山东省博兴县第三中学2019-2020学年高二数学下学期5月月考试题.doc

山东省博兴县第三中学2019-2020学年高二数学下学期5月月考试题

山东省博兴县第三中学2019-2020学年高二数学下学期5月月考试题

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- 21 -

山东省博兴县第三中学2019-2020学年高二数学下学期5月月考试题（含解析）
一、单项选择题
1. 设集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据，之中的元素所代表的含义即可求解．
【详解】解：集合表示曲线上的点组成的集合．
集合表示曲线上的点组成的集合．
解得：，所以．
故选：．
【点睛】本题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键，属于基础题．
2. 命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用全称命题的否定是特称命题，即可直接得解.
【详解】因为全称命题的否定是特称命题，
所以命题“，”的否定为“，”.
故选：D.
【点睛】本题考查了全称命题的否定，属于基础题.
3. 已知函数，则（ ）
A. -5 B. 0 C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】
带入数据计算，再计算，计算得到答案.
【详解】，，
.
故选：B.
【点睛】本题考查了分段函数求值，意在考查学生的计算能力和应用能力，属于基础题型.
4. 自2019年12月以来，在湖北省武汉市发现多起病毒性肺炎病例，研究表明，该新型冠状病毒具有很强的传染性各级政府反应迅速，采取了有效的防控阻击措施，把疫情控制在最低范围之内.某社区按上级要求做好在鄂返乡人员体格检查登记，有3个不同的住户属在鄂返乡住户，负责该小区体格检查的社区诊所共有4名医生，现要求这4名医生都要分配出去，且每个住户家里都要有医生去检查登记，则不同的分配方案共有（ ）
A. 12种 B. 24种 C. 36种 D. 72种
【答案】C
【解析】
【分析】
先将4名医生分成3组，其中1组有2人，共有种选法，然后将这3组医生分配到3个不同的住户中去，有种方法，由分步原理可知共有种.
【详解】不同分配方法总数为种.
故选：C
【点睛】此题考查的是排列组合知识，解此类题时一般先组合再排列，属于基础题.
5. 在△ABC中,能使sin A>成立的充分不必要条件是 (　　)
A. A∈ B. A∈
C. A∈ D. A∈
【答案】C
【解析】
【分析】
利用正弦函数的单调性和充分必要条件的概念进行判断.
【详解】在△ABC中，A∈（0，π），∵sinA＞ ，∴ A∈，而当A∈时，sinA>,即A∈是sin A>的充要条件.
使sin A>成立的充分不必要条件是选项C.
【点睛】若p，则p是q的充分条件，若，则p是q的必要条件.,根据“谁小谁充分，谁大谁必要”的原则可判断.
6. 把16个相同的小球放到三个编号为1，2，3的盒子中，且每个盒子内的小球数要多于盒子的编号数，则共有多少种放法（ ）
A. 18 B. 28 C. 36 D. 42
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，先在 1 号盒子里放 1 个球，在 2 号盒子里放 2 个球，在 3 号盒子里放 3个球，则原问题可以转化为将剩下的10 个小球，放入 3 个盒子，每个盒子至少放 1 个的问题，由挡板法分析可得答案．
【详解】根据题意，个相同的小球放到三个编号为的盒子中，且每个盒子内的小球数要多于盒子的编号数，
先在号盒子里放个球，在号盒子里放个球，在号盒子里放个球，
则原问题可以转化为将剩下的个小球，放入个盒子，每个盒子至少放个的问题，
将剩下的个球排成一排，有个空位，在个空位中任选个，插入挡板，有种不同的放法，
即有个不同的符合题意的放法；
故选：C．
【点睛】本题考查排列、组合的应用，关键是将原问题转化为将个球放入个盒子，每个盒子至少放个的问题，属于基础题．
7. 己知定义域为R的函数是偶函数，且对任意，，，设，，，则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据函数奇偶性和单调性之间的关系,再比较大小,即可得到结论.
【详解】解：由题意:
对任意,,
在上为减函数；
函数是偶函数
关于y轴对称；

