高二数学推理与证明知识点与习题.doc
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选修2-2:推理与证明 一、推理 1.推理 :前提、结论 2.合情推理: 合情推理可分为归纳推理和类比推理两类: (1)归纳推理:由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理。简言之,归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理 (2)类比推理:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象具有的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理,简言之,类比推理是由特殊到特殊的推理。 3.演绎推理: 从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论的推理叫演绎推理,简言之,演绎推理是由一般到特殊的推理。 重难点:利用合情推理的原理提出猜想,利用演绎推理的形式进行证明 题型1 用归纳推理发现规律 1、观察:;; ;….对于任意正实数,试写出使成立的一个条件可以是 ____. 【点拨】:前面所列式子的共同特征特征是被开方数之和为22,故 2、蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师,单个蜂 巢可以近似地看作是一个正六边形,如图为一组蜂 巢的截面图. 其中第一个图有1个蜂巢,第二个图 有7个蜂巢,第三个图有19个蜂巢,按此规律,以 表示第幅图的蜂巢总数.则=_____;=___________. 【解题思路】找出的关系式 [解析] 【点评】处理“递推型”问题的方法之一是寻找相邻两组数据的关系 题型2 用类比推理猜想新的命题 [例 ]已知正三角形内切圆的半径是高的,把这个结论推广到空间正四面体,类似的结论是______. 【解题思路】从方法的类比入手 [解析]原问题的解法为等面积法,即,类比问题的解法应为等体积法, 即正四面体的内切球的半径是高 【点评】(1)不仅要注意形式的类比,还要注意方法的类比 (2)类比推理常见的情形有:平面向空间类比;低维向高维类比;等差数列与等比数列类比;实数集的性质向复数集的性质类比;圆锥曲线间的类比等 二、直接证明与间接证明 三种证明方法: 综合法、分析法、反证法 反证法:它是一种间接的证明方法.用这种方法证明一个命题的一般步骤: (1) 假设命题的结论不成立; (2) 根据假设进行推理,直到推理中导出矛盾为止 (3) 断言假设不成立 (4) 肯定原命题的结论成立 重难点:在函数、三角变换、不等式、立体几何、解析几何等不同的数学问题中,选择好证明方法并运用三种证明方法分析问题或证明数学命题 考点1 综合法 在锐角三角形中,求证: [解析]为锐角三角形,, 在上是增函数, 同理可得, 考点2 分析法 已知,求证 [解析]要证,只需证 即,只需证,即证 显然成立,因此成立 【点评】注意分析法的“格式”是“要证---只需证---”,而不是“因为---所以---” 考点3 反证法 已知,证明方程没有负数根 【解题思路】“正难则反”,选择反证法,因涉及方程的根,可从范围方面寻找矛盾 [解析]假设是的负数根,则且且 ,解得,这与矛盾, 故方程没有负数根 【点评】否定性命题从正面突破往往比较困难,故用反证法比较多 三、数学归纳法 一般地,当要证明一个命题对于不小于某正整数N的所有正整数n都成立时,可以用以下两个步骤: (1)证明当n=n0时命题成立; (2)假设当n=k时命题成立,证明n=k+1时命题也成立. 在完成了这两个步骤后,就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立.这种证明方法称为数学归纳法. 考点1 数学归纳法 题型:对数学归纳法的两个步骤的认识 [例1 ] 已知n是正偶数,用数学归纳法证明时,若已假设n=k(且为偶数)时命题为真,,则还需证明( ) A.n=k+1时命题成立 B. n=k+2时命题成立 C. n=2k+2时命题成立 D. n=2(k+2)时命题成立 [解析] 因n是正偶数,故只需证等式对所有偶数都成立,因k的下一个偶数是k+2,故选B 【名师指引】用数学归纳法证明时,要注意观察几个方面:(1)n的范围以及递推的起点(2)观察首末两项的次数(或其它),确定n=k时命题的形式(3)从和的差异,寻找由k到k+1递推中,左边要加(乘)上的式子 考点2 数学归纳法的应用 题型1:用数学归纳法证明数学命题 用数学归纳法证明不等式 [解析](1)当n=1时,左=,右=2,不等式成立 (2)假设当n=k时等式成立,即 则 当n=k+1时, 不等式也成立 综合(1)(2),等式对所有正整数都成立 【点评】(1)数学归纳法证明命题,格式严谨,必须严格按步骤进行; (2)归纳递推是证明的难点,应看准“目标”进行变形; (3)由k推导到k+1时,有时可以“套”用其它证明方法,如:比较法、分析法等,表现出数学归纳法“灵活”的一面 推理与证明习题 1、用反证法证明命题:“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时,反设正确的是( )。 (A)假设三内角都不大于60度; (B) 假设三内角都大于60度; (C) 假设三内角至多有一个大于60度; (D) 假设三内角至多有两个大于60度。 2、在十进制中,那么在5进制中数码2004折合成十进制为 ( ) A.29 B. 254 C. 602 D. 2004 3、利用数学归纳法证明“1+a+a2+…+an+1=, (a≠1,n∈N)”时,在验证n=1成立时,左边应该是 ( ) (A)1 (B)1+a (C)1+a+a2 (D)1+a+a2+a3 4、用数学归纳法证明“”()时,从 “”时,左边应增添的式子是 ( ) A. B. C. D. 5、已知n为正偶数,用数学归纳法证明 时,若已假设为偶 数)时命题为真,则还需要用归纳假设再证 ( ) A.时等式成立 B.时等式成立 C.时等式成立 D.时等式成立 6、否定结论“至多有两个解”的说法中,正确的是( ) A.有一个解 B.有两个解 C.至少有三个解 D.至少有两个解 7、否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时的正确反设为( ) A.a、b、c都是奇数 B.a、b、c或都是奇数或至少有两个偶数 C.a、b、c都是偶数 D.a、b、c中至少有两个偶数 8、已知:a+b+c>0,ab+bc+ca>0,abc>0. 求证:a>0,b>0,c>0. 9、 已知a,b,c∈(0,1).求证:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能同时大于. 10、(1)用数学归纳法证明:能被6整除; (2)求证 n(n∈N*)能被9整除 11、若a,b,c均为实数,且,,, 求证:a,b,c中至少有一个大于0。 12、 用数学归纳法证明: ; 13、用数学归纳法证明下述不等式:- 配套讲稿:
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