青海省海西州高级中学2020-2021学年高二数学上学期期中试题-文.doc

青海省海西州高级中学2020-2021学年高二数学上学期期中试题 文

青海省海西州高级中学2020-2021学年高二数学上学期期中试题 文

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- 21 -

青海省海西州高级中学2020-2021学年高二数学上学期期中试题 文（含解析）
考试时间：120 分钟 总分：150 分
一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．有关命题的说法错误的是（ ）
A．若p∨q为假命题，则p、q均为假命题
B．“x＝1”是“x2﹣3x+2＝0”的充分不必要条件
C．命题“若x2﹣3x+2＝0，则x＝1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”
D．对于命题p：∃x≥0，2x＝3，则￢P：∀x＜0，2x≠3
2．已知为实数，则“且”是“且”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．命题“若，则”的否命题为（ ）
A．若，则且 B．若，则或
C．若，则且 D．若，则或
4．将60个个体按照01，02，03，…，60进行编号，然后从随机数表的第9行第9列开始向右读数（下表为随机数表的第8行和第9行），

则抽取的第11个个体是（ ）
A．38 B．13 C．42 D．02
5．某校高三共有学生1000人，该校高三学生在一次考试中数学成绩的频率分布直方图如图所示，则该校高三学生在本次考试中数学成绩在分的人数为（ ）

A．30人 B．300人 C．10人 D．100人
6．为了从甲乙两人中选一人参加校篮球队，教练将二人最近6次篮球比赛的得分数进行统计，甲乙两人的平均得分分别是、，则下列说法正确的是（ ）

A．，乙比甲稳定，应选乙参加比赛
B．，甲比乙稳定，应选甲参加比赛
C．，甲比乙稳定，应选甲参加比赛
D．，乙比甲稳定，应选乙参加比赛
7．一个总体中有600个个体，随机编号为001，002，…，600，利用系统抽样方法抽取容量为25的一个样本，总体分组后在第一组随机抽得的编号为006，则在编号为049与120之间抽得的编号为（ ）
A．056，080，104 B．054，078，102
C．054，079，104 D．056，081，106
8．某公司某件产品的定价x与销量y之间的数据统计表如下，根据数据，用最小二乘法得出y与x的线性回归直线方程为：，则表格中n的值应为（ ）
x
2
4
5
6
8
y
30
40
n
50
70
A．45 B．50 C．55 D．60
9．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）上一点M（x0,4）到焦点F的距离|MF|x0,则p＝（ ）
A．2 B．4 C．1 D．5
10.在正方体中，异面直线与所成的角的大小为（ ）
A． B． C． D．
11．已知双曲线，过其右焦点且平行于一条渐近线的直线与另一条渐近线交于点，与双曲线交于点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
12．椭圆，为椭圆的左、右焦点，为坐标原点，点为椭圆上一点，，且成等比数列，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(本大题共四题，每题5分，共20分)
13．若双曲线的一个焦点到坐标原点的距离为3，则m的值为______.
14．若数据的标准差为，则数据的标准差为__________.
15．若A为圆C1：x2＋y2＝1上的动点，B为圆C2：（x－3）2＋（y＋4）2＝4上的动点，则线段AB长度的最大值是________.
16．设椭圆的左右焦点为，过作轴的垂线与交于两点，若是等边三角形，则椭圆的离心率等于________.
三、解答题（本大题共6题，17题10分，其余各题12分，共70分）
17．已知集合，集合.
（1）当时，求；
（2）设，若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围.
18．疫情爆发以来，相关疫苗企业发挥专业优势与技术优势争分夺秒开展疫苗硏发．为测试疫苗的有效性（若疫苗有效的概率小于90%，则认为测试没有通过），选定2000个样本分成三组，测试结果如下表：

