江西省宜春市高安中学2019-2020学年高一数学下学期期中试题.doc

江西省宜春市高安中学2019-2020学年高一数学下学期期中试题

江西省宜春市高安中学2019-2020学年高一数学下学期期中试题

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- 18 -

江西省宜春市高安中学2019-2020学年高一数学下学期期中试题（B）（含解析）
一、选择题（12小题，每题5分，共60分）
1. 为调查参加考试的1000名学生的成绩情况，从中抽查了100名学生的成绩，就这个问题来说，下列说法正确的是（ ）
A. 1000名学生是总体 B. 每个学生是个体
C. 样本容量是100 D. 抽取的100名学生是样本
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，结合概念，明确研究的对象是谁，从而得到答案.
【详解】根据有关的概念并且结合题意可得：
该题中对应的总体、个体、样本这三个概念考查对象都是学生成绩，而不是学生，
根据答案可得：选项A、B、D表达的对象都是学生，而不是成绩，所以A、B、D都错；
D项样本容量是100正确；
故选：C.
【点睛】该题考查的是有关抽样中的概念问题，需要明确总体、个体、样本以及样本容量的概念，属于基础题目.
2. 设为实数，且，则下列不等式正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
对于A选项，通过反比例函数的单调性可说明问题；B可举出特例；C原式等价于不正确；D等价于a<b，不合题意.
【详解】设为实数，且，构造函数在x>0时是减函数，故,故A正确；当c=0时，，故B不正确；C. 等价于，不合题意；D.等价于a<b,不合题意.
故答案为A.
【点睛】这个题目考查了不等式的大小关系的判断，一般比较大小的题目，可以通过不等式的性质来判断大小，也可通过代特值，排除选项；也可构造函数，通过函数的单调性得到大小关系.
3. 已知变量x与变量y取值如下表所示，且，则由该数据算得的线性回归方程可能是（ ）
x
2
3
4
5
y
2.5
m
n
6.5

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由回归方程必过样本中心，且，以及正负相关性，代入选项即可得到结果．
【详解】由回归方程必过样本中心，，
又，所以，由表格，可得为正相关，排除C，D；代入选项A，B，可知A满足． 故选：A．
【点睛】本题考查回归直线方程的求法，回归直线方程的特征，属于基础题．
4. 设数列是等比数列，且，为其前项和．已知，，则等于 （ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
由题设及等比数列的定义可得，即，又，所以，则，应选答案C．
5. 在中,已知,则此三角形一定为( )
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 钝角三角形
【答案】C
【解析】
【分析】
将,化简为,即,即可求得答案.
【详解】

故,即
,故此三角形是等腰三角形
故选:C.
【点睛】本题考查三角形形状的判定,考查诱导公式与正弦两角和公式,考查运算能力与推理能力,属于中档题.
6. 若连续抛掷两次骰子得到的点数分别为m，n，则点P(m，n)在直线x＋y＝4上的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用分步计数原理求出所有的基本事件个数，再求出点落在直线x＋y＝4上包含的基本事件个数，利用古典概型的概率公式即可求出
【详解】连续抛掷两次骰子出现的结果共有，其中每个结果出现的可能性都是等可能的，点在直线x＋y＝4上包含的有共三个，
所以点P(m，n)在直线x＋y＝4上的概率是
故选：C
【点睛】本题考查了古典概型的应用，考查了学生数学应用、概念理解，数学运算能力，属于中档题.
7. 一个算法的程序框图如图所示，该程序输出的结果为

