2021-2022学年高中数学-第2章-一元二次函数、方程和不等式-2.3-第2课时-一元二次不等式.doc
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2021-2022学年高中数学 第2章 一元二次函数、方程和不等式 2.3 第2课时 一元二次不等式的应用学案 新人教A版必修第一册 2021-2022学年高中数学 第2章 一元二次函数、方程和不等式 2.3 第2课时 一元二次不等式的应用学案 新人教A版必修第一册 年级: 姓名: 第2章 一元二次函数、方程和不等式 第2课时 一元二次不等式的应用 学 习 任 务 核 心 素 养 1.掌握一元二次不等式的实际应用.(重点) 2.会解一元二次不等式中的恒成立问题.(难点) 1.通过不等式的恒成立问题的学习,培养数学运算素养. 2.借助一元二次不等式的应用,培养数学建模素养. 类型1 一元二次不等式的实际应用 【例1】 (对接教材P53例题)某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆,出厂价为12万元/辆,年销售量为10 000辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品质量,适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x(0<x<1),则出厂价相应地提高比例为0.75x,同时预计年销售量增加的比例为0.6x,已知年利润=(出厂价-投入成本)×年销售量. (1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式; (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加,则投入成本增加的比例x应在什么范围内? [解] (1)依题意得 y=[12×(1+0.75x)-10×(1+x)]×10 000×(1+0.6x)(0<x<1).整理,得y=-6 000x2+2 000x+20 000(0<x<1). ∴本年度年利润与投入成本增加的比例的关系式为y=-6 000x2+2 000x+20 000(0<x<1). (2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加, 当且仅当 即解得0<x<, 所以为保证本年度的年利润比上年有所增加,投入成本增加的比例x应满足0<x<. 求解一元二次不等式应用问题的步骤 1.国家原计划以2 400元/吨的价格收购某种农产品m吨.按规定,农户向国家纳税为:每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点,即8%).为了减轻农民负担,制定积极的收购政策.根据市场规律,税率降低x个百分点,收购量能增加2x个百分点.试确定x的范围,使税率调低后,国家此项税收总收入不低于原计划的78%. [解] 设税率调低后“税收总收入”为y元. y=2 400m(1+2x%)·(8-x)% =-m(x2+42x-400)(0<x≤8). 依题意,得y≥2 400m×8%×78%, 即-m(x2+42x-400)≥2 400m×8%×78%, 整理,得x2+42x-88≤0,解得-44≤x≤2. 根据x的实际意义,知x的范围为0<x≤2. 类型2 不等式的恒成立问题 【例2】 若关于x的不等式(m2-2m-3)x2-(m-3)x-1<0对任意x∈R恒成立,求实数m的取值范围. 对应的不等式是不是关于x的一元二次不等式?其对应函数的图象有何特征?如何用数学语言表述? [解] 当m2-2m-3=0时,m=3或m=-1. ①若m=3,不等式可化为-1<0,显然对于x∈R恒成立,满足题意. ②若m=-1,不等式可化为4x-1<0,显然不满足题意. 当m2-2m-3≠0时,由题目条件,知 得 即-<m<3. 综上所述,实数m的取值范围是. 不等式恒成立的情况 (1)一元二次不等式ax2+bx+c>0,对任意实数x∈R恒成立的条件是 (2)一元二次不等式ax2+bx+c≥0,对任意实数x∈R恒成立的条件是 (3)一元二次不等式ax2+bx+c<0,对任意实数x∈R恒成立的条件是 (4)一元二次不等式ax2+bx+c≤0,对任意实数x∈R恒成立的条件是 提醒:当不等式ax2+bx+c>0未说明为一元二次不等式时,对任意实数x∈R恒成立时满足的条件为或 2.已知关于x的不等式(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+3>0对一切实数x恒成立,求实数m的取值范围. [解] ①当m2+4m-5=0,即m=1或m=-5时,显然m=1符合条件,m=-5不符合条件; ②当m2+4m-5≠0时,由二次函数对一切实数x恒成立,得 解得1<m<19.综合①②得,实数m的取值范围为{m|1≤m<19}. 1.二次不等式ax2+bx+c<0的解集为全体实数的条件是( ) A. B. C. D. D [二次不等式ax2+bx+c<0的解集为全体实数等价于二次函数y=ax2+bx+c的图象全部在x轴下方,需要开口向下,且与x轴无交点,故需要.] 2.已知不等式x2+ax+4<0的解集为空集,则a的取值范围是( ) A.-4≤a≤4 B.-4<a<4 C.a≤-4或a≥4 D.a<-4或a>4 A [依题意应有Δ=a2-16≤0,解得-4≤a≤4,故选A.] 3.产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y=3 000+20x-0.1x2,x∈(0,240).若每台产品的售价为25万元,则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是( ) A.100台 B.120台 C.150台 D.180台 C [由题设,产量x台时,总售价为25x万元,欲使生产者不亏本,必须满足总售价大于等于总成本,即25x≥3 000+20x-0.1x2,即0.1x2+5x-3 000≥0,x2+50x-30 000≥0,解之得x≥150或x≤-200(舍去).故欲使生产者不亏本,最低产量是150台.故选C.] 4.若关于x的不等式(k-1)x2+(k-1)x-1<0恒成立,则实数k的取值范围是________. {k|-3<k≤1} [(1)当k-1=0,即k=1时,-1<0恒成立,符合题意. (2)当k-1≠0时,由题意可知 解得-3<k<1. 综上可知-3<k≤1.] 5.某种杂志原以每本2.5元的价格销售,可以售出8万本.据市场调查,杂志的单价每提高0.1元,销售就可能减少2 000本.要使提价后的销售总收入不低于20万元,则定价的最大值为________元. 4 [设定价为x元,销售总收入为y元,则由题意得y=x, 整理得y=-20 000x2+130 000x, 因为要使提价后的销售总收入不低于20万元, 所以y=-20 000x2+130 000x≥200 000, 解得≤x≤4,所以要使提价后的销售总收入不低于20万元,则定价的最大值为4.] 回顾本节知识,自我完成以下问题: 1.解一元二次不等式应用题的关键是什么? [提示] 解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型,选择其中起关键作用的未知量为x,用x来表示其他未知量,根据题意,列出不等关系再求解. 2.试简述不等式ax2+bx+c>0(<0)恒成立的条件. [提示] 不等式 ax2+bx+c>0 ax2+bx+c<0 a=0 b=0,c>0 b=0,c<0 a≠0- 配套讲稿:
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