组
组
组
疫苗有效
673

疫苗无效
77
90

已知在全体样本中随机抽取1个，抽到B组疫苗有效的概率是0.33．
（1）求，的值；
（2）现用分层抽样的方法在全体样本中抽取180个测试结果，求C组应抽取多少个？
19．随着经济环境的好转，各地陆续出台刺激消费的政策，2020年4月以后，我国国民消费量日益增加．某地一大型连锁酒店4月到7月的营业额，统计如下：
月份：x
4
5
6
7
销售额y
（万元）
20
50
100
150
据分析，销售收入y（万元）与月份x具有线性相关关系．
（1）试求y关于x的线性回归方程；（，）
（2）若该酒店的利润为，试估计该酒店从几月份起，月利润会超过60万元？
（附：在线性回归方程中，，．）
20．已知双曲线：（，）的离心率为，虚轴长为4.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）直线：与双曲线相交于，两点，为坐标原点的面积是，求直线的方程
21．已知点，，点P满足：直线的斜率为，直线的斜率为，且
（1）求点的轨迹C的方程；
（2）过点的直线l交曲线C于A，B两点，问在x轴上是否存在点Q，使得为定值?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
22．已知椭圆：（），以椭圆的短轴为直径的圆经过椭圆左右两个焦点，，是椭圆的长轴端点．

（1）求圆的方程和椭圆的离心率；
（2）设，分别是椭圆和圆上的动点（，位于轴两侧），且直线与轴平行，直线，分别与轴交于点，，试判断与所在的直线是否互相垂直，若是，请证明你的结论；若不是，也请说明理由．

考答案
1．D
【解析】
【分析】
根据含有逻辑联结词命题真假性、充分和必要条件、逆否命题和全称命题与特称命题的知识对选项逐一分析，由此确定说法错误的选项.
【详解】
对于A选项，由于为假命题，故均为假命题——A选项说法正确.
对于B选项，，解得或.所以“”是“”的充分不必要条件——B选项说法正确.
对于C选项，根据逆否命题的知识可知，C选项说法正确.
对于D选项错误，原命题的否定应为.
故选：D
【点睛】
本小题主要考查命题与常用逻辑用语的知识，属于基础题.
2．C
【解析】
试题分析：由题意得，因为是实数，所以“且”可推出“且”，“且”推出“且”，所以“且”是“且”的充要条件，故选C．
考点：充要条件的判定．

3．D
【解析】
【分析】
根据为原命题条件,为原命题结论,则否命题:若非则非,即可求得答案.
【详解】
设为原命题条件,为原命题结论,则否命题:若非则非.
原命题“若，则”
故其否命题为: 若，则或
故选:D.
【点睛】
本题考查了否命题,解题关键是理解否命题的定义,属于基础题.
4．D
【解析】
【分析】
根据随机数表法，判断出所抽取的个体.
【详解】
随机数表第9行第9列为2，抽取的个体分别为29，56，07，52，42，44，38，15，51，13，02，第11个个体为02.
故选：D
【点睛】
本小题主要考查随机数表法进行抽样，属于基础题.
5．B
【解析】
【分析】
根据频率分布直方图，求解成绩在分的频率为：，再求解成绩在分的人数，即可.
【详解】
由题意可知，成绩在分的人数为：人.
故选：B
【点睛】
本题考查频率分布直方图，属于容易题.
6．B
【解析】
【分析】
先计算出甲乙两个学生的平均得分，再分析得解.
【详解】
由题得，
，
所以.
从茎叶图可以看出甲的成绩较稳定，
所以要派甲参加.
故选：B
【点睛】
本题主要考查平均数的计算和茎叶图，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
7．B
【解析】
【分析】
由样本容量为25，总体600，分25组，可知组距为24，第一组抽取编号006，其他组抽取的编号为，取适当的可得在编号为049与120之间抽得的编号.
【详解】
样本间隔为600÷25＝24，若在第一组随机抽得的编号为006，则抽得其他组编号为6+24（n–1）＝24n–18，则当n＝2时，号码为30，当n＝3时，号码为54，当n＝4时，号码为78，当n＝5时，号码为102，当n＝6时，号码为126，故在编号为049与120之间抽得的编号为054，078，102，故选B．
【点睛】
本题主要考查了系统抽样的概念，及利用系统抽样抽样的具体步骤，属于中档题.
8．D
【解析】
【分析】
先计算出样本中心点（5，），再把样本中心点的坐标代入回归方程即得n的值.
【详解】
由题得样本中心点（5，），所以.
故答案为D
【点睛】
(1)本题主要考查回归方程的性质和平均数的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)回归方程经过样本中心点.
9.A
【解析】
【分析】
由抛物线的定义可知,|MF|＝x0,与已知条件结合,得x0＝2p①；把点M的坐标代入抛物线方程可得42＝2p•x0②,结合①②即可解出p的值.
【详解】
解：由抛物线的定义可知,|MF|＝x0,
∵|MF|x0,
∴x0x0,即x0＝2p①,
∵点M（x0,4）在抛物线y2＝2px上,
∴42＝2p•x0②,
由①②解得,p＝2或﹣2（舍负）,
故选：A.
【点睛】
本题考查抛物线的定义,考查学生的分析能力和运算能力,属于基础题.
10.C
【解析】
【分析】
连接，则得∥，从而得为异面直线与所成的角，然后在三角形中可得答案
【详解】
解：连接，
因为,∥，
所以四边形为平行四边形，
所以∥，所以为异面直线与所成的角，
在正方体中，，
所以三角形为等边三角形，所以，
所以异面直线与所成的角的大小为，
故选：C
B
【解析】
【分析】
设直线的方程为，求得点的坐标，由，可得出，利用平面向量的坐标运算求出点的坐标，将点的坐标代入双曲线的标准方程，可得出、齐次等式，由此可解得该双曲线的离心率.
【详解】
如下图所示：

