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2020-2021学年高中数学 第五章 三角函数 5.7 三角函数的应用教案 新人教A版必修第一册

2020-2021学年高中数学 第五章 三角函数 5.7 三角函数的应用教案 新人教A版必修第一册

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5.7 三角函数的应用

本节课是在学习了三角函数图象和性质的前提下来学习三角函数模型的简单应用，进一步突出函数来源于生活应用于生活的思想，让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想,从而培养学生的创新精神和实践能力.

课程目标
1.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，并会用三角函数模型解决一些简单的实际问题．
2．实际问题抽象为三角函数模型．
数学学科素养
1.逻辑抽象：实际问题抽象为三角函数模型问题；
2.数据分析：分析、整理、利用信息，从实际问题中抽取基本的数学关系来建立数学模型；
3.数学运算：实际问题求解；
4.数学建模：体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学建模思想，提高学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力.

重点：了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，并会用三角函数模型解决一些简单的实际问题；
难点：实际问题抽象为三角函数模型.

教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。

一、 情景导入
生活中普遍存在着周期性变化规律的现象，昼夜交替四季轮回，潮涨潮散、云卷云舒，情绪的起起落落，庭前的花开花谢，一切都逃不过数学的眼睛！这节课我们就来学习如何用数学的眼睛洞察我们身边存在的周期现象-----5.7三角函数模型的简单应用。
要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.
二、预习课本，引入新课
阅读课本242-245页，思考并完成以下问题
1.解三角函数应用题的基本步骤？
要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究
1．三角函数可以作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型．其基本模型可化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式．
2．解三角函数应用题的基本步骤：
(1)审清题意；
(2)搜集整理数据，建立数学模型；
(3)讨论变量关系，求解数学模型；
(4)检验，作出结论．
四、典例分析、举一反三
题型一 三角函数模型在物理学中的应用
例1 已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化规律为s＝4sin，t∈[0，＋∞)．
(1)用“五点法”作出这个函数的简图；
(2)小球在开始振动(t＝0)时的位移是多少？
(3)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？
(4)经过多长时间小球往复振动一次？
【答案】（1）略（2）2 cm.（3）小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm和－4 cm.（4）π s.
【解析】
(1)列表如下：
t
－

2t＋
0

π

2π
sin
0
1
0
－1
0
s
0
4
0
－4
0

描点、连线，图象如图所示．

(2)将t＝0代入s＝4sin，得s＝4sin ＝2，所以小球开始振动时的位移是2 cm.
(3)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm和－4 cm.
(4)因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是π s.
解题技巧：（处理物理学问题的策略）
处理物理学问题的策略
(1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性．
(2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题．
跟踪训练一
1．单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s(单位：cm)和时间t(单位：s)的函数关系式为s＝6sin.
(1)当单摆开始摆动(t＝0)时，离开平衡位置的距离是多少？
(2)当单摆摆动到最右边时，离开平衡位置的距离是多少？
(3)单摆来回摆动一次需多长时间？
【答案】　(1)3 cm；(2)6 cm；(3) 1 s.
【解析】　(1)由s＝6sin得
t＝0时，s＝6sin＝3(cm)，
所以单摆开始摆动时，离开平衡位置的距离是3 cm；
(2)由解析式知，振幅为6，
∴单摆摆动到最右边时，离开平衡位置的距离是6 cm；
(3)T＝＝＝1，即单摆来回摆动一次需1 s.

题型二 三角函数模型的实际应用
例2 如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数．
（1）求这一天6～14时的最大温差；
（2）写出这段曲线的函数解析式

【答案】（1）；
（2）∴。
【解析】（1）由图可知：这段时间的最大温差是；
（2）从图可以看出：从6～14是的 半个周期的图象，
∴∴∵，∴
又∵ ∴
∴
将点代入得：，
∴，
∴，取，
∴。
解题技巧：(解三角函数应用问题的基本步骤)
解三角函数应用问题的基本步骤

提醒：关注实际意义求准定义域．
跟踪训练二
1.　已知某海滨浴场的海浪高度y(m)是时间t(h)的函数，其中0≤t≤24，记y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：
t
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
1
0.5
0.99
1.5
经长期观测，y＝f(t)的图象可近似地看成是函数y＝Acos ωt＋b的图象．
(1)根据以上数据，求其最小正周期，振幅及函数解析式；
(2)根据规定，当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的8：00到20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行活动？
【答案】(1) T＝12，振幅为，函数解析式为y＝cost＋1(0≤t≤24)．
(2)在规定时间内只有6个小时冲浪爱好者可以进行活动，即9＜t＜15.
【解析】(1)由表中数据可知，T＝12，∴ω＝.又t＝0时，y＝1.5，∴A＋b＝1.5；t＝3时，y＝1.0，得b＝1.0，所以振幅为，函数解析式为y＝cost＋1(0≤t≤24)．
(2)∵y＞1时，才对冲浪爱好者开放，∴y＝cost＋1＞1，cost＞0，2kπ－＜t＜2kπ＋，即12k－3＜t＜12k＋3(k∈Z)．又0≤t≤24，所以0≤t＜3或9＜t＜15或21＜t≤24，所以在规定时间内只有6个小时冲浪爱好者可以进行活动，即9＜t＜15.
五、课堂小结
让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧
六、板书设计
5.7 三角函数的应用
1.解题步骤 例1 例2

七、作业
课本249页习题5.7.

以问题引导教学，让学生听有所思，思有所获，获有所感。问题串的设计，使学习内容在难度和强度上循序渐进而又螺旋上升，并通过互动逐一达成教学目标，突出重点，突破难点，较好的提高了课堂教学的有效性。