广东省汕头市金山中学2020届高三数学下学期第三次模拟考试试题-文.doc

广东省汕头市金山中学2020届高三数学下学期第三次模拟考试试题 文

广东省汕头市金山中学2020届高三数学下学期第三次模拟考试试题 文

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广东省汕头市金山中学2020届高三数学下学期第三次模拟考试（6月）试题 文（含解析）
一、单选题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据集合求得集合，由此求得.
【详解】由于，所以对于集合，的可能取值为
，
即.
所以.
故选：B
【点睛】本小题主要考查集合交集的概念和运算，属于基础题.
2. 在复平面内与复数所对应的点关于虚轴对称的点为，则对应的复数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据复数的运算法则求出，即可得到其对应点关于虚轴对称点的坐标，写出复数.
【详解】由题，在复平面对应的点为（1,1），
关于虚轴对称点为（-1,1），所以其对应的复数为.
故选：D
【点睛】此题考查复数的几何意义，关键在于根据复数的乘法除法运算准确求解，熟练掌握复数的几何意义.
3. 已知，则动点的轨迹是（　）
A. 一条射线 B. 双曲线右支 C. 双曲线 D. 双曲线左支
【答案】A
【解析】
【分析】
根据可得动点的轨迹.
【详解】因为，故动点的轨迹是一条射线，
其方程为：，故选A.
【点睛】利用圆锥曲线的定义判断动点的轨迹时，要注意定义中规定的条件，如双曲线的定义中，要求动点到两个定点的距离的差的绝对值为常数且小于两个定点之间的距离并且两个定点及动点是在同一个平面中.
4. 设函数为奇函数，当时，，则（ ）
A. -1 B. -2 C. 1 D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】
根据奇函数的性质以及函数的解析式，依次求得，的值.
【详解】函数为奇函数，，.
故选：C
【点睛】本小题主要考查奇函数性质，属于基础题.
5. 设为区间内的均匀随机函数，则计算机执行下列程序后，输出的值落在区间内的概率为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意知函数y是分段函数，写出函数解析式，计算y∈[，3]时x的取值范围，利用几何概型求对应的概率．
【详解】根据题意知，当x∈[﹣2，0]时，y＝2x∈[，1]；
当x∈（0，2]时，y＝2x+1∈（1，5]；
所以当y∈[，3]时，x∈[﹣1，1]，其区间长度为2，
所求的概率为P．
故选C．
【点睛】本题考查了程序语言应用问题，也考查了函数与几何概型的概率计算问题，是中档题．
6. 已知等比数列中，，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
结合等比数列通项公式可求得的范围，可验证充分性和必要性是否成立，由此得到结果.
【详解】设等比数列的公比为，
由得：，又，，解得：，
，充分性成立；
由得：，又，，解得：或，
当时，，，必要性不成立.
“”是“”的充分不必要条件.
故选：.
【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判定，涉及到等比数列通项公式的应用，属于基础题.
7. 函数的图象大致形状是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
首先利用是奇函数可排除A、C选项，然后利用当时，可排除D选项.
【详解】因为的定义域是，
所以是奇函数，其图象关于原点对称，故A、C答案不满足
当时，，所以D答案不满足
故选：B
【点睛】解决本类题时，通常是利用函数的单调性、奇偶性、函数值等排除选项.
8. 南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列．对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”．现有高阶等差数列，其前7项分别为1，5，11，21，37，6l，95，则该数列的第8项为( )
A. 99 B. 131 C. 139 D. 141
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题中所给高阶等差数列定义，寻找数列的一般规律，即可求得该数列的第8项；
【详解】所给数列为高阶等差数列
设该数列第8项为
根据所给定义：用数列的后一项减去前一项得到一个新数列，
得到的新数列也用后一项减去前一项得到一个新数列
即得到了一个等差数列，如图：