A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
试题分析：
不成立，输出
考点：程序框图
8. 已知不等式的解集为,则不等式的解集为(   )
A. 或 B.
C. D. 或
【答案】A
【解析】
分析】
由不等式的解集为,可得的根为，
，由韦达定理可得的值，代入不等式解出其解集即可.
【详解】的解集为,
的根为，
即，，
解得，
则不等式可化为，
即为，
解得或，故选A.
【点睛】本题考查的知识点是—元二次不等式的解法，及一元二次不等式的解集与一元二次方程的根之间的关系，其中利用韦达定理求出的值，是解答本题的关键.
9. 采用系统抽样方法从人中抽取人做问卷调查，为此将他们随机编号为，，，，分组后某组抽到的号码为41．抽到的人中，编号落入区间 的人数为（ ）
A 10 B. C. 12 D. 13
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意可得抽到的号码构成以11为首项、以30为公差的等差数列，求得此等差数列的通项公式为an＝30n﹣19，由401≤30n﹣21≤755，求得正整数n的个数，即可得出结论．
【详解】∵960÷32＝30，∴每组30人，∴由题意可得抽到的号码构成以30为公差的等差数列，
又某组抽到的号码为41，可知第一组抽到的号码为11，
∴由题意可得抽到的号码构成以11为首项、以30为公差的等差数列，
∴等差数列的通项公式为an＝11+（n﹣1）30＝30n﹣19，
由401≤30n﹣19≤755，n为正整数可得14≤n≤25，
∴做问卷C的人数为25﹣14+1＝12，
故选C．
【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，系统抽样的定义和方法，根据系统抽样的定义转化为等差数列是解决本题的关键，比较基础．
10. 在中，已知，则的面积等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
；又 ，所以 的面积 ，故选C
11. 数列满足，则的前20项和为（ ）
A. 210 B. 220 C. 230 D. 240
【答案】A
【解析】
【分析】
根据递推公式，寻找几项的规律，构造新数列，求和即可.
【详解】因为
故
=
即：
同理可得：
故可得
令
则，又，故
故.
故选：A
【点睛】本题考查由递推公式，找到通项之间的关系，属数列困难题，对计算能力要求较高.
12. 设点(a,b)为区域 内任意一点，则使函数f(x)=在区间[，+）上是增函数的概率为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
作出不等式组对应的平面区域如图所示：

若f（x）=在区间[，+）上是增函数，
则，即，
则A（0，4），B（4，0），由得，
即C（，），
则△OBC的面积S==．
△OAB的面积S=．
则使函数f(x)=在区间[，+）上是增函数的概率为P==，
故选A．
二、填空题（4小题，每题5分，共20分）
13. 设某总体是由编号为01，02，……，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第3列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体编号为_____．
1818 0792 4544 1716 5809 7983 8617第1行
6206 7650 0310 5523 6405 0526 6238第2行
【答案】06
【解析】
【分析】
按照随机数表法依次选取在总体编号范围内的样本编号即可，注意重复的样本号码应舍去．
【详解】解：由题意依次选取的样本编号为：18，07，17，16，09，（17重复，舍去）06；
所以选出来的第6个个体编号为06．
故答案为：06．
【点睛】本题考查了利用随机数表法选取样本数据的应用问题，是基础题．
14. 设a＞0，b＞0，若是与3b的等比中项，则的最小值是__．
【答案】
【解析】
由已知, 是与的等比中项，则
则
，当且仅当时等号成立
故答案为2
【点睛】本题考查基本不等式的性质、等比数列的性质，其中熟练应用“乘1法”是解题的关键．
15. 已知，满足则的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】
做出满足条件的可行域，根据图形求出目标函数的最值，即可求出结论.
【详解】做出满足的可行域，如图为及其内部.
目标函数可化为，
这是斜率为，随变化的一组平行直线，
是直线在轴上的截距，当取得最小值时的值最小；
当取得最大值时的值最大，由图可知，
在处取到最小值；
在处取到最大值，联立
解得，即，取到最大值，
所以的取值范围是.
故答案为：.

【点睛】本题考查二元一次不等式组表示平面区域，利用数形结合求目标函数的最值，属于基础题.
16. 在锐角中，，角的对边分别为，，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】
由已知关系结合余弦定理化简整理可得b，再由正弦定理表示外接圆半径以及a，c边，并由辅助角公式整理为一个角的三角函数，又由三角形为锐角三角形构建不等式关系求得角A的取值范围，从而可求得a+c的范围.
【详解】由结合余弦定理得，化简得，
由正弦定理，得的外接圆直径，
则，
又为锐角三角形，则有解得，故，
所以.
故答案为：
【点睛】本题考查求三角形两边和的取值范围，常由正弦定理转化为角的关系，由锐角或钝角三角形求得角的范围，进而解决问题，属于较难题.
三、解答题（共70分）
17. 如图是某单位职工的月收入情况画出的样本频率分布直方图，已知图中第一组的频数为4 000，请根据该图提供的信息，解答下列问题．

