河南省开封市2020届高三数学第三次模拟考试试题-理.doc

河南省开封市2020届高三数学第三次模拟考试试题 理

河南省开封市2020届高三数学第三次模拟考试试题 理

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河南省开封市2020届高三数学第三次模拟考试试题 理（含解析）
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则集合（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据一元二次不等式求得集合，并计算，然后根据一元一次不等式可得，最后根据交集的概念可得结果.
【详解】由或
所以或，则

所以
故选：D
【点睛】本题考查一元二次不等式的解法以及集合的运算，考查基础知识的认识，属基础题.
2. 如图，在平行四边形中，顶点，，在复平面内分别表示0，，，则点对应的复数为（ ）

A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用平行四边形法则，求得，利用复数的运算法则求得结果.
【详解】，
所以对应的复数为，
即点对应的复数为，
故选：A.
【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数在复平面内对应点的坐标的求解，属于基础题目.
3. 设a，b∈R，则“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
根据不等式的基本性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断，即可得到结论．
【详解】由a＞b，
①当a＞b≥0时，不等式a|a|＞b|b|等价为a•a＞b•b，此时成立．
②当0＞a＞b时，不等式a|a|＞b|b|等价为﹣a•a＞﹣b•b，即a2＜b2，此时成立．
③当a≥0＞b时，不等式a|a|＞b|b|等价为a•a＞﹣b•b，即a2＞﹣b2，此时成立，
即充分性成立；
由a|a|＞b|b|，
①当a＞0，b＞0时，a|a|＞b|b|去掉绝对值得，（a﹣b）（a+b）＞0，
因为a+b＞0，所以a﹣b＞0，即a＞b．
②当a＞0，b＜0时，a＞b．
③当a＜0，b＜0时，a|a|＞b|b|去掉绝对值得，（a﹣b）（a+b）＜0，
因为a+b＜0，所以a﹣b＞0，即a＞b．即必要性成立，
综上可得“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的充要条件，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了充要条件的判定，以及不等式的基本性质的综合应用，意在考查推理与运算能力，属于中档试题.
4. 随着年北京冬奥会临近，中国冰雪产业快速发展，冰雪运动人数快速上升，冰雪运动市场需求得到释放，将引领户外用品行业市场增长．下面是年至年中国雪场滑雪人次（万人次）与同比增长率的统计图，则下面结论中不正确的是（ ）

A. 年至年，中国雪场滑雪人次逐年增加
B. 年至年，中国雪场滑雪人次和同比增长率均逐年增加
C. 年与年相比，中国雪场滑雪人次的同比增长率近似相等，所以同比增长人数也近似相等
D. 年与年相比，中国雪场滑雪人次增长率约为
【答案】C
【解析】
【分析】
观察年至年中国雪场滑雪人次（万人次）与同比增长率的统计图，结合统计图的性质能求出结果．
【详解】由年至年中国雪场滑雪人次（万人次）与同比增长率的统计图，得：
对于A，年至年，中国雪场滑雪人次逐年增加，故A正确；
对于B，年至年，中国雪场滑雪人次和同比增长率均逐年增加，故B正确；
对于C，年与年相比，中国雪场滑雪人次的同比增长率近似相等，
但是同比增长人数也不相等，年比年增长人数多，故C错误；
对于D，年与年相比，中国雪场滑雪人次增长率约为：
．故D正确．
故选：C．
【点睛】本题考查统计图表的应用，考查学生的数据分析能力，属于基础题.
5. 执行如图的程序框图，若输入x的值为，则输出的y＝（ ）

A. B. C. 2 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
根据程序模拟运行,当满足条件时，计算的值，并再次进入循环体，当不满足条件时退出循环，计算并输出的值，即可求解.
【详解】解：开始：
输入,
进入循环，满足条件,计算x，
第二次进入循环，满足条件,计算x＝1﹣log24＝﹣1，
第三次进入循环，不满足条件,
退出循环，计算．
输出,
故选：B．
【点睛】本题考查程序框图的输入输出值的确定，涉及循环结构，对数运算，属基础题，难度较易.
6. 为了得到函数的图象，只需把函数图象上所有的点（ ）
A. 向左平移个单位长度
B. 向左平移个单位长度
C. 向右平移个单位长度
D. 向右平移个单位长度
【答案】B
【解析】
【分析】
首先利用辅助角公式化简，然后根据平移公式，判断平移方向和平移单位量.
【详解】，
根据平移左加右减的原则可知，
向左平移个单位长度.
故选：B.
【点睛】本题主要考查三角函数的平移问题.需注意平移前后的解析式，，这种类型的平移量，需要提出，平移量为个单位.属于较易题.
7. 若函数在x＝2处有极大值，则常数c为（ ）
A. 2 B. 6 C. 2或6 D. -2或-6
【答案】B
【解析】
【分析】
求出函数的导数，则，求出c值．然后再代回去检验函数的导数在处左侧为正数，右侧为负数．因为满足这个条件才能说在处取得极大值．
【详解】∵函数，它的导数为，
由题意知，在x＝2处导数值为，∴c＝6，或c＝2，
又函数在x＝2处有极大值，故导数值在x＝2处左侧为正数，右侧为负数.
当c＝2时，，不满足导数值在x＝2处左侧为正数，右侧为负数.
当c＝6时，，
满足导数值在x＝2处左侧为正数，右侧为负数.故c＝6.
故选B.
【点睛】函数在处取得极值的充要条件是：1） 2)导函数在处两端异号．
所以此类题先求，再判断导函数在处是否异号即可．
8. 若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
作出不等式组所表示的平面区域，根据题意求得直线与轴和直线的交点坐标，根据题意得出关于的等式，进而可求得的值.
【详解】作出不等式组所表示的平面区域如下图所示：

