. D.
10．已知P是△ABC所在平面外一点，点P与AB，AC，BC的距离相等，且点P在
△ABC上的射影O在△ABC内，则O一定是△ABC的（　　）
A．内心 B．外心 C．重心 D．中心
11．已知，是双曲线的左、右焦点，过的直线l与双曲线的左、右两支分别交于点A，B，若为等边三角形，则该双曲线的渐近线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，正方体中，P为底面上的动点，于E，且则点P的轨迹是（ ）
A．线段 B．圆 C．椭圆的一部分 D．抛物线的一部分
二、填空题：（共4个小题，每题5分，共20分。）
13．命题“”的否定是___________.
14．若抛物线上的点到焦点的距离为10，则到轴的距离是　　．
15．设、分别是椭圆的左、右焦点．若是该椭圆上的一个动点，则的最大值为　　 ．
16．已知双曲线右支上一点分别为其左右焦点，圆是内切圆，且与圆相切于点（为半焦距），若，则双曲线离心率的取值范围是_____．

三、解答题：（共6个小题，共70分。）
17．（满分10分）如图所示，直棱柱中，四边形ABCD为菱形，点E是线段的中点．
（1）求证：平面BDE；
（2）求证：．

18．（满分12分）已知圆，圆心在直线上．
（1）求圆的标准方程；
（2）求直线被圆截得的弦的长．

19．（满分12分）如图，一简单组合体的一个面内接于圆O，是圆O的直径，矩形所在的平面垂直于圆O所在的平面.
（1）证明：平面平面；
（2）若，，，试求该简单组合体的体积.

20． （满分12分）已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于
，，，两点，且.
（Ⅰ）求该抛物线的方程
（Ⅱ）为坐标原点，为抛物线上一点，若，求的值．

21．（满分12分）如图，在三棱锥中，平面平面，，，，，是的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）设点是的中点，求二面角的余弦值．

22．（满分12分）已知椭圆的长轴长为4，焦距为，点为椭圆上一动点，且直线的斜率之积为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设分别是椭圆的左右顶点，若点是上不同于的两点，且满，求证：的面积为定值．

数学试题（理科）答案
一、选择题（共12个小题，每题5分，共60分。）
1． D 2．C 3．C． 4．B． 5．B
6、A 7． 8．、B 9．D 10．A 11．C .12．A
二、填空题（共4个小题，每题5分，共20分。）
13． 14．9 15．4 16．.

三、解答题：（共6个小题，共70分。）
17．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）连接AC交BD于点O，连接OE，即可得到，从而得证；
（2）依题意可得，再由，即可得到平面，从而得证；
【详解】
（1）证明：如图，连接AC交BD于点O，连接OE；
因为О，E分别为线段AC，的中点，故，
而平面BDE，平面BDE，故平面

（2）证明：因为直棱柱，故平面ABCD，
又平面ABCD，所以．
因为ABCD是菱形，所以．
又，平面，平面，
所以平面．
因为平面，故．
18．【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）由圆的一般式方程求出圆心代入直线即可求出得值，即可求解；
（2）先计算圆心到直线的距离，利用即可求弦长.
【详解】
（1）由圆，可得
所以圆心为，半径
又圆心在直线上，即，解得．
所以圆的一般方程为，
故圆的标准方程为．
（2）由（1）知，圆心，半径．
圆心到直线的距离．
则直线被圆截得的弦的长为
．
所以，直线被圆截得的弦的长为．
19．【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）由题意可得，，由线面垂直的判定定理可得面，再由，可得面，根据面面垂直的判定定理即可证明.
（2）根据面面垂直的性质定理可得，且面，根据锥体的体积公式即可求解.
【详解】
解 （1）证明：因为内接于圆O且为直径
所以
在矩形中有且与相交于点C
所以面
而
所以面
因此面面
（2）解：由题知，
面面且面面
所以面
所以.
又因为，
所以
同理面，
在中，所以矩形的面积为
因此该简单组合体的体积
20．【答案】
（Ⅰ）;
（Ⅱ）或2
【解析】
（Ⅰ）抛物线的焦点为，，
则直线的方程为，代入抛物线的方程，
可得，可得，
由抛物线的定义可得，
由已知，得，
解得，
即抛物线的方程为；
（Ⅱ）由可得，
可得或，
即有，，，，
设，，，
，，
即有，，
由，可得，
即，
解得或2

21．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）．
【分析】（Ⅰ）根据面面垂直的性质定理可得平面，根据线面垂直的性质定理，可得，根据等腰三角形中线的性质，可得，利用线面垂直的判定定理，即可得证；
（Ⅱ）根据面面垂直的性质定理可得平面，结合题意，如图建系，可得各点坐标，进而可得，，的坐标，即可求得两个平面的法向量，利用二面角的向量求法，即可求得答案.
【详解】
解：（Ⅰ）平面平面，平面平面=AC，平面，，
∴平面，
∵平面，
∴，
∵，是的中点，
∴，
∵，平面，
∴平面．
（Ⅱ）∵平面平面，平面平面=AC，平面，
∴平面，
∵平面，
∴，
以C为原点，CA，CB，CP为x，y，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

，，，，，，
则，，，
由（Ⅰ）知是平面的一个法向量，
设是平面的法向量，
则有，即，
令，则，，
∴，
设二面角所成角为，由图可得为锐角，
则．

22．【答案】（1）；（2）定值为，证明见解析
【分析】
（1）根据题意可得，，再由即可求解.
（2）设，且直线的方程为：，由题意可得，联立直线和椭圆方程，利用韦达定理可得，再由，化简整理即可求解.
【详解】
（1）由题意可得

解得，椭圆的标准方程为
（2）证明：设，直线的方程为：
由得
即，
联立直线和椭圆方程：，
整理得：
由韦达定理可得：
又
代入，可得，
的面积，
的面积为定值．
【点睛】
关键点点睛：本题考查了直线与椭圆的位置关系，解题的关键是求出直线的方程中，考查了计算能力.