,
故选:C.
【点睛】本题考查利用函数的基本性质比较大小,利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用,属于基础题.
8. 若一位三位数的自然数各位数字中，有且仅有两个数字一样，我们就把这样的三位数定义为“单重数”.例如：232，114等，则不超过200的“单重数”中，从小到大排列第22个“单重数”是（ ）
A. 166 B. 171 C. 181 D. 188
【答案】B
【解析】
【分析】
根据所给条件进行分析，分别求出所有“单重数”，再找到对应排序的“单重数”，即可得解.
【详解】由题意可得：不超过200的数，
两个数字一样同为0时，有100，200有2个，
两个数字一样同为1时，有110，101，112，121，113，131，一直到191，119，共18个，
两个数字一样同为2时，有122，有1个
同理，两个数字一样同为3，4，5，6，7，8，9时各1个，
综上，不超过200的“单重数”共有，
其中最大的是200，较小的依次为199，191，188，181，177，171，
故第22个“单重数”为171，
故选：B.
【点睛】本题考查数字规律，考查了对新概念的理解，同时考查了逻辑推理能力，属于基础题.
二、多项选择题
9. 下列结论正确的是（ ）
A. 当时，的最小值为2 B. 若，则；
C. 若，则 D. 若，，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】
对各选项逐一分析，对A，由，结合基本不等式可判断正误；对B，可令判断正误；对C，可由对数函数的单调性判断正误；对D，可由化简，再利用基本不等式判断正误.
【详解】对A，由，则，当且仅当时，有最小值2，
故A正确；
对B，令，则，而，故B错误；
对C，由，在递增，则有，故C正确；
对D，由，，
即，当且仅当，等号成立，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】本题考查了不等式性质，基本不等式的应用，属于中档题.
10. 下列命题中不正确的是（ ）
A. 随机变量，若，则
B. 已知随机变量服从正态分布，，则
C. 若不等式()恒成立，则的取值范围是
D. 以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则，的值分别是和0.3.
【答案】BC
【解析】
【分析】
根据正态分布、恒成立问题以及线性回归方程，逐个分析判断即可.
【详解】对A，，若，，故A正确；
对B，由已知随机变量服从正态分布，
，则，故B错误；
对C，由()恒成立，可得：
，可得，故C错误；
对D，由题意还原可得：，故，的值分别是和0.3正确.
故选：BC.
【点睛】本题考查了命题的判断正误，考查了正态分布、恒成立以及线性回归方程等相关问题，基本都是概念的考查，属于基础题.
11. 已知的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则下列说法正确的是（ ）
A. 展开式中奇数项的二项式系数和为256 B. 展开式中第6项的系数最大
C. 展开式中存在常数项 D. 展开式中含项的系数为210
【答案】BCD
【解析】
【分析】
由题意得，，再由组合数的性质，求出，再令结合展开式的各项系数之和为1024求出，利用二项式的展开式的性质即可判断四个选项．
【详解】解：因为的展开式中第5项与第七项的二项式系数相等；
；
展开式的各项系数之和为1024，
；
；
．
原二项式为：；其展开式通项公式为：；
展开式中奇数项的二项式系数和为：；故错；
因为本题中二项式系数和项的系数一样，且展开式有11项，故展开式中第6项的系数最大，对；
令，即展开式中存在常数项，对；
令，，对；
故选：．
【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于中档题．
12. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，.已知函数，则关于函数的叙述中正确的是（ ）
A. 是偶函数
B. 是奇函数
C. 的值域是
D. 在上是增函数
【答案】BC
【解析】
【分析】
利用，可判断A错误，而，故B正确，求出的值域后利用高斯函数可求，从而可判断C正确，D错误.
【详解】根据题意知，.
∵，，
∴，，∴函数既不是奇函数也不是偶函数，A错误；
∵，∴是奇函数，B正确；
∵，∴，∴，∴的值域，C正确，
由复合函数的单调性知在上是增函数，则在上是增函数错误，D错误.
故选：BC.
【点睛】本题考查函数的奇偶性、值域，前者注意利用定义来判断，后者可根据函数的形式决定合适的求值域的方法，本题属于中档题.
