黑龙江省鹤岗市第一中学2021届高三数学下学期2月月考试题-文.doc

黑龙江省鹤岗市第一中学2021届高三数学下学期2月月考试题 文

黑龙江省鹤岗市第一中学2021届高三数学下学期2月月考试题 文

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6

黑龙江省鹤岗市第一中学2021届高三数学下学期2月月考试题 文
一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的
四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C. D．
2．已知i为虚数单位，且复数，则复数z的共轭复数为（ ）
A． B． C．D．
3．已知，，为两两不重合的直线，，为两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，，则
C．若，，则D．若，，则
4．已知平面向量与的夹角为，若，则（ ）
A． B．2 C．3 D．4
5．等比数列的各项均为正数，，则（ ）A． B． C．15 D．10
6．两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则
B．“，”的否定是“，”
C．函数有两个零点
D．幂函数在上是减函数，则实数
8．函数在的零点个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5

9．执行如图所示的程序框图，如果输入的为，则输出的值等于（ ）

A． B． C． D．
10．已知函数的图象与直线相切，相邻的切点间的距离为．将的图象向左平移个单位长度得到的图象，若是偶函数，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
11．若函数在上取得极大值，在上取得极小值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．已知 是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，| PF|>| PF |，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，，则的最小值为（ ）A．8 B．6 C． D．4

二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．将答案填在答题
卡相应的位置上)
13．欲利用随机数表从、、、…、这些编号中抽取一个容量为的样本，选取方法是从下面的随机数表的第行第列开始向右读，每次读取两位，直到取足样本，则第个被抽取的样本的编号为_______
33 95 22 00 18 74 72 18 00 18 38 79 58 69 32 81 76 80 26 92 82 80 84 25 39
90 84 60 79 80 24 36 59 87 38 82 07 53 89 35 96 35 23 79 18 05 98 90 07 35
14．已知满足对且时，（为常数），则的值为__________．
15．如图，三棱椎的底面是等腰直角三角形，，且，，则点到平面的距离等于______．
16．已知函数，若是函数的唯一一个极值点，则实数的取值范围为_________

三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过
程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22，23题为选考题，考生根据要求作答.)

(一）必答题：每题12分，共60分.
17．某市规划一个平面示意图为如图的五边形ABCDE的一条自行车赛道，ED，DC，CB，BA，AE为赛道(不考虑宽度)，BD，BE为赛道内的两条服务通道，，.

（1）从以下两个条件中任选一个条件，求服务通道BE的长度；
①；②
（2）在（1）条件下，应该如何设计，才能使折线段赛道BAE最长(即BA+AE最大)

18．为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成两组，每组100只，其中组小鼠给服甲离子溶液，组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：

记为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于”，根据直方图得到的估计值为.
（1）求乙离子残留百分比直方图中的值；
（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.
19．图1是由矩形和菱形组成的一个平面图形，其中， ，将其沿折起使得与重合，连结，如图2.
（1）证明图2中的四点共面，且平面平面；
（2）求图2中的四边形的面积.

20．已知椭圆的离心率为，且直线与圆相切．（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆相交于不同的两点﹐，为线段的中点，为坐标原点，射线与椭圆相交于点，且点在以为直径的圆上．记，的面积分别为，，求的取值范围．
21．已知函数.（1）当时，判断在的单调性；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.

(二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号.
22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线的极坐标方程；
（2）设为曲线上不同两点（均不与重合），且满足，求的最大面积.

23．已知，且．（1）求证：；
（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围．

1-6ACBCDD
7-12CBCCCA
13 58 14 -4 15． 16．
17． （1）①当时，
在中，由余弦定理得：
，
.，
，
又，，
在中，.
②当，
由，，在中，利用余弦定理可得
,
解得或（舍）.
（2）在中，，.
由余弦定理得，
即，
故，
从而，即，
当且仅当时，等号成立，
即设计为时，折线段赛道最长.
18 (1)由题得，解得，由，解得.
(2)由甲离子的直方图可得，甲离子残留百分比的平均值为，
乙离子残留百分比的平均值为
19(1)证：，，又因为和粘在一起.
，A，C，G，D四点共面.
又.
平面BCGE，平面ABC，平面ABC平面BCGE，得证.
(2)取的中点，连结.因为，平面BCGE，所以平面BCGE，故，
由已知，四边形BCGE是菱形，且得，故平面DEM．
因此．
在中，DE=1，，故．
所以四边形ACGD的面积为4.

20． 解：（1）∵椭圆的离心率为，∴（为半焦距）．
∵直线与圆相切，∴．
又∵，∴，．
∴椭圆的方程为．
（2）∵为线段的中点，∴．
（ⅰ）当直线的斜率不存在时，
由及椭圆的对称性，不妨设所在直线的方程为，得．
则，，∴．
（ⅱ）当直线的斜率存在时，设直线，
，．
由，消去，得．
∴，即．
∴，．
∵点在以为直径的圆上，∴，即．
∴．
∴．
化简，得．经检验满足成立．
∴线段的中点．
当时，．此时．
当时，射线所在的直线方程为．
由，消去，得，．
∴．
∴，∴．
综上，的取值范围为．
21． （1）当时，，所以
当时，，，所以.
所以在上单调递增.
（2）因为.所以，
设，，
当时，即时，因为，，
所以，而，所以，即恒成立.
当时，，
所以在上递增，而，
所以，所以在上递增，
即成立，
当时，，所以在上递增，而，，所以存在，有，
当时，，递减，当时，，递增，所以当时，取得最小值.最小值为，
而，不成立.
综上：实数的取值范围是.
22． （1）设曲线上任意点的极坐标为，由题意，曲线的普通方程为，即，则，故曲线的极坐标方程为.
（2）设，则，故，
因为点在曲线上，则，，故
，,
故时，取到最大面积为.
23．
解：（1）由柯西不等式得．
∴，当且仅当时取等号．
∴；
（2），
要使得不等式恒成立，即可转化为，
当时，，可得，
当时，，可得，
当时，，可得，
∴的取值范围为：