直线交轴于点，交轴于点，.
当直线过原点时，，
联立，解得，即点，
则的面积为，
当不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，
直线位于直线的上方，
此时，直线交轴于点，
联立，解得，，即点，
由题意可知，解得，
，得，
解得，，因此，.
故选：D.
【点睛】本题考查利用不等式组所表示的平面区域的面积求参数，解答的关键在于求得直线所过的点的坐标，考查计算能力，属于中等题.
9. 已知A是△ABC的一个内角，且sinA+cosA＝a，其中a∈（0，1），则关于tanA的值，以下答案中，可能正确的是（ ）
A. ﹣2 B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】
把已知的等式两边平方，由同角三角函数间的基本关系化简后，得到2sinAcosA＝a2﹣1＜0，进而得到cosA＜0，得到sinA＞﹣cosA，再结合三角函数的基本关系式，求得tanA值的范围，即可判断出符合题意的tanA值的可能值．
【详解】由sinA+cosA＝a，两边平方得：（sinA+cosA）2＝a2，
即sin2A+cos2A+2sinAcosA＝1+2sinAcosA＝a2，
又因为a∈（0，1），所以2sinAcosA＝a2﹣1＜0，
因为0＜A＜π，得到，所以cosA＜0，
又由sinA+cosA＝a＞0，所以sinA＞﹣cosA＞0，
则tanA＜﹣1．比较四个选项，只有A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了三角函数基本关系式的综合应用，意在考查推理与运算能力，属于中档试题.
10. 某地有，，，四人先后感染了传染性肺炎，其中只有到过疫区，确定是受感染的.对于因为难以判定是受还是受感染的，于是假定他受和感染的概率都是.同样也假定受，和感染的概率都是.在这种假定下，，，中恰有两人直接受感染的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
设直接受A感染为事件B、C、D，分析题意得出，，，，，中恰有两人直接受感染为事件，利用公式求得结果.
【详解】根据题意得出：因为直接受A感染的人至少是B，
而C、D二人也有可能是由A感染的，
设直接受A感染为事件B、C、D，
则事件B、C、D是相互独立的，
，，，
表明除了外，二人中恰有一人是由A感染的，
所以，
所以B、C、D中直接受A传染的人数为2的概率为，
故选：C.
【点睛】该题考查的是有关概率的问题，涉及到的知识点有随机事件发生的概率，相互独立事件同时发生的概率公式和互斥事件有一个发生的概率公式，属于简单题目.
11. 若函数对、，同时满足：（1）当时有；（2）当时有，则称为函数．下列函数中：①；②；③；④.是函数的为（ ）
A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意可得满足是上的奇函数，且为增函数，称为函数，由函数的奇偶性和单调性与导数之间的关系，分别判断①、②、③、④的函数的奇偶性和单调性，可得所求结论．
【详解】由（1）当时有，即为，则为上的奇函数；
由（2）当时有，即为，，
可得为上的增函数，
则函数为上的奇函数，且为增函数．
由①，定义域为，,即为奇函数，
又，可得为上的增函数，故①是函数；
②，定义域为，，即为奇函数，
又，可得为上的增函数，故②是函数；
③，定义域为，，可得为偶函数，故③不是函数；
④，定义域为，时，，可得为奇函数，
又在，上单调递增，但在上不为增函数，比如，故④不是函数．
故选：A．
【点睛】本题考查函数的新定义，主要考查函数的奇偶性与单调性的判断，考查推理能力，属于中等题.
12. 已知三棱锥中，平面，，，则三棱锥体积最大时，其外接球的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
首先根据题意得到当的面积最大时，此时三棱锥的体积最大，设，利用正弦定理和余弦定理得到，从而得到当时，最大，再将三棱锥放入直三棱柱中，求外接球体积即可.
【详解】如图所示：