设直线的方程为，则直线的方程为，
联立，解得，即点，
设点，由可得出，
即，即，解得，则点，
将点的坐标代入双曲线的标准方程得，解得.
因此，该双曲线的离心率为.
故选：B.
【点睛】
本题考查双曲线离心率的求解，利用平面向量的坐标运算求出点的坐标是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.
12.D
【解析】
设，则，由椭圆定义，
，又∵成等比数列，
∴，∴，
∴，整理得，即，故选D．
【点睛】本题主要考查椭圆的定义及性质，以及等比数列的性质，考查了学生综合分析能力，属于中档题，首先此题需要依据题中三个线段成等比数列的条件得到之间的关系，再根据椭圆的基本性质，即可得到关于的方程，从而得到椭圆的离心率.
13.7或
【解析】
【分析】
先确定，再根据焦点位置分类讨论，结合双曲线方程列等量关系，解得结果.
【详解】
依题意可知，
当双曲线的焦点在x轴上时，，所以；
当双曲线的焦点在y轴上时，，所以
综上，或.
故答案为：7或
【点睛】
本题考查双曲线方程与几何性质，考查基本分析求解能力，属基础题.
14．10
【解析】
【分析】
设数据的平均数为,可得新数据的平均数，利用将原数据方差表示出来，再将新数据得方程表示出来，即可求解.
【详解】
设数据的平均数为,则的平均数为，
由方差公式得：
所以数据的方差为：

所以数据的标准差为10
故答案为：10
【点睛】
本题主要考查了标准差的计算公式，属于基础题
15．8
【解析】
【分析】
根据题意，利用两圆的位置关系求出线段AB长度的最大值.
【详解】
圆C1：x2＋y2＝1的圆心为C1（0，0），半径r1＝1，
圆C2：（x－3）2＋（y＋4）2＝4的圆心为C2（3，－4），半径r2＝2，
∴|C1C2|＝5.又A为圆C1上的动点，B为圆C2上的动点，
∴线段AB长度的最大值是|C1C2|＋r1＋r2＝5＋1＋2＝8.
故答案为：8.
【点睛】
本题主要考查的是圆与圆的位置关系，利用几何性质解题是关键，是基础题.
16．
【解析】
【分析】
利用已知条件．推出、、的关系，然后求解椭圆的离心率即可．
【详解】
解：椭圆的左右焦点为，，过作轴的垂线与交于，两点，若是等边三角形，
如图：可得，，可得，
即，
可得，
解得．
故答案为：．