根据图象可得：，解得

解得：
故选：D．
【点睛】本题主要考查了数列的新定义，解题关键是理解题意和掌握等差数列定义，考查了分析能力和计算能力，属于中档题．
9. 已知数列的首项，且满足，则的最小的一项是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用配凑法将题目所给递推公式转化为，即证得为首项为，公差为的等差数列，由此求得的表达式，进而求得的表达式，并根据二次函数的对称轴求得当时有最小值.
【详解】由已知得，，所以数列为首项为，公差为的等差数列，，则，其对称轴.所以的最小的一项是第项.故选A.
【点睛】本小题考查由数列的递推公式求数列的通项公式，考查二次函数求最值的方法，属于中档题.
10. 我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺．问积几何”，羡除是一个五面体，其中三个面是梯形，另两个面是三角形，已知一个羡除的三视图如图粗线所示，其中小正方形网格的边长为1，则该羡除的表面中，三个梯形的面积之和为（　　）

A. 40 B. 43 C. 46 D. 47
【答案】C
【解析】
【分析】
画出几何体的直观图,利用三视图所给数据，结合梯形的面积公式,分别求解梯形的面积即可.
【详解】
由三视图可知，该几何体的直现图如图五面体，其中平面平面，
，底面梯形是等腰梯形，高为3 ,
梯形的高为4 ,等腰梯形的高为，
三个梯形的面积之和为,
故选C.
【点睛】本题考查空间几何体的三视图，求解表面积,属于中档题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.
11. 已知函数，将的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变；再把所得图象向上平移个单位长度，得到函数的图象，若，则的值可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用二倍角公式与辅助角公式将函数的解析式化简，然后利用图象变换规律得出函数的解析式为，可得函数的值域为，结合条件，可得出、均为函数的最大值，于是得出为函数最小正周期的整数倍，由此可得出正确选项.
【详解】函数，
将函数的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的倍，得的图象；
再把所得图象向上平移个单位，得函数的图象，易知函数的值域为.
若，则且，均为函数的最大值，
由，解得；
其中、是三角函数最高点的横坐标，
的值为函数的最小正周期的整数倍，且．故选C．
【点睛】本题考查三角函数图象变换，同时也考查了正弦型函数与周期相关的问题，解题的关键在于确定、均为函数的最大值，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
12. 已知双曲线的左、右两个焦点分别为，以线段为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，若，该双曲线的离心率为，则（ ）
A. 2 B. 3 C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】以线段 为直径的圆方程为 ,
双曲线经过第一象限的渐近线方程为 ,
联立方程 ,求得 ,
因为 ,
又
所以
解得 ,
由求根公式有 (负值舍去).故选D.
点睛：离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．
二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 根据记载，最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高，商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题.现有满足“勾3股4弦5”，其中“股”，为“弦”上一点（不含端点），且满足勾股定理，则______.
【答案】
【解析】
分析】
先由等面积法求得，利用向量几何意义求解即可.
【详解】由等面积法可得，依题意可得，，
所以.
故答案为：
【点睛】本题考查向量的数量积，重点考查向量数量积的几何意义，属于基础题.
14. 若，则 ______．
【答案】
【解析】
【分析】
利用角的关系，建立函数值的关系求解．
【详解】已知，且，则，故．
【点睛】给值求值的关键是找准角与角之间的关系，再利用已知的函数求解未知的函数值．
15. 如图是一种圆内接六边形，其中且.则在圆内随机取一点，则此点取自六边形内的概率是______.

【答案】
【解析】
【分析】
半径为，利用三角形面积公式得出六边形，最后由几何概型概率公式计算即可.
【详解】连接，显然，中点为的外接圆圆心，设半径为
连接
由于，为直径，则，
该六边形的面积为