因为平面，，
所以当的面积最大时，此时三棱锥的体积最大.
设，则，
，
所以.
所以，
当，即时，最大.
当时，，则.
将三棱锥放入直三棱柱中，
，分别为上下底面外接圆圆心，设外接圆半径为，
则的中点为直三棱柱外接球球心，设外接球半径为，
如图所示：

根据正弦定理，解得，所以.
故外接球体积.
故选：D
【点睛】本题主要考查三棱锥外接球，根据题意求出三棱锥的体积最大值为解题的难点，属于难题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知为等差数列的前项和，若，则__________.
【答案】0
【解析】
【分析】
设等差数列的公差为d，由已知结合等差数列的通项公式及求和公式得到即得的值.．
【详解】设等差数列的公差为d，由，
所以
则．
故答案为：0．
【点睛】本题主要考查等差数列的通项和求和公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
14. 若平面向量，满足，，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】
由平面向量模的运算可得：①，②，则①②即可得解．
【详解】因为向量，满足，，
所以①，②，
由①②得：，即，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平面向量模和数量积的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属基础题．
15. 已知，是双曲线：的两个焦点，为上一点，为坐标原点，若为等边三角形，则的离心率__________.
【答案】
【解析】
【分析】
设为双曲线的右焦点，为双曲线在第一象限内的点，由题意可知，代入计算得到答案.
【详解】设为双曲线的右焦点，为双曲线在第一象限内的点，
由题意可知，
代入双曲线方程得，
即，又，解得.
故答案为：.
【点睛】该题考查了双曲线离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力，属于简单题目.
16. 在△中，角，，的对边分别为，，，若，，，则__________，△的面积为__________.
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
首先根据，切化弦整理得到，利用正弦和角公式以及诱导公式得到，再借助于正弦定理，利用题中所给的边长，求得，利用同角三角函数关系式求得，之后利用面积公式直接计算．
【详解】因为，所以，
，
即，，
所以，
由正弦定理可得，
所以求得，又因为，所以，
，
故答案为：①；②.
【点睛】该题考查是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有同角三角函数关系式，正弦和角公式，正弦定理，三角形面积公式，属于简单题目．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17. 已知数列满足：，，.
（1）证明：数列是等比数列；
（2）求数列的前项和.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）依题意化简式子可得，根据等比数列的定义可得结果.
（2）根据（1）的结论可得，然后利用错位相减的方法进行求和，可得结果.
【详解】（1）由，得，
则，又，所以
所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列.
（2）由（1）知，，.
，
，
，
则，
所以.
【点睛】本题考查了利用定义证明等比数列,考查了错位相减法求和,熟悉常用的求和公式：公式法、裂项相消法、错位相减法，属于中档题.
18. 如图，四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，为等边三角形，，分别为和的中点，且.

（1）证明：平面平面；
（2）求与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）首先连接，根据题意易证，，从而得到平面，再根据面面垂直的判定即可得到平面平面.
（2）首先根据得到与平面所的成角等于与平面所成角，再以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，利用向量法求解线面角即可.
【详解】连接，如图所示：

四边形是边长为2的正方形，
是的中点，也是的中点，
又是的中点，∴，
∵，∴，
∵，，∴平面，
又∵平面，∴平面平面.
（2）由（1）知，
∴与平面所的成角等于与平面所成角，
取中点，连接，
∵是边长为2等边三角形，
∴且，
由（1）知平面平面，故平面，
以为原点，，，所在直线分别为，，轴，
建立空间直角坐标系，如图所示：

