吉林省汪清四中2020-2021学年高二数学下学期第一阶段考试试题-理.doc

吉林省汪清四中2020-2021学年高二数学下学期第一阶段考试试题 理

吉林省汪清四中2020-2021学年高二数学下学期第一阶段考试试题 理

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吉林省汪清四中2020-2021学年高二数学下学期第一阶段考试试题 理
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）
1．若向量，向量，则（ ）
A． B． C． D．
2．函数的导数是（ ）
A． B． C． D．
3．如果三点，，在同一条直线上，则( )
A．， B．， C．， D．，
4.已知函数的图像如图所示，则与的大小关系是(    )

A. B. C. D.不能确定
5．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则能使的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
6．曲线在点处的切线斜率为8，则实数的值为（ ）
A． B．6 C．12 D．
7．若向量，，且与的夹角余弦为，则等于（ ）
A． B． C．或 D．或
8．在正方体中，若为的中点，则直线垂直于( )

9.在正方体中，和平面所成的角的度数是( )

10．在直三棱柱中，，，，，则异面直线与所成角的余弦值为 ( )
A． B． C． D．
11．已知函数，则（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
12．在棱长为1的正方体中，已知点P是正方形内部（不含边界）的一个动点，若直线与平面所成角的正弦值和异面直线与所成角的余弦值相等，则线段长度的最小值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13． 已知向量，，且，则________________．
14．如图所示，在正方体中，点是侧面的中心，若，求______．

15．如图所示，在直四棱柱中，底面为平行四边形，，，点在上，且，则点到平面的距离为________________.
16. 定义：设函数在上的导函数为，若在上也存在导函数，则称函数在上存在二阶导函数，简记为.若在区间上，则称函数在区间上为“凸函数”.已知在区间上为“凸函数”，则实数的取值范围为______.
三、解答题（本题共6小题，第17题10分，第18题至第22题每题12分，共70分）
17.（本题10分）已知.
(1)当时,求实数的值；
(2)当时,求实数的值.
18.（本题12分）如图，60°的二面角的棱上有A,B两点，直线AC,BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB。已知AB=4,AC=6,BD=8,求CD的长。

19.（本题12分）求下列函数的导数：
（1）；
（2）；
（3）.
20.（本题12分）如图,在三棱柱中,平面,,,,是棱上一点.

(1)若分别是,的中点,求证：平面；
(2)若,求二面角的大小.
21．（本题12分）在曲线上求一点，使得曲线在点处的切线分别满足下列条件：
（1）平行于直线；
（2）垂直于直线；
22.（本题12分）在边长为2正方体中：

（1）求证平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）线段AB上是否存在一点M（不与端点重合，使得二面角所成平面角的余弦值为，若存在，求的值，若不存在，请说明理由．

汪清四中 2020—2021学年度第二学期
高二年级数学（理科）第一次阶段考试试题

一、 选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）

二、 填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

三、解答题（本题共6小题，第17题10分，第18题至第22题每题12分，共70分）
17．答案：(1),
,
.
,
,解得.
(2),
,
即,解得.

18.
答案：

19.答案：（1）
（3）
（2）

20.答案：(1)连结交于.
因为三棱柱,所以是A1B的中点.
因为分别是的中点,
所以,且,
所以四边形是平行四边形,
所以.
因为平面, 平面,
所以平面
(2)因为,, 所以由勾股定理的逆定理知.
又因为平面,
以为原点,分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系.

因为,所以,,,
. 设平面的法向量,则
,.
即
令,则,即.
又平面MB1C的一个法向量是,
所以.
由图可知二面角为锐角,
所以二面角的大小为.
21．【答案】（1）；（2）
【解析】设点P的坐标为，则
，
∴当趋于0时，．
（1）∵切线与直线平行，∴，即，
∴，，即．
（2）∵切线与直线垂直，
∴，即，
∴，，即．
22．【答案】（1）见解析（2）（3）见解析
【分析】
（1）以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量为，再由证明平面；
（2）利用数量积公式求出直线与平面所成角的正弦值；
（3）设，从而得出，分别求出平面、平面的法向量，再由数量积公式求出的值.
【详解】
（1）以点为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系
，

设平面的法向量为
，则
又，
则平面
（2）

则直线与平面所成角的正弦值为
（3）设，，则
即，
，
设平面的法向量为
，则
同理可得出平面的法向量

即，解得（舍），
即存在使得二面角所成平面角的余弦值为