天津市八校2021届高三数学上学期期中联考试题.doc

天津市八校2021届高三数学上学期期中联考试题

天津市八校2021届高三数学上学期期中联考试题

年级：
姓名：

12

天津市八校2021届高三数学上学期期中联考试题
一、选择题（本题共9小题，每题5分，共45分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．已知向量,则的充要条件是（ ）
A． B． C． D．
3．在中，是的中点．若＝，＝，则＝（ ）
A． B． C． D．
4．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高为2，这个球的表面积为，则这个正四棱柱的体积为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6． 已知，，若恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C． D．
7．设为定义在上的奇函数，当时，（为常数），则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
8．将函数的图像先向右平移个单位，再把所得函数图像横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，若函数在上没有零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知定义在上的函数，若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本题6小题，每题5分，共30分，双空题答对一个空得3分）
10．设函数，则______．
11．设曲线在点处的切线方程为，则________.
12．底面边长和高都为2的正四棱锥的表面积为____________.
13．设的内角所对的边分别为若,则的形状为________．
14．已知均为正实数，且，则的最小值为__________，此时的值为__________.
15．如图，在平面四边形中，，
，，.若点
为上的动点，则的最小值为______.

三、解答题（本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（本小题满分14分）
已知，其中，，．
（1）求的单调递增区间；
（2）在中，角，，所对的边分别为，，，，，且向量与共线，求边长和的值．

17．（本小题满分14分）
设数列的前项和为，为等比数列，且，．
（1）求数列和的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．

18．（本小题满分15分）
如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，为棱上的点，且．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值；
（3）设为棱上的点（不与，重合），
且直线与平面所成角的正弦值
为，求的值．

19．（本小题满分16分）
已知数列的前项和为，，设.
（1）证明：是等比数列；
（2）设，求的前项和，若对于任意恒成立，求的取值范围.

20．（本小题满分16分）
已知函数，.
（1）当，若关于的不等式恒成立，求的取值范围；
（2）当时，证明：.

2020～2021学年度第一学期期中八校联考
高三数学参考答案
1．A 2．D 3．B 4．B 5．B 6．C 7．D 8．C 9．C 10． 4 11． 4 12．
13．等腰三角形 14． 8 15．
16．（1）;（2）．
解：（1）,
在上单调递增,令,
得,
的单调递增区间．・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・6分
（2），又,
，即．,由余弦定理得．
因为向量与共线,所以,
由正弦定理得，． ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・14分
17．（1），；（2）
解：（1）当时，，当时，满足上式，故的通项式为．设的公比为，
由已知条件知，，，所以，
，即．・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・6分

（2），

两式相减得：
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・14分
18．（1）见解析；（2）；（3）
解：（1）因为平面，平面，平面
所以，因为，则以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．

由已知可得，，，，，．
所以，，．
因为，．所以，
又，平面，平面．所以平面．・・・4分
（2）设平面的法向量，由（1）可知，
设平面的法向量，因为，．
所以，即
不妨设，得．

所以二面角的余弦值为． ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・9分
（3）设，即．
所以，即．
因为直线与平面所成角的正弦值为
所以
即解得，即． ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・15分
（几何法同样给分）
19．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）．
解：（Ⅰ）当时，，
当时，，所以，
即，即，
又∵，∴是首项，公比为2的等比数列．・・・・・・・・・6分
（2）由（1）知，即，
所以

∴
当为偶数时，∴是递减的，此时当时，∴取最大值，则．
当为奇数时，∴是递增的，此时，则．
综上，的取值范围是．・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・16分
20．（1）；（2）见解析
解：（1）由，得．整理，得恒成立，即．
令．则．∴函数在上单调递减，在上单调递增．
∴函数的最小值为．∴，即．∴的取值范围是．・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・6分
（2）由（1），当时，有，即．
要证，可证，，即证，．
构造函数．则．
∵当时，．∴在上单调递增．
∴在上成立，即，证得．
∴当时，成立．
构造函数．
则 ．
∵当时，，∴在上单调递减．
∴，即．
∴当时，成立．
综上，当时，有．・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・16分
（其余方法同样给分）