三、填空题
13. 函数的定义域为________．
【答案】[2，+∞）
【解析】
分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域.
详解：要使函数有意义，则，解得，即函数的定义域为.
点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题.
14. 某班上午有五节课，分別安排语文，数学，英语，物理，化学各一节课.要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，则不同排课法的种数是___________
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，分3步进行分析：①用捆绑法分析语文与化学，即将语文与化学看成一个整体，考虑其顺序，②将这个整体与英语全排列，分析排好后的空位数目，③在3个空位中安排数学、物理，分析每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．
【详解】根据题意，分3步进行分析：
①要求语文与化学相邻，将语文与化学看成一个整体，考虑其顺序，有种情况，
②将这个整体与英语全排列，有种顺序，排好后，有个空位，
③数学与物理不相邻，有个空位可选，有种情况，
则不同排课法的种数是种；
故答案为：.
点睛】本题考查元素位置有限制的排列问题，注意特殊问题如相邻问题与不能相邻问题的处理方法，属于常考题型.
15. 已知在上是减函数，则的取值范围是____________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据函数单调性的定义和性质即可得到结论．
【详解】解：因为在上是减函数，
所以解得，即
故答案为：
【点睛】本题主要考查函数单调性的应用，根据分段函数单调性的性质是解决本题的关键，属于基础题．
16. 数学家狄里克雷对数论，数学分析和数学物理有突出贡献，是解析数论的创始人之一.函数，称为狄里克雷函数.则关于有以下结论:
①的值域为;
②;
③;
④
其中正确的结论是_______(写出所有正确的结论的序号)
【答案】②
【解析】
【分析】
根据新定义，结合实数的性质即可判断①②③，由定义求得比小的有理数个数，即可确定④.
【详解】对于①，由定义可知，当为有理数时；当为无理数时，则值域为，所以①错误；
对于②，因为有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，所以满足，所以②正确；
对于③，因为，当为无理数时，可以是有理数，也可以是无理数，所以③错误；
对于④，由定义可知
，所以④错误；
综上可知，正确的为②.
故答案为：②.
【点睛】本题考查了新定义函数的综合应用，正确理解题意是解决此类问题的关键，属于中档题.
四、解答题
17. 设命题P：实数x满足；命题q：实数x满足.
（1）若，且p，q都为真，求实数x的取值范围；
（2）若，且q是p的充分不必要条件，求实数m的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据一元二次不等式和绝对值不等式的解法，分别求得命题，再结合命题都为真时，即可求解实数的取值范围；
（2）根据一元二次不等式和绝对值不等式的解法，分别求得命题，由是的充分不必要条件，转化为集合的包含关系，即可求解.
【详解】（1）由不等式，可得，
当时，解得，即p为真时，，
由，可得，解得，即q为真时，，
若都为真时，实数x的取值范围是.
（2）由不等式，可得，
因为，所以，即p为真时，不等式的解集为，
又由不等式，可得，即q为真时，不等式的解集为，
设，
因为是的充分不必要条件，可得集合是的真子集，则，解得，
所以实数m的取值范围是.
【点睛】本题主要考查了根据复数命题的真假，以及必要不充分条件求解参数的取值范围，以及一元二次不等式和绝对值不等式的求解，其中解答中熟记不等式的解法，求得命题是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
18. 2020年寒假是特殊的寒假，因为疫情全体学生只能在家进行网上在线学习，为了研究学生在网上学习的情况，某学校在网上随机抽取120名学生对线上教育进行调查，其中男生与女生的人数之比为11∶13，其中男生30人对于线上教育满意，女生中有25人表示对线上教育不满意.
（1）完成列联表，并回答能否有90%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”；