(1)为了分析职工的收入与年龄、学历等方面的关系，必须从样本中按月收入用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[1 500,2 000)的这组中应抽取多少人？
(2)试估计样本数据的中位数与平均数．
【答案】（1）20（2）17750，1962.5
【解析】
【分析】
（1）先求得月收入在[1000,1500)的频率，即可得到样本容量，求得月收入在[1 500,2 000)的人数，根据分层抽样求得答案；
（2）利用中位数的公式求得中位数，再根据概率和为1求得月收入在[3000,3500)的频率，再利用平均数公式求得结果.
【详解】(1)由题知，月收入在[1000,1500)的频率为0.0008×500＝0.4，
又月收入在[1000,1500)的有4 000人，故样本容量n10000.
又月收入在[1500,2000)的频率为0.000 4×500＝0.2，
月收入在[1 500,2 000)的人数为0.2×10000＝2 000，
从10 000人中用分层抽样的方法抽出100人，
则月收入在[1500,2000)的这组中应抽取100×＝20(人)．
（2）月收入在[1000,2000)的频率为0.4＋0.2＝0.6＞0.5，
故样本数据的中位数为1500＋＝1500＋250＝1750.
由频率分布直方图可知， 月收入在[3000,3500)的频率为

故样本数据的平均数为

【点睛】本题考查了统计的综合知识，熟悉频率分布直方图，分层抽样以及中位数、平均数的求法是解题的关键，属于较为基础题.
18. 已知数列前项和为.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
试题分析：（1）利用与的关系求数列的通项公式；（2）由题意易得：，显然问题转化为等比数列的前项和问题.
试题解析：
（1）因为，故当时，，
两式相减得，
又由题设可得，
从而的通项公式为：；
（2）记数列的前项和为，
由（1）知，
所以.
19. 已知函数
（1）若，在R上恒成立，求实数的取值范围；
（2）若成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】
（1）由二次不等式恒成立可得，于是可求得的取值范围；（2）分离参数得在区间上有解，转化为求在区间上的最大值求解即可．
【详解】（1）由题意得在R上恒成立，
∴，
解得，
∴实数的取值范围为．
（2）由题意得成立，
∴成立．
令，
则在区间上单调递增，
∴，
∴，
解得，
∴实数的取值范围为．
【点睛】解题时注意以下结论的运用：
（1）恒成立等价于，有解等价于
（2）若函数的最值不存在，则可利用函数值域的端点值来代替．
20. 某市环保部门为了让全市居民认识到冬天烧煤取暖对空气数值的影响，进而唤醒全市人民的环保节能意识。对该市取暖季烧煤天数与空气数值不合格的天数进行统计分析，得出下表数据：
（天）
9
8
7
5
4
（天）
7
6
5
3
2

（1）以统计数据为依据，求出关于的线性回归方程；
（2）根据（1）求出的线性回归方程，预测该市烧煤取暖的天数为20时空气数值不合格的天数．
参考公式：，．
【答案】（1）（2）18
【解析】
【分析】
（1）根据所给数据求得、、和，代入回归方程公式即可求得及，即可得关于的线性回归方程.
（2）根据（1）求出的线性回归方程，代入自变量值即可预测不合格的天数．
【详解】（1）由表中数据可求得，
，
，，
，，
所以线性回归方程为．
（2）根据（1）式求出的线性回归方程，
当时，代入可得，
预测该市烧煤取暖的天数为20时空气数值不合格的天数为18.
【点睛】本题考查了线性回归方程的求法及简单应用，属于基础题.
21. 在中，角，，的对边分别为，，，且满足.
（1）求的大小；
（2）若，求的值.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）直接解方程可得；
（2）由余弦定理得及已知可得，再由正弦定理得结论．
【详解】（1），.
，，.，.
（2）在中，由余弦定理得，.
，，，，
解得（舍去）或，.
【点睛】本题考查余弦定理和正弦定理，掌握正弦定理和余弦定理是解题基础．
22. 设正项数列的前n项和为 ，已知，，4成等比数列.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，设的前项和为，求证：.
【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）见解析
【解析】
试题分析：
（Ⅰ）由题意得，因此可先求，令即可得，然后在时写出，两式相减可得的递推式，得其是等差数列，从而易得通项；
（Ⅱ）从的形式可知应用裂项相消法求和，即．　
试题解析：
（Ⅰ）设数列的前项和为

当时，
两式相减得即
又
数列的首项为1，公差为2的等差数列，即
（Ⅱ）
所以.
所以
点睛：在求数列前项和时，有些特殊的数列，解题方法是固定的，如数列是等差数列，是等比数列，则数列的前n项可用裂项相消法求解，而数列的前n项和可用错位相减法求解，这是两类重要的数列求和方法，一定要熟练掌握．