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上海市七宝中学2020届高三数学三模考试试题

上海市七宝中学2020届高三数学三模考试试题

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上海市七宝中学2020届高三数学三模考试试题（含解析）
一.填空题
1.已知集合，，则________
【答案】
【解析】
【分析】
利用集合的交运算即可求解.
【详解】由集合，，
则.
故答案为：
【点睛】本题考查了集合的基本运算，解题的关键是理解集合中的元素特征，属于基础题.
2.若直线方程的一个法向量为，则此直线的倾斜角为________
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意首先求出直线的一个方向向量，然后再求出直线的斜率，根据直线的斜率与倾斜角的关系即可求解.
【详解】设直线的一个方向向量为
由直线方程的一个法向量为，
所以，令，则
所以直线的一个方向向量为，
，设直线的倾斜角为，
由，
所以直线的倾斜角为：.
故答案：
【点睛】本题考查了直线的法向量、方向向量、直线的斜率与倾斜角的关系，属于基础题.
3.已知复数满足（为虚数单位），则__________．
【答案】
【解析】
【分析】
把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案.
【详解】解：由，得，
∴.
故答案为：.
【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题.
4.已知、、是任意实数，能够说明“若，则”是假命题的一个有序整数组可以是________
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】
根据题意，适当的进行赋值验算即可求解
【详解】根据题意，要说明其为假命题，可以令，，，此时满足，但不成立，故原命题为假命题.
故答案为：（答案不唯一）
【点睛】本题主要考查命题及其关系，属于基础题.
5.函数（，是虚数单位）的图象与直线有且仅有一个交点，则实数________
【答案】
【解析】
【分析】
先通过复数模的求法得到函数，再利用数形结合法求解.
【详解】函数，∴函数图象为双曲线的一支，
如图所示：

又因为函数图象与有且仅有一个交点，
则.
故答案为：2
【点睛】本题主要考查复数的模的几何意义以及函数图象的交点问题，还考查了数形结合的思想方法，属于基础题.
6.直角坐标系内有点，将四边形ABCD绕直线旋转一周，所得到的几何体的体积为____
【答案】
【解析】
【分析】
四边形是矩形，边在直线上，旋转一周后得一圆柱，是圆柱的高，是底面半径，由此可计算体积。
【详解】由题意四边形是矩形，边在直线上，旋转一周后所得几何体为圆柱，是圆柱的高，是底面半径，。
故答案为：。
【点睛】本题考查圆柱的体积，考查圆柱的定义。属于基础题。
7.在中，，，为的中点，则___________.
【答案】；
【解析】
【分析】
计算，然后将用表示，最后利用数量积公式可得结果.
【详解】由，，
所以
又为的中点，
所以
所以
故答案为：
【点睛】本题考查向量的数量积运算，给出已知的线段与相应的夹角，通常可以使用向量的方法，将几何问题代数化，便于计算，属基础题.
8.通过手机验证码登录哈喽单车App，验证码由四位数字随机组成，如某人收到的验证码满足，则称该验证码为递增型验证码，某人收到一个验证码，那么是首位为2的递增型验证码的概率为________
【答案】
【解析】
【分析】
利用概率定义进行求解即可.
【详解】∵，，∴、、从中3~9选，
只要选出3个数，让其按照从小到大的顺序排，分别对应即可，.
故答案为：
【点睛】本题考查概率的定义，属于简单题
9.已知函数（）的反函数为，当时，函数的最大值为，最小值为，则________
【答案】2
【解析】
【分析】
由，得到函数在定义域上单调递增，再由函数与反函数具有相同的单调性以及平移变换，得到在上单调递增，再由函数与反函数具有相同的奇偶性求解.
【详解】因为，
所以函数（）在定义域上单调递增，
因为函数与反函数有相同的单调性，
所以在上单调递增，在上单调递增，
因为为奇函数，则也为奇函数，
.
故答案为：2
【点睛】本题主要考查函数与反函数的性质，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.
10.欧拉公式，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的联系，被誉为“数学中的天桥”，已知数列的通项公式为（），则数列前2020项的乘积为________
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，，然后可得，
，
然后，利用等差数列求和公式求解即可
【详解】，