（2）从被调查中对线上教育满意的学生中，利用分层抽样抽取7名学生，再在7名学生中抽取3名学生，作线上学习的经验介绍，其中抽取女生的个数为，求的分布列及期望值.参考公式：附：

【答案】（1）填表见解析；没有；（2）分布列见解析；期望为.
【解析】
【分析】
（1）完善列联表，计算，得到答案.
（2）根据比例关系得到男生抽人，女生抽4人，的可能取值为，服从超几何分布，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案.
【详解】（1）男生人数为：，所以女生人数为，
于是可完成列联表，如下：

满意
不满意
总计
男生
30
25
55
女生
40
25
65
合计
70
50
120
根据列联表中的数据，得到的观测值：
，
所以没有90%的把握认为“线上教育是否满意与性别有关”.
（2）根据分层抽样比例关系可知男生抽人，女生抽4人，
依题可知的可能取值为，并且服从超几何分布，
，
即，
，
可得分布列为

0
1
2
3

可得.
【点睛】本题考查了独立性检验，列联表，分布列和数学期望，意在考查学生的计算能力，理解能力和综合应用能力，是常考题型.
19. 十九大以来，国家深入推进精准脱贫，加大资金投入，强化社会帮扶，为了更好服务于人民，派调查组到某农村去考察和指导工作.该地区有100户农民，且都从事水果种植，据了解，平均每户的年收入为3万元.为了调整产业结构，调查组和当地政府决定动员部分农民从事水果加工，据估计，若能动员户农民从事水果加工，则剩下的继续从事水果种植的农民平均每户的年收入有望提高，而从事水果加工的农民平均每户收入将为万元.
（1）若动员户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，求的取值范围；
（2）在（1）的条件下，要使这100户农民中从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入，求的最大值.
【答案】（1）；（2）9.
【解析】
【分析】
（1）由题意可得：，化简解得范围．
（2），化为：在上恒成立．利用基本不等式的性质即可得出．
【详解】解：（1）由题意
得，
由可得.
答：的取值范围为.
（2）由题意得，
所以在上恒成立，
又，（当且仅当时取“=”），
所以.
答：的最大值为9.
【点睛】本题考查了函数模型、分离参数法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20. 某公司年会举行抽奖活动，每位员工均有一次抽奖机会.活动规则如下：一只盒子里装有大小相同的6个小球，其中3个白球，2个红球，1个黑球，抽奖时从中一次摸出3个小球，若所得的小球同色，则获得一等奖，奖金为300元；若所得的小球颜色互不相同，则获得二等奖，奖金为200元；若所得的小球恰有2个同色，则获得三等奖，奖金为100元.
（1）求小张在这次活动中获得的奖金数的概率分布及数学期望；
（2）若每个人获奖与否互不影响，求该公司某部门3个人中至少有2个人获二等奖的概率.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
分析：（1）的所有可能取值为100，200，300，分别求出对应的概率即可；
（2）设3个人中获二等奖的人数为，则，分别求出即可.
详解：（1）小张在这次活动中获得的奖金数的所有可能取值为100，200，300.
，
，
，
（或 ）
所以奖金数的概率分布为

100
200
300

奖金数的数学期望 （元）.
（2）设3个人中获二等奖的人数为，则，
所以 ，
设该公司某部门3个人中至少有2个人获二等奖为事件，
则 .
答：该公司某部门3个人中至少有2个人获二等奖的概率为.
点睛：利用独立重复试验概率公式可以简化求概率的过程，但需要注意检查该概率模型是否满足公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k的三个条件：①在一次试验中某事件A发生的概率是一个常数p；②n次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验，而且各次试验的结果是相互独立的；③该公式表示n次试验中事件A恰好发生了k次的概率．
21. .函数是R上的奇函数，m、n是常数.
（1）求m，n的值；
（2）判断的单调性并证明；
（3）不等式对任意恒成立，求实数k的取值范围.
【答案】（1）；（2）在上递增；证明见解析；（3）.
【解析】
【分析】
（1）由是上的奇函数，可得，即可求解；
（2）在上递增，用定义法可证；
（3）由题意得：对任意恒成立又是R上的增函数，所以即对任意恒成立，令，即，对恒成立，构造函数，求的最小即可得解.
【详解】（1）∵是上的奇函数，
∴∴
∴.
（2）在上递增
证明：设，且，则