则此点取自六边形内的概率为
故答案为：

【点睛】本题主要考查了几何概型的概率计算，涉及了三角形面积公式的应用，属于中档题.
16. 已知三棱锥的四个顶点都在球的表面上，平面，，，，，则球的半径为______；若是的中点，过点作球的截面，则截面面积的最小值是______．
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
过底面外接圆的圆心作垂直于底面的直线，则球心在该直线上，可得，然后即可求出球的半径，若是的中点，，重合，过点作球的截面，则截面面积最小时是与垂直的面，即是三角形的外接圆，然后算出答案即可.
【详解】
如图所示：由题意知底面三角形为直角三角形，所以底面外接圆的半径，
过底面外接圆的圆心作垂直于底面的直线，则球心在该直线上，可得，
连接，设外接球的半径为，所以，解得．
若是的中点，，重合，过点作球的截面，
则截面面积最小时是与垂直的面，即是三角形的外接圆，
而三角形的外接圆半径是斜边的一半，即2，所以截面面积为．
故答案为：，
【点睛】几何体的外接球球心一定在过底面多边形的外心作垂直于底面的直线上.
三、解答题:共70分.
17. 已知内接于单位圆，且，
求角C
求面积的最大值．
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
变形已知条件可得，代入可得，可得C值；由正弦定理可得c，由余弦定理和基本不等式可得ab的取值范围，进而可得面积的最值．
【详解】
，
，

的外接圆为单位圆，
其半径
由正弦定理可得，
由余弦定理可得，
代入数据可得
，当且仅当a=b时，“=”成立
，
的面积，
面积的最大值为：
【点睛】本题考查两角和与差的正切，涉及正余弦定理和三角形的面积公式，基本不等式的应用，熟记定理，准确计算是关键，属中档题．
18. 如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形BB1C1C是菱形，且.

（1）求证：AC1⊥B1C；
（2）若∠BCC1=60°，三棱锥A﹣BB1C的体积为，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的表面积.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）连接相交于点O，连接，证明，（先证等腰三角形，再得垂直），可得线面垂直，从而有线线垂直；
（2）证明平面，然后利用体积公式求得棱长后再计算棱柱表面积．
【详解】解：(1)由已知，，，连接相交于点O，连接，
四边形BB1C1C是菱形，，且O为的中点，，
平面，又平面，∴．

(2)由余弦定理得
由，可得 又
平面，为三棱锥的高，
设则且由
，
易得，则等腰三角形的底边上的高为
三棱柱的表面积．
【点睛】本题考查用线面垂直证明线线垂直，考查棱柱的体积和表面积，解题关键是掌握空间线线垂直、线面垂直间的相互转化．
19. 随着智能手机的普及，使用手机上网成为了人们日常生活的一部分，很多消费者对手机流量的需求越来越大.长沙某通信公司为了更好地满足消费者对流量的需求，准备推出一款流量包.该通信公司选了5个城市（总人数、经济发展情况、消费能力等方面比较接近）采用不同的定价方案作为试点，经过一个月的统计，发现该流量包的定价:(单位：元/月）和购买人数(单位：万人）的关系如表:
流量包的定价（元/月）
30
35
40
45
50
购买人数（万人）
18
14
10
8
5

（1）根据表中的数据，运用相关系数进行分析说明，是否可以用线性回归模型拟合与的关系？并指出是正相关还是负相关；
（2）①求出关于回归方程；
②若该通信公司在一个类似于试点的城市中将这款流量包的价格定位25元/ 月，请用所求回归方程预测长沙市一个月内购买该流量包的人数能否超过20 万人.
参考数据：，，.
参考公式：相关系数，回归直线方程，其中，.
【答案】(1)见解析;(2)①;②一个月内购买该流量包的人数会超过20万人.
【解析】
【分析】
(1) 根据题意，得,计算出相关系数，从而可以作出判断;
(2) ①求出回归直线方程，②由①知，若，则，从而预测长沙市一个月内购买该流量包的人数会超过20万人
【详解】（1）根据题意，得，
.
可列表如下

根据表格和参考数据，得，
.
因而相关系数.
由于很接近1，因而可以用线性回归方程模型拟合与的关系.
由于，故其关系为负相关.
（2）①，，
因而关于的回归方程为.
②由①知，若，则，故若将流量包的价格定为25元/月，可预测长沙市一个月内购买该流量包的人数会超过20万人.
【点睛】本题主要考查线性回归方程，属于难题.求回归直线方程的步骤：①依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；②计算的值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为； 回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.
20. 已知抛物线：上一点到其准线的距离为2．

