安徽省黄山市2021届高三数学第一次质量检测试题-理.doc
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安徽省黄山市2021届高三数学第一次质量检测试题 理 安徽省黄山市2021届高三数学第一次质量检测试题 理 年级: 姓名: 15 安徽省黄山市2021届高三数学第一次质量检测试题 理 本试卷分第Ⅰ卷(选择题60分)和第Ⅱ卷(非选择题90分)两部分,满分150分,考试时间120分钟. 注意事项: 1.答题前,务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号,并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致.务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位. 2.答第Ⅰ卷时,每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号. 3.答第Ⅱ卷时,必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写,要求字体工整、笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出,确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号所指示的答题区域作答,超出答题区域书写的答案无效,在试题卷、草稿纸上答题无效. 4.考试结束,务必将试卷和答题卡一并上交. 第Ⅰ卷(选择题 满分60分) 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请在答题卷的相应区域答题.) 1.已知集合,则集合A中元素个数为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 2.复数( ) A.0 B.2 C. D. 3.欧拉公式(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的,它将指函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里占有非常重要的地位,被誉为“数学中的天桥”,根据欧拉公式可知,表示的复数在复平面中位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.已知抛物线上点P到顶点的距离等于它到准线的距离,则点P的坐标为( ) A. B. C. D. 5.从集合中随机抽取一个数a,从集合中随机抽取一个数b,则向量与向量垂直的概率为( ) A. B. C. D. 6.已知函数的图像在点处的切线与y轴交于点,则点的纵坐标为( ) A.7 B. C. D.4 7.已知函数(其中)的部分图象如图所示,则的解析式为( ) A. B. C. D. 8.在的展开式中,含项的系数为( ) A. B.6 C.24 D. 9.已知,则( ) A. B. C. D. 10.已知直线与圆交于A,B两点。且A,B在x轴同侧,过A,B分别做x轴的垂线交x轴于C,D两点,O是坐标原点,若,则( ) A. B. C. D. 11.已知三棱锥的底面是正三角形,,点A在侧面内的射影H是的垂心,当三棱锥体积最大值时,三棱锥的外接球的表面积为( ) A. B. C. D. 12.设函数,若存在区间,使在上的值域为,则t的取值范围是( ) A. B. C. D. 第Ⅱ卷(非选择题 满分90分) 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请在答题卷的相应区域答题.) 13.设x,y满足约束条件,则的最小值是____________. 14.已知函数,过点作曲线的切线l,则直线l与曲线及y轴围成的图形的面积为________________. 15.已如,且,则的最大值为__________. 16.在平面上给定相异两点A,B,设点P在同一平面上且满足,当且时,P点的轨迹是一个圆,这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现,故我们称这个圆为阿波罗尼斯圆.现有双曲线,分别为双曲线的左、右焦点,A,B为双曲线虛轴的上、下端点,动点P满足,面积的最大值为4.点M,N在双曲线上,且关于原点O对称,Q是双曲线上一点,直线和的斜率满足,则双曲线方程是______________;过的直线与双曲线右支交于C,D两点(其中C点在第一象限),设点、分别为、的内心,则的范围是____________. 三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.请在答题卷的相应区域答题.) 17.(本小题满分12分) 设等差数列的前n项和为,首项,且.数列的前n项和为,且满足. (1)求数列和的通项公式; (2)求数列的前n项和. 18.(本小题满分12分) 如图1,正方形,边长为a,E,F分别为中点,现将正方形沿对角线折起,折起过程中D点位置记为T,如图2. (1)求证:; (2)当时,求半平面与半平面所成二面角的余弦值. 19.(本小题满分12分) 2020年10月份黄山市某开发区一企业顺利开工复产,该企业生产不同规格的一种产品,根据检测标准,其合格产品的质量y(单位:g)与尺寸x(单位:)之间近似满足关系式(b、c为大于0的常数).按照某项指标测定,当产品质量与尺寸的比在区间内时为优等品.现随机抽取6件合格产品,测得数据如下: 尺寸 38 48 58 68 78 88 质量 16.8 18.8 20.7 22.4 24 25.5 质量与尺寸的比 0.442 0.392 0.357 0.329 0.308 0.290 (1)现从抽取的6件合格产品中再任选3件,记为取到优等品的件数试求随机变量的分布列和期望; (2)根据测得数据作了初步处理,得相关统计量的值如下表: 75.3 24.6 18.3 101.4 ①根据所给统计量,求y关于x的回归方程; ②已知优等品的收益z(单位:千元)与x,y的关系为,则当优等品的尺寸x为何值时,收益z的预报值最大?