2021-2022学年高中数学-第三章-不等式-4.2-简单线性规划学案北师大版必修5.doc
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1、2021-2022学年高中数学 第三章 不等式 4.2 简单线性规划学案北师大版必修52021-2022学年高中数学 第三章 不等式 4.2 简单线性规划学案北师大版必修5年级:姓名:4.2简单线性规划 必备知识自主学习导思1.什么是二元线性规划问题?2.如何确定二元线性规划问题的最值?1.基本概念名称意义约束条件变量x,y满足的二元一次不等式组目标函数欲求关于x,y的一个线性函数的最大值或最小值的函数可行解满足约束条件的解(x,y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解二元线性规划问题在约束条件下,求关于两个变量的目标函数的最大值或最小值问题二元线性规划问题中约
2、束条件是关于x,y的几次不等式或方程的限制条件?提示:二元线性规划问题中约束条件是关于x,y的一次不等式或方程的限制条件.2.最值问题(1)最值位置:目标函数的最大值与最小值总是在可行域的边界交点或顶点处取得.(2)实际应用:求解实际应用问题时,只需要求出区域边界的交点,再比较目标函数在交点处的函数值大小,根据问题需求选择所需结论.目标函数z=2x-y,将其看成直线方程时,z的意义是什么?提示:z=2x-y可变形为y=2x-z,所以z的几何意义是该直线在y轴上截距的相反数.1.思维辨析(对的打“”,错的打“”)(1)线性目标函数z=ax+by表示经过可行域的一组平行线.()(2)求线性目标函数
3、z=ax+by取得最值的最优解都是唯一的.()(3)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点上.()提示:(1).因为线性目标函数z=ax+by即y=-x+,斜率k=-为常数,截距是变量,所以二元一次方程z=ax+by表示经过可行域的一组平行线.(2).如果线性目标函数z=ax+by表示的直线与可行域的某一条边界直线平行,则线性目标函数z=ax+by取得最值的最优解不是唯一的.(3).线性目标函数取得最值的点可能在可行域的边界上,不一定非在顶点上.2.若x0,y0,且x+y1,则z=x-y的最大值为()A.-1B.1C.2D.-2【解析】选B.直线x+y=1与坐标轴的交点坐标为A(1,0),
4、B(0,1).则z=x-y即y=x-z,表示经过可行域的平行线组,-z是直线在y轴上的截距,当直线z=x-y经过点A(1,0)时,-z最小,z最大,最大值为z=x-y=1.3.(教材二次开发:例题改编)已知实数x,y满足约束条件,则z=2x+y的最大值为()A.-1B.2C.7D.8【解析】选C.画出实数x,y满足约束条件,表示的平面区域如图:目标函数变形为-2x+z=y,则z表示直线在y轴上截距,截距越大,z越大,作出目标函数对应的直线L:y=-2x,由可得A(2,3).目标函数z=2x+y过A(2,3)时,直线的截距最大,z取得最大值为z=7. 关键能力合作学习类型一求线性目标函数的最值(
5、直观想象)1.(2020三明高一检测)已知实数x,y满足,则z=x+2y的最大值为()A.2B.C.1D.02.(2020西安高一检测)已知实数x,y满足,则关于目标函数z=3x-y的描述正确的是()A.无最大值也无最小值B.最小值为-2C.最大值为2D.最大值为33.(2020南昌高一检测)设x,y满足,则z=x+y的取值范围是()A.-5,3B.2,3C.2,+)D.(-,3【解析】1.选B.作出实数x,y满足约束条件,对应的平面区域,由z=x+2y,得y=-x+z,平移直线y=-x+z,由图象可知,当直线y=-x+z经过点A时直线y=-x+z的截距最大,此时z最大.由,得A,此时z的最大
6、值为z=+2=.2.选B.作出不等式组对应的平面区域如图,由z=3x-y,得y=3x-z,平移直线y=3x-z,由图象可知当直线y=3x-z,经过点A时,直线y=3x-z的截距最大,此时z最小.联立,解得A(0,2),故zmin=30-2=-2.无最大值.3.选C.先根据约束条件画出可行域,z=x+y,则y=-x+z,由可得A(2,0), 当直线y=-x+z经过点A(2,0)时,z最小,最小值为:2+0=2.没有最大值,故z=x+y的取值范围为2,+). 求目标函数z=ax+by最值的思路(1)化:把目标函数z=ax+by化为斜截式y=-x+.(2)定:z=ax+by中表示直线y=-x+在y轴
7、上的截距.(3)找:把线性目标函数看成直线系,把目标函数表示的直线y=-x+平行移动,越向上平移越大,若b0,则对应z越大,若b0,则对应z越小.特别提醒:当目标函数所在的直线与边界平行时最优解有无数个.【补偿训练】设x,y满足约束条件则z=2x+3y-5的最小值为.【解析】作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示,由图知当z=2x+3y-5经过点A(-1,-1)时,z取得最小值,zmin=2(-1)+3(-1)-5=-10.答案:-10类型二求非线性目标函数的最值(数学抽象、直观想象)角度1可化为斜率最值的问题【典例】已知实数x,y满足不等式组(1)求不等式组表示的平面区域的面积;(2
8、)试确定的取值范围.【思路导引】(1)依据线性约束条件,作出可行域,然后求出面积.(2)因为是分式形式,所以可联想其几何意义,求斜率的取值范围即可.【解析】(1)由实数x,y满足不等式组作出可行域,可知不等式组表示的平面区域是ABC及其内部,如图,解方程组得A(1,1),同理,得B(3,3),C(2,6),记a=(2,2),b=(1,5),则SABC=|a|b|sinBAC=|a|b|=|a|b|=4(面积单位).(2)由(1)可知,1x3.令=k,则y=k(x+1)表示斜率为k且过点D(-1,0)与可行域有公共点的相交线族,由于k=tan ,是增函数,其中是相交线族的倾斜角,结合可行域知,k
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