（1）求抛物线的方程；
（2）如图，，为抛物线上三个点，，若四边形为菱形，求四边形的面积．
【答案】(1) ；(2) 或
【解析】
【分析】
（1）利用点在抛物线上和焦半径公式列出关于 的方程组求解即可．
（2）设出A,C点的坐标及直线AC,利用设而不求和韦达定理求出AC中点的坐标，然后求出B点的坐标，利用B在抛物线上以及直线BD和直线AC的斜率互为负倒数列出方程组求出B点坐标，然后求出AC的长度，即可求出面积．
【详解】（1）由已知可得，
消去得：，
抛物线的方程为
（2）设，，菱形的中心
当轴，则在原点，，
，，菱形的面积，
解法一：当与轴不垂直时，设直线方程：，则直线的斜率为
消去得：

，，∵为的中点
∴，点在抛物线上，
且直线的斜率为．
解得：，
，

综上，或
解法二：设，直线的斜率为
，直线的斜率为，
可以设直线：
消去得：
∵
，
解方程：，解得，，接下去同上．
【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，计算量较大，考查计算能力，属于难题．
21. 已知函数f（x）＝（1﹣sinx）ex.
（1）求f（x）在区间（0，π）的极值；
（2）证明：函数g（x）＝f（x）﹣sinx﹣1在区间（﹣π，π）有且只有3个零点，且之和为0.
【答案】（1）极小值，无极大值；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）先对函数进行求导，再根据导函数的零点进行分类讨论即可；
（2）先求出0是的一个零点，然后判断出在上的单调性，结合第（1）问，得出在上的单调性，进而得出在只有一个零点；通过求，可以得到在上也只有一个零点；从而证明函数在区间有且只有3个零点，且之和为0.
【详解】（1）因为，
所以，
令，得，，从而，
当时，，，
所以，，从而单调递减；
当，，，
所以，，从而单调递增，
故在区间有极小值，无极大值；
（2）证明：因为，所以，从而是的一个零点；
令，则在区间单调递减，在区间单调递增，
所以在区间单调递减，在区间单调递增，
又，，
所以在区间有唯一的零点，记为，
又因为，
所以对于任意的，若，必有，
所以在区间有唯一的零点，
故在区间的零点为，0，，
所以在区间有且只有3个零点，且之和为0.
【点睛】1.判断函数的单调性，只需对函数求导，根据的符号判断函数的单调性.
求可导函数单调区间的一般步骤：
（1）确定函数的定义域（定义域优先）；
（2）求导函数；
（3）在函数的定义域内求不等式或的解集；
（4）由（）的解集确定函数的单调增（减）区间，若遇不等式中含有参数时，可分类讨论求得单调区间.
2. 有关函数的零点问题，先利用函数的导数判断函数的单调性，了解函数的图象的增减情况，再对极值点作出相应的要求，可控制零点的个数.
22. 设为椭圆：上任意一点，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，为上任意一点.
（Ⅰ）写出参数方程和普通方程；
（Ⅱ）求最大值和最小值.
【答案】（Ⅰ）(为参数),（Ⅱ），
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据椭圆的参数方程，(为参数)，直接写出参数方程，再根据，将转化为普通方程，即可.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，设，圆的圆心，计算，计算与，求解与，即可.
【详解】（Ⅰ）由题意可得的参数方程为：（为参数），
又∵，且，，
∴普通方程为，即.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，设，圆的圆心，
则
，
∵，
∴当时，；
当时，.
当时，；
当时，.
【点睛】本题考查椭圆的参数方程，极坐标方程与直角坐标方程互化，以及二次函数的最值，属于中档题.
23. 已知实数正数x， y满足.
（1）解关于x的不等式；
（2）证明：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）由已知得，并把代入不等式后利用绝对值的性质解不等式；
（2）把和中的分子1用代换，然后化简后用基本不等式可证明．
【详解】（1）

解得，所以不等式的解集为
（2）且，
.
当且仅当时，等号成立.
【点睛】本题考查解绝对值不等式，考查不等式的证明．解题关键是“1”的代换，解不等式是利用消元法，而不等式的证明用到了“1”的代换，代换时要注意次数的一致性，否则达不到目的．