【点睛】
本题考查椭圆的简单性质的应用，离心率的求法，考查计算能力，属于中档题．
17.（1），；（2）.
【解析】
【分析】
（1）时，求出集合与集合，利用集合运算性质即可得出．
（2）时，，，．根据“”是“”的必要不充分条件，可得，即可得出．
【详解】
解：（1）当时，，集合，
所以.
（2）因为，所以，，
因为“”是“”的必要不充分条件，所以，
所以解得：.
【点睛】
本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法、集合运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
18.（1），；（2）45；
【解析】
【分析】
（1）根据题意得，再根据表格中的数据，即可得答案；
（2）根据抽样比，即可得答案；
【详解】
（1）∵在全体样本中随机抽取1个，抽到B组疫苗有效的概率是0.33．
∵，∴，
．
（2）应在C组抽取的个数为．
19.（1）；（2）估计该平台从12月份起，月利润会超过60万元．
【解析】
【分析】
（1）根据题中数据，先求出，，再由最小二乘法求出，，进而可得出线性回归方程；
（2）根据（1）的结果，得到，由题意，得出不等式求解，即可得出结果.
【详解】
（1）由题中数据可得，
，
∴，
，
∴y关于x的线性回归方程为．
（2）由（1）可得，
令，解得，
故估计该平台从12月份起，月利润会超过60万元．
【点睛】
本题主要考查最小二乘法求线性回归直线方程，以及根据回归方程进行预测，属于常考题型.
20.（1）；（2）或
【解析】
【分析】
（1）运用双曲线的离心率公式和a，b，c的关系，解方程组即可得到，，进而得到双曲线的方程；
（2）将直线l的方程代入双曲线方程并整理，根据l与双曲线交于不同的两点A、B，进而可求得m的范围，设，，运用韦达定理和弦长公式，以及求出O点到直线AB的距离公式，最后由三角形的面积求得m，进而可得直线方程.
【详解】
解：（1）由题可得 ，
解得，，，
故双曲线的标准方程为；
（2）由得，
由得 ，
设， ，
则 ，

O点到直线l的距离 ，
，

或
或
故所求直线方程为：或
【点睛】
本题考查了双曲线的方程的求法，注意运用离心率公式和a，b，c的关系，考查三角形的面积的求法，注意运用联立直线方程和双曲线的方程，运用韦达定理和弦长公式，考查运算能力，属于中档题.
21.21．（1）；（2）存在.
【解析】
【分析】
（1）由点，运用直线的斜率公式，结合，化简可得轨迹C的方程；
（2）假设在x轴上存在点，使得为定值，当直线l的斜率存在时，设出直线l的方程，与椭圆方程联立，令，，表示出，代入韦达定理计算可得定值，并检验斜率不存在时也成立．
【详解】
（1）由题意知：，，
由，即，
整理得点的轨迹C的方程为：.
（2）假设在x轴上存在点，使得为定值.
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，
联立方程消去y得，
令，，则，，
由，，
所以

，
将看成常数，要使得上式为定值，需满足，即，
此时；
当直线l的斜率不存在时，可得，，，
所以，，，
综上所述，存在，使得为定值.
【点睛】
本题考查直线与椭圆的位置关系，考查定值问题的应用，考查数量积的坐标表示，属于中档题．
22.（1）;（2）与所在的直线互相垂直．
【解析】
试题分析：（1）运用椭圆的定义和，，的关系，解方程可得圆的方程与椭圆的离心率；（2）设，，联立椭圆的方程与圆的方程，可得、与之间的关系，再由：，：可得、的坐标，利用整体代换思想说明，进而得到与所在的直线互相垂直.
试题解析：（1）由椭圆定义可得，又且，解得，，
则圆的方程为，椭圆的离心率．
（2）如图所示，设（），，则
即
又由：，得．
由：，得．
所以 ，，
所以，
所以，即与所在的直线互相垂直．

点睛：本题考查椭圆方程和圆方程的求法，注意运用椭圆的定义和基本量的关系，考查定值问题的解法，注意运用向量的数量积的性质，向量垂直的条件：数量积为0，考查直线方程和椭圆方程联立，求交点，考查化简整理的运算能力，属于中档题.