.
故答案为：
【点睛】本题考查指数的乘积运算以及等差数列的求和，属于简单题
11.用表示函数在闭区间上的最大值，若正数满足，则的最大值为________
【答案】
【解析】
【分析】
对进行分类讨论，根据正弦函数的单调性求出在区间和的最大值，再解不等式即可得到答案.
【详解】①当时，，，.
所以，舍去；
②当时，，，，
所以，，即：，得到；
③当时，，，或，
因为，所以，即：，，
所以；
④当时，，，
不满足，舍去；
综上所述：.
故答案为：
【点睛】本题主要考查三角函数的最值问题，同时考查了分类讨论的思想，属于难题.
12.已知数列的首项为，且满足，则下列命题：①是等差数列；②是递增数列；③设函数，则存在某个区间，使得在上有唯一零点；则其中正确的命题序号为________
【答案】②③
【解析】
【分析】
对于①，将已知递推关系式变形可证得数列为等比数列；对于②，结合等比数列通项公式可求得，可验证出，知数列递增；对于③，结合指数函数单调性可确定单调性，利用零点存在定理可得到结论.
【详解】对于①，由得：，
又，是首项为，公比为的等比数列，①错误；
对于②，由①知：，，
，
是递增数列，②正确；
对于③，由②知：，单调递减，
单调递增
，，
当时，，，即，由零点存在定理知③正确；
综上所述：正确的命题序号为②③.
故答案为：②③.
【点睛】本题考查数列与函数综合应用问题，涉及到利用递推关系式证明数列为等比数列、根据递推关系式求解数列通项公式和确定数列增减性、零点存在定理的应用等知识；解题关键是能够熟练掌握数列增减性和函数单调性的判断方法.
二.选择题
13.设、分别是直线、的方向向量，则“∥”是“∥”的（ ）
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
根据充分条件、必要条件的定义判断即可；
【详解】解：若，则一定有，但可能推出和重合，∴“”是“”的充分非必要条件.
故选：A
【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，属于基础题.
14.某学校有2500名学生，其中高一600人，高二800人，高三1100人，为了了解学生的身体健康状况，采用分层抽样的方法，若从本校学生中抽取100人，从高一和高二抽取样本本数分别为、，且直线与以为圆心的圆交于、两点，且，则圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用分层抽样的概念，先求出与，然后求出直线方程，然后，根据圆与直线的位置关系求出圆心到直线的距离，进而求解即可.
【详解】∵高一：高二：高三为，
该直线方程为，即，
圆心到直线的距离，又，
该圆的方程为.
故选：C
【点睛】本题考查分层抽样的概念，属于基础题
15.函数的图像按向量平移后所得图像的函数解析式为，当函数为奇函数时，向量可以等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由左加右减上加下减的原则可确定函数到的路线，进而确定向量.
【详解】∵，
∴将函数向左平移个单位，
再向上平移2个单位可得到为奇函数，
∴，
故选：B.
【点睛】本题主要考查三角函数图象平移，三角函数的平移原则为左加右减上加下减，注意向量的平移的方向，属于基础题.
16.已知为抛物线焦点，、、为抛物线上三点，当时，则存在横坐标的点、、有（ ）
A. 0个 B. 2个 C. 有限个，但多于2个 D. 无限多个
【答案】A
【解析】
【分析】
首先判断出为的重心，根据重心坐标公式可得，结合基本不等式可得出，结合抛物线的定义化简得出，同理得出，进而得出结果.
【详解】设，先证，
由知，为的重心，
又，，
，，
，，，
同理，
故选：A.
【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质，基本不等式的应用，解本题的关键是判断出点为三角形的重心，属于中档题.
三.解答题
17.如图，四棱柱的底面是正方形，为底面中心，平面，.

（1）证明：；
（2）求直线与平面所成的角的大小.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）通过线面垂直判定定理证明平面，进而得到；
（2）取中点，联结，，通过已知条件得出四边形为正方形，得出即为所求角，进而可得结果.
【详解】（1）由题意易得：，又平面，
平面，∴，又，
∴平面，又平面，
∴
（2）取中点，联结，，，

又∵，底面是正方形，∴，
由题意易得为直角三角形，∴，
由棱柱的性质以及平面，可得四边形为正方形，
∴，由（1）得，,
∴面，∴即为所求角，且大小为，
即直线与平面所成的角为.
【点睛】本题主要考查了通过线面垂直得出线线垂直，直线与平面所成角的求法，属于中档题.
18.设、、分别是△内角、、所对的边，.
（1）求角的大小；
（2）若，且△的面积为，求△的周长.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）利用两角差余弦公式化简可得，即可得到角A的大小；
（2）根据面积结合（1）可得，利用余弦定理求得，即可得到三角形周长.
【详解】（1）由题意可得：