则，，，，，
，，，
设平面的法向量为，
则，，令，∴，
设与平面所成角为，
则，
∴与平面所成角的正弦值为.
【点睛】本题第一问考查面面垂直的证明，第二问考查向量法求解线面角，同时考查学生的计算能力，属于中档题.
19. 已知椭圆：的上顶点与左、右焦点，构成一个面积为1的直角三角形.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线与椭圆相切，求证：点，到直线的距离之积为定值.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）利用已知条件可得，求出，利用的关系求，即可得出结果. （2）首先讨论直线的斜率是否存在，当不存在时直线的方程为，求出点，到直线的距离之积；当存在时设其方程为，与椭圆的方程联立消元，让，得出的关系式，求出点，到直线的距离之积，即可证明出结论.
【详解】（1）解：∵椭圆的上顶点与左、右焦点，构成一个面积为1的直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴椭圆的方程为.
（2）证明：①当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
点，到直线的距离之积为，
②当直线的斜率存在时，设其方程为，
联立得，
，
∴，
点到直线：的距离，
点到直线：的距离.
∴.
综上，可知当直线与椭圆相切时，点，到直线的距离之积为定值1.
【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程以及直线与椭圆的位置关系.属于中档题.
20. 已知函数在处的切线方程为.
（1）求，值；
（2）若恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1），；（2）.
【解析】
【分析】
（1）求出导函数，根据切线斜率和切点纵坐标建立方程组即可求解；
（2）分离参数，求出的最小值即可得解.
【详解】解：（1），
因为函数在处的切线为，
所以，
解得，.
（2）由得：，即，
令，则，
令， ,在单调递增，
，，在存在零点，
即，
，
令由于，所以在单调递增，故，即，
在减，在增，
，
所以.
【点睛】此题考查导数的几何意义，根据曲线上某点处的切线方程求解参数值，涉及参数的不等式问题利用分离参数，对新函数利用导函数讨论函数单调性解决最值问题，属于难题.
21. 当前，全球贸易格局发生重大变化，随着中美贸易战的不断升级，让越来越多的中国科技企业开始意识到自主创新的重要性，大大加强科技研发投入的力度，形成掌控高新尖端核心技术及其市场的能力.某企业为确定下一年对某产品进行科技升级的研发费用，需了解该产品年研发费用（单位：千万元）对年销售量（单位：千万件）和年利润（单位：千万元）的影响.根据市场调研与模拟，对收集的数据进行初步处理，得到散点图及一些统计量的值如下：

30.5
15
15
46.5

表中，.
（1）根据散点图判断，与哪一个更适合作为年销售量关于年研发费用的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由），并根据判断结果及表中数据，建立关于的回归方程；
附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.
（2）已知年利润与，的关系为（其中为自然对数的底数），要使企业下一年的年利润最大，预计下一年应投入多少研发费用？
（3）科技升级后，该产品的效率大幅提高，经试验统计得大致服从正态分布.企业对科技升级团队的奖励方案如下：若不超过，不予奖励；若超过，但不超过，每件产品奖励2元；若超过，每件产品奖励4元.记为每件产品获得的奖励，求（精确到0.01）.
附：若随机变量，则，.
【答案】（1）更适合作为关于的回归方程类型，；（2）54千万元；（3）2.27元.
【解析】
【分析】
（1）观察散点图中各点更靠近曲线，因此得结论；
对取对数有，即这是线性的方程，根据已知数据求出系数后可得回归方程；
（2）把（1）的结论代入，利用导数求出最大值；
（3）根据正态分布的概率公式计算出，，由期望公式可得期望．
【详解】解：（1）根据散点图可判断，更适合作为关于的回归方程类型.
对两边取对数，得，即，
由表中数据得：，，
，所以，
所以关于的回归方程为.
（2），，令，得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
所以预计下一年投入千万元时，
年利润取得最大值为千万元.
（3）因为，，所以

，
，
（元）.
【点睛】本题考查回归分析，考查用导数求最值，考查正态分布的概率公式，非线性的回归方程可通过取对数化为线性回归直线方程，从而求出，本题考查学生的数据处理能力，运算求解能力．属于中档题．
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多选，则按所做的第一题计分.
[选修4—4：坐标系与参数方程]
22. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（φ为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为，曲线C1和C2在第一象限交于点A．
（1）求点A的直角坐标；
（2）直线与曲线C1，C2在第一象限分别交于点B，C，若△ABC的面积为，求α的值．
【答案】（1）（）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）直接利用转换关系，把参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．
（2）利用三角形面积公式和三角函数关系式，求出结果．
【详解】（1）曲线C1的参数方程为（为参数），
转换为直角坐标方程为.根据
转换为极坐标方程为.
联立曲线C1和C2得到：，解得，
即转换为直角坐标为（）．
（2）连接OA，由（1）得：，
可得：|OA|，，
将直线与曲线C1和C2联立可得：，.
，，
，所以．
则：S△ABC＝S△AOC﹣S△AOB，
，
，
，
整理得，
所以．
【点睛】本题考查了参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换、三角形面积公式、三角函数关系式，考查了数学运算能力，逻辑推理能力，转化数学思维，属于中档题.
[选修4—5：不等式选讲]
23. 关于x的不等式的解集为A，且∈A，∉A．
（1）求m的值；
（2）设a，b，c为正实数，且，求的最大值．
【答案】（1）；（2）3．
【解析】
【分析】
（1）根据集合的特点可得∈A，∉A，从而得到关于的不等式，即可得答案；
（2）利用基本不等式，即可得答案；
【详解】（1）∵∈A，∉A，
，∴
.
（2）a，b，c为正实数，且，
∴
．
当且仅当时取等号．
∴最大值为3．
【点睛】本题考查利用不等式的解集确定参数值，以及利用基本不等式求最值，属综合基础题.