∵∴又，，∴，即，∴是上的增函数.
（3）由题意得：对任意恒成立又是R上的增函数，
∴即对任意恒成立，
令，即，对恒成立，令，对称轴为，当即时，在为增函数，
∴成立，∴符合，
当即时，在为减，为增，
∴
解得，
∴.
综上.
【点睛】本题考查了函数的奇偶性和单调性，考查了利用单调性解不等式，同时考查了恒成立问题和转化思想以及分类讨论思想，有一定的计算量，属于中档题.
22. 随着改革开放的不断深入，祖国不断富强，人民的生活水平逐步提高，为了进一步改善民生，2019年1月1日起我国实施了个人所得税的新政策，其政策的主要内容包括：（1）个税起征点为5000元；（2）每月应纳税所得额（含税）收入个税起征点专项附加扣除；（3）专项附加扣除包括①赡养老人费用②子女教育费用③继续教育费用④大病医疗费用等.其中前两项的扣除标准为：①赡养老人费用：每月扣除2000元②子女教育费用：每个子女每月扣除1000元.新个税政策的税率表部分内容如下：
级数
一级
二级
三级
四级

每月应纳税所得额（含税）
不超过3000元的部分
超过3000元至12000元的部分
超过12000元至25000元的部分
超过25000元至35000元的部分

税率
3
10
20
25

（1）现有李某月收入29900元，膝下有一名子女，需要赡养老人，除此之外，无其它专项附加扣除.请问李某月应缴纳的个税金额为多少？
（2）为研究月薪为20000元的群体的纳税情况，现收集了某城市500名的公司白领的相关资料，通过整理资料可知，有一个孩子的有400人，没有孩子的有100人，有一个孩子的人中有300人需要赡养老人，没有孩子的人中有75人需要赡养老人，并且他们均不符合其它专项附加扣除（受统计的500人中，任何两人均不在一个家庭）.若他们的月收入均为20000元，依据样本估计总体的思想，试估计在新个税政策下这类人群缴纳个税金额的分布列与期望.
【答案】（1）2970元；（2）分布列见解析；期望为元.
【解析】
【分析】
（1）根据题中条件，逐级计算，即可求出结果；
（2）根据题中条件，先分别求出这类人群对应的缴纳个税金额，得出的可能取值为，，，，求出对应的概率，即可得出分布列，从而可得出期望.
【详解】（1）李某月应纳税所得额（含税）为：元，
不超过3000的部分税额为元；
超过3000元至12000元的部分税额为元，
超过12000元至25000元的部分税额为元，
所以李某月应缴纳的个税金额为元；
（2）有一个孩子需要赡养老人应纳税所得额（含税）为：20000−5000−1000−2000＝12000元，
月应缴纳的个税金额为：90＋900＝990元；
有一个孩子不需要赡养老人应纳税所得额（含税）为：20000−5000−1000＝14000元，
月应缴纳的个税金额为：90＋900＋400＝1390元；
没有孩子需要赡养老人应纳税所得额（含税）为：20000−5000−2000＝13000元，
月应缴纳的个税金额为：90＋900＋200＝1190元；
没有孩子不需要赡养老人应纳税所得额（含税）为：20000−5000＝15000元，
月应缴纳的个税金额为：90＋900＋600＝1590元；
即的可能取值为，，，，
因此，，，，
所以随机变量的分布列为：

990
1190
1390
1590

因此期望为.
【点睛】本题主要考查求离散型随机变量的分布列和期望，属于常考题型.