(精确到0.1) 附:对于样本,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:,,. 20.(本小题满分12分) 已知椭圆的长轴长是焦距的倍,且过点. (1)求椭圆C的标准方程; (2)点P是圆心在原点O,半径为的圆O上的一个动点,过点P作椭圆的两条切线,且分别交其圆O于点E、F,求动弦长的取值范围. 21.(本小题满分12分) 已知函数. (1)当时,讨论函数的单调性; (2)当时,若,且在时恒成立,求实数a的取值范围. 考生注意:请在第22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一个题目计分.作答时,请用2B铅笔在答题卡上将所选题目后的方框涂黑. 22.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系中,已知点,曲线的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,点Q是与的公共点. (1)当时,求直线的极坐标方程; (2)当时,记直线与曲线的另一个公共点为P,求的值. 23.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 已知函数,记最小值为k. (1)求k的值; (2)若a,b,c为正数,且. 求证: 黄山市2021届高中毕业班第一次质量检测 数学(理科)参考答案及评分标准 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C D B A B C B A C B B D 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡的相应位置上.) 13. 14. 15. 16.(3分) (2分) 三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.) 17.(本小题满分12分) 解:(1)设数列的公差为d,,所以为等差数列,公差为因为,即, 所以,, 3分 由可得, 两式相减得, 又,所以, 故是首项为1,公比为3的等比数列, 所以. 6分 (2)设,记的前n项和为. 则, 8分 两式相减得:, 所以. 12分 18.(本小题满分12分) (1)证明:取中点O,连 因为为正方形,所以, 又 所以平面,而平面, 所以. 又E,F分别为中点,所以 所以 5分 (2)因为,所以为等边三角形,,又,∴,即. 解法1:如图建立空间直角坐标系,则 平面法向量 设平面法向量, 由,, , 记半平面与半平面所成二面角为,则为锐角,所以 即半平面与半平面所成二面角的余弦值为. 12分 解法2:记半平面与半平面交线为,交于H,连接 因为,平面,平面 所以平面 又平面平面 所以 又由(Ⅰ)知平面,所以,, 所以 所以即为半平面与半平面所成二面角的平面角. 9分 中,, 所以 即半平面与半平面所成二面角的余弦值为. 12分 19.(本小题满分12分) 解:(1)由已知,优等品的质量与尺寸的比在区间内,即 则随机抽取的6件合格产品中,有3件为优等品, 3件为非优等品. 1分 现从抽取的6件合格产品中再任选3件,则取到优等品的件数 ,, , 3分 的分布列为 0 1 2 3 P ∴ 5分 (2)解:对两边取自然对数得, 令,得,且, 6分 ①根据所给统计量及最小二乘估计公式有, 7分 ,得,故 8分 所求y关于x的回归方程为 9分 ②由①可知,,则 由优等品质量与尺寸的比,即. 令,当时,取最大值,即优等品的尺寸,收益的预报值最大. 12分 20.(本小题满分12分) 解:(1)由得,把点代入椭圆方程得, 又,所以,椭圆的标准方程为. 4分 (2)①设过点P作椭圆的两条切线分别为. 当中有一条斜率不存在时,不妨设斜率不存在, 因为与椭圆只有一个公共点,则其方程为或, 当方程为时,此时与圆O交于点和, 此时经过点,且与椭圆只有一个公共点的直线是或, 即为或 由题目知圆O的方程为: ∴线段应为圆O的直径,∴. 6分 ②当斜率都存在时,设点,其中,且, 设经过点与椭圆只有一个公共点的直线为, 则,消去y得到, ∴, , 所以,满足条件的两直线垂直. 10分 ∴线段应为圆O的直径,∴, 综合①②知:因为经过点,又分别交圆于点E,F,且垂直, 所以线段为圆的直径,∴为定值. 11分 故的取值范围. 12分 21.(本小题满分12分) 解:(1), ①当时,恒成立,即函数在递减; ②当时,令,解得,令,解得 即函数在上单调递增,在上单调递减. 4分 综上,当时,函数在递减; 当时,函数在上单调递增,在上单调递减. 5分 (2)由题意,即当时在时恒成立, 即在时恒成立. 记,则, 记,在递增,又,所以时,. 7分 下面证明:当时,在时恒成立. 因为. 9分 所以只需证在时恒成立. 记,所以, 又,所以在单调递增,又 所以,单调递减;,单调递增, 所以,∴在恒成立. 综上可知,时,在时恒成立. 12分 22.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程 解:(1)曲线的普通方程是,当时, 点Q的坐标为, 2分 直线的普通方程为, 4分 所以直线的极坐标方程为; 5分 (2)当时,点Q的坐标为, 6分 直线的参数方程为(t为参数), 8分 代入并化简得,设它的两根为,则. 10分 注:用平面几何中的切割线定理计算酌情给分. 23.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 答案:略- 配套讲稿:
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