∴
（2）由
又
∴，
∴周长为.
【点睛】此题考查根据三角形已知关系求解三角形内角，根据面积关系和余弦定理化简求周长，需要熟练掌握余弦定理和面积公式.
19.受疫情影响，某电器厂生产的空调滞销，经研究决定，在已有线下门店销售的基础上，成立线上营销团队，大力发展“网红”经济，当线下销售人数为（人）时，每天线下销售空调可达（百台），当线上销售人数为（人）（）时，每天线上销量达到（百台）.
（1）解不等式：，并解释其实际意义；
（2）若该工厂大有销售人员（）人，按市场需求，安排人员进行线上或线下销售，问该工厂每天销售空调总台数的最大值是多少百台？
【答案】（1）不等式的解集为，实际意义见解析（2）答案不唯一，具体见解析
【解析】
【分析】
（1）分别讨论当时和当时，解不等式即可得解；
（2）结合题中分段函数，分段求解最值取得的条件即可得解.
【详解】（1）当时，不等式为；
当时，不等式为；
综上，不等式解集为，实际意义为在相同的销售人数下，当销售人数在10到40之间时，线上销售的会比线下销售效果好
（2）设安排线上销售人，则线下销售安排人；
当时，此时，每天的销售总台数为，
∴当时，最大值在时取到，为（百台）
当时，最大值在时取到，为（百台）
当时，若，则最大值在时取到，为（百台）
若，每天的销售总台数为，
则最大值在时取到，为（百台）.
【点睛】此题考查函数模型及其应用，涉及分段函数最值处理方法，需要熟练掌握分类讨论方法求解.
20.已知椭圆的两焦点为，，且椭圆上一点，满足，直线与椭圆交于、两点，与轴、轴分别交于点、，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）若，且，求的值；
（3）当△面积取得最大值，且点在椭圆上时，求的值.
【答案】（1）（2）3（3）
【解析】
【分析】
（1）根据椭圆定义焦点坐标计算基本量即可得解；
（2）根据已知条件结合弦长公式求得m，得出三点坐标，利用线段长度公式得解；
（3）联立直线与椭圆方程，结合韦达定理表示出三角形面积，根据基本不等式求最值，即可得到此时的值.
【详解】（1）由题意可得，∴椭圆方程为
（2）由题意得，此时直线方程为，将其代入椭圆方程整理可得
，其中
设，则
∴，由椭圆具有对称性，
∴不妨取，则，∴
（3）将直线方程代入椭圆方程整理可得，其中
，设，
则，
∴
原点到直线的距离，
∴，
当且仅当时等号成立，
又代入椭圆方程可得，
其中，，
∴整理得
再将代入，
整理得，
，
整理得，.
【点睛】此题考查求椭圆方程，利用直线与圆的位置关系，结合韦达定理求解弦长和面积关系，综合性较强.
21.已知数列满足：对任意，若，则，且，设，集合中元素的最小值记为；集合，集合中元素最小值记为.
（1）对于数列：，求，；
（2）求证：；
（3）求的最大值.
【答案】（1）（2）证明见解析；（3）416
【解析】
【分析】
(1)根据题目，直接代入求解即可.
(2)利用反正法进行证明即可.
(3)欲使尽可能大，则任意连续三项和要尽量整体控制大，然后，分类讨论即可进行求解
【详解】（1）
（2）若，记

则，同样操作这三组数据得到，这与，矛盾，则
，构造数列：
（3）欲使尽可能大，则任意连续三项和要尽量整体控制大，如果放在数列中前
后各有2个数，则这里对应含有项的3个连续和，这3个和值显然均大于，
同理也去控制项有，这3个和值显然均大于，如果我们保证这6项不重叠，
则8个和，就先处理了6个，剩下2个要使得最小值最大，就有如图排列这种排列：
，则
考虑其中，这一组的和记

可以很快得到
记，若，则这8个数字都要大于等于448，
至多各对应3个数字，对应一个数字，那么这样最多只有7个数字大于等于448，矛盾
构造数列：，则.
【点睛】本题主要考查反证法的运用，要用到类比推理和归纳推理的数学思想，属于难题