青海省海东市2020-2021学年高二数学上学期期末考试试题-理.doc

青海省海东市2020-2021学年高二数学上学期期末考试试题 理

青海省海东市2020-2021学年高二数学上学期期末考试试题 理

年级：
姓名：

13

青海省海东市2020-2021学年高二数学上学期期末考试试题 理
考生注意：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟．
2．请将各题答案填写在答题卡上．
3．本试卷主要考试内容：人教A版必修2占50%，选修2-1占50%．
第Ⅰ卷
一、选择题
1．命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D． ，
2．双曲线的渐近线方程为，则（ ）
A．4 B．2 C． D．
3．圆心为，半径为4的圆的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
4．棱长为2的正四面体的表面积是（ ）
A． B． C． D．
5．已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面则下列判断正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C若，，则 D若，，，则
6．已知直线与椭圆交于，两点，点，是线段的中点，则直线的斜率是（ ）
A． B． C． D．
7．在三棱柱中，平面，四边形是正方形，且，在棱上，且，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知直线过点，当直线与，轴的正半轴所围成的三角形面积最大时，直线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知，都是正实数，则“”是“”的（ ）
A．充要条件 B必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
10．如图，四边形和都是正方形，为的中点，，则直线与平面所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．

11在三棱锥中，平面，，，则三棱锥外接球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
12．设为双曲线的右焦点，直线（其中为双曲线的半焦距）与双曲线的左、右两支分别交于，两点，若，则双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题
13．已知向量，，则，，的夹角是________．
14．轴截面是边长为4的正方形的圆柱的体积是________．
15．给出下列命题：
①函数的最小值是0；
②“若，则”的否命题；
③若，则，，成等比数列；
④在中，若，则．
其中所有真命题的序号是________．
16．若直线与曲线有两个不同交点，则的取值范围是________．
三、解答题
17． 已知直线与圆交于，两点．
（1）若直线与直线平行，求直线的方程；
（2）若，求直线的方程．
18．已知，．
（1）若是真命题，求的取值范围；
（2）若是真命题，是假命题，求的取值范围．
19．如图，在正方体中，．
（1）证明：平面．
（2）求点到平面的距离．

20．已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点．
（1）若，求弦长；
（2）若直线的斜率为2，为坐标原点，求的面积．
21．如图，平面，四边形为直角梯形，，，．
（1）证明：．
（2）若，点在线段上，且，求二面角的余弦值．

22．已知为坐标原点，点在圆上运动．
（1）求线段中点的轨迹的方程；
（2）过点的直线与轨迹交于，两点，，求的值．

高二数学试卷参考答案（理科）
1．D全称命题的否定是特称命题．
2．A由题意可得，，则．
3．B由题意可得所求圆的标准方程是．
4．D棱长为2的正四面体的表面积是．
5．D对于A，因为，，所以或，故A错误；对于B，因为，，所以或，故B错误；对于C，因为，，所以或，故C错误；对于D，因为，，所以，故D正确．
6．C设，，则，．因为，在椭圆上，所以所以，所以，则，即直线的斜率是．
7．A 如图，取的四等分点（点靠近），连接，．易证，则为异面直线与所成的角．设，则，，，故

8．C设直线的方程为，则，从而，即，故直线与，轴的正半轴所围成的三角形面积．当且仅当，即，时，直线与，轴的正半轴所围成的三角形面积最大．此时，直线的方程为，即．
9．A由，得，则，从而，即；由，得，因为，，所以，所以，即．故“”是“的充要条件．
10． D以为原点，以，的方向分别为，轴的正方向，过作垂直平面的直线作轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，得，，，，则，，。设平面的法向量为，则令，得，从而．故直线与平面所成角的余弦值是．

11．C 如图，设为三棱锥外接球的球心，为外接圆的圆心，连接，，．
在中，，，则由余弦定理可得，从面，故的外接圆半径．因为，所以，所以外接球半径，故三棱锥的外接球的表面积为。

12．C 设双曲线的左焦点为，如图，取线段的中点，连接，则．因为，所以，即，则．设．因为，所以，则，从而，故，解得．因为直线的斜率为，所以，整理得，即，则，故．
13． 由题意可得，则，的夹角是．
14． 由题意可得圆柱的底面圆半径，高，则该圆柱的体积是．
15．②④ 对于①，设，则在上单调递增，从而，即的最小值为，故①是假命题；对于②，由，得，则“若，则”的否命题是真命题，故②是真命题；对于③，当时，，此时，，，不能构成等比数列，故③是假命题；对于④，因为，是的内角，所以，又因为，所以，则，故④是真命题．
16． 曲线可化为，它表示以为圆心，2为半径在直线上方的半圆。直线过原点，当直线与该半圆相切时（即图中虚线），；当直线过点时（即图中实线），．故要使直线与曲线有两个不同交点，则．

17．解：（1）因为直线与直线平行，所以直线的斜率，
则，解得．
故直线的方程为，即．
（2）由题意可知圆的圆心坐标为，半径为3．
因为，所以圆心到直线的距离，
解得．
故直线的方程为，．
18．解：（1）由题意可得：或，
则．
故的取值范围为．
（2）因为是真命题，是假命题，所以和一个是真命题，一个是假命题．
当为真命题，且为假命题时，则解得；
当为真命题，且为假命题时，则解得或．
综上，的取值范围为．
19．（1）证明：如图，连接．
因为是正方体，所以平面．
因为平面，所以．
因为是正方形，所以．
因为平面，平面，，所以平面．
因为平面，所以，
同理可证．
因为平面，平面，，所以平面．

（2）解：因为，所以的面积为．
由正方体的性质可知平面．则三棱锥的体积为．
因为，所以，则的面积为。
设点到平面的距离为，则三棱锥的体积为．
因为三棱锥的体积等于三棱锥的体积，所以，
解得，即点到平面的距离为．
20．解：（1）由抛物线的性质可得，，
则．
因为，所以．
（2）由题意可得．
因为直线过点，且斜率为2，所以直线的方程为．
联立整理得，
则，，
从而，
故．
点到直线的距离，
则的面积为．
21．（1）证明：由题意易知．
作，垂足为，则，故．
因为，所以．
因为平面，平面，所以．
因为平面，平面，且，所以平面．
因为平面，所以．

（2）解：因为，，且，所以．
以为原点，分别以，，的方向为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
则，，，，
从而，，，．
设平面的法向量为．
则令，得
设平面的法向量为，
则令得．
设二面角为，由图可知为锐角，
则．
22．解：（1）设，，
∵为线段的中点，∴整理得
又点在圆上运动，
∴，即．
∴点的轨迹方程为
（2）设，，
当直线的斜率不存在时，明显不符合题意，故设的方程为，
代入方程，整理得
由得，且，．
，
解得或，所以的方程为或．
当的方程为时，直线过圆心，故；
当的方程为时，圆心到直线的距离为，故，
综上，或．