黑龙江省哈尔滨市第九中学2020届高三数学第三次模拟考试试题-理.doc

黑龙江省哈尔滨市第九中学2020届高三数学第三次模拟考试试题 理

黑龙江省哈尔滨市第九中学2020届高三数学第三次模拟考试试题 理

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黑龙江省哈尔滨市第九中学2020届高三数学第三次模拟考试试题 理（含解析）
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），共23题，满分150分，考试时间120分钟.
第Ⅰ卷
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
分析】
求函数定义域得集合，解一元二次不等式得集合，再由并集定义求得结论．
【详解】由题意，，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查集合的并集运算，考查解一元二次不等式、求对数型复合函数的定义域，属于基础题．
2. 某班有学生60人，现将所有学生按1，2，3，…，60随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为5的样本（等距抽样），已知编号为号学生在样本中，则（ ）
A. 42 B. 45 C. 52 D. 56
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意，确定组距，进而可求出，即可得出结果.
【详解】因为采用的是等距抽样，且已知编号为号学生在样本中，
所以组距为，所以，，因此.
故选：D.
【点睛】本题主要考查确定系统抽样中的样本编号，熟记系统抽样的概念即可，属于基础题型.
3. 下列选项中，满足为实数的复数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
设,则,由为实数可得,则,进而结合选项得到结果即可.
【详解】设,
所以,
因为为实数,所以,所以,即,
结合选项可知C正确,
故选:C
【点睛】本题考查由复数的类型求参数,考查运算能力.
4. 若非零向量,满足,,则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先由得出向量的数量积与其模的关系,再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角即可．
【详解】设与的夹角为,因为,所以,所以.
又,所以=,所以与的夹角为.
故选：C．
【点睛】本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题,渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．属于基础题.
5. 1614年纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明对数；1637年笛卡尔开始使用指数运算；1770年，欧拉发现了指数与对数的互逆关系，指出：对数源于指数，对数的发明先于指数，称为历史上的珍闻.若，，则的值约为（ ）
A. 1.322 B. 1.410
C. 1.507 D. 1.669
【答案】A
【解析】
【分析】
由可得,进而将条件代入求解即可.
【详解】,,
故选:A
【点睛】本题考查指数、对数的转化,考查对数的换底公式的应用,属于基础题.
6. 在平面直角坐标系中，角的终边经过点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据三角函数的定义求出，，再利用三角函数变换展开求值.
【详解】角的终边经过点，则
由题意知，
则

故选：B
【点睛】本题考查三角函数的定义，考查余弦的差角公式的应用，三角函数给值求值，重点考查转化与化归的思想，计算能力，本题的关键是三角变换.属于基础题型，
7. 已知实数满足，若的最大值为8，则的值为（ ）
A. B. C. 1 D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】
由，解得，画出平面区域，根据图及线性规划知识可推测直线必过点，从而得出的值.
【详解】如图，由，解得

由图及线性规划知识可推测直线必过点，得，经验证符合题目条件
故选：B
【点睛】本题主要考查了根据最值求参数，属于中档题.
8. 已知正四棱锥的高为2，，过该棱锥高的中点且平行于底面的平面截该正四棱锥所得截面为，若底面与截面的顶点在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
如图（见解答部分）：根据正四棱锥，球心必在高线上，并且底面边长和高，可知对角面PAC是等腰直角三角形，当截面过高的中点时，截面的对角线长可求，再设球心为O，在两个直角三角形△OAM，△A1ON利用勾股定理，列出方程，可以解出半径R，则表面积可求.
【详解】解：因为正四棱锥P﹣ABCD，所以底面是正方形，结合高为2，，
设底面对角线交点为M，所以AC＝4，AM＝2，故PM＝AM＝CM＝2，
所以△PAC是等腰直角三角形.
因为截面A1B1C1D1过PM的中点N，所以N为截面正方形A1B1C1D1的中心，且PM⊥截面A1B1C1D1.
∴PN＝MN＝A1N＝1，设球心为O，球的半径为R，则A1O＝AO＝R.
在直角三角形A1ON中，，
∴.
在直角三角形AOM中，OA2＝AM2+OM2，即，
解得R2＝5，故S＝4πR2＝20π.
故选：A.

【点睛】本题考查球的表面积的计算以及正四棱锥的性质.根据对角面是等腰直角三角形，和含有R的两个直角三角形列方程是本题的关键.属于中档题.
9. 《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图，洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图，白圈为阳数，黑点为阴数，若从阳数和阴数中各取一数分别记为a，b，则满足的概率为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
首选求出的个数，然后用列举法写出满足的事件，求出事件的概率后，由对立事件的概率公式可得．
【详解】若从阳数和阴数中各取一数分别记为a，b，由事件共有个，
满足的有共9个，记事件为满足的事件，则，∴满足的事件的概率为．
故选：C．
【点睛】本题考查古典概型，考查对立事件的概率公式，用列举法写出基本事件是解决古典概型的常用方法．本题通过对立事件的概率公式计算，主要是对立事件中基本事件用列举法容易写出．
10. 设无穷等差数列的各项都为正数，且其前项和为，若，则下列判断错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由等差数列的前项和公式和等差数列的性质，可得.由无穷等差数列的各项都为正数，可得公差，逐项判断，即得答案.
【详解】，
，故正确.
∵无穷等差数列的各项都为正数，∴公差，
，故正确.
，
故错误.
，
故正确.
故选：C.
【点睛】本题考查等差数列的前项和公式和等差数列的性质，属于基础题.
11. 已知A，B是双曲线实轴的两个端点，M，N是双曲线上关于x轴对称的两点，直线，的斜率分别为，，且，若恒成立，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
设，根据题意得到，由恒成立，代入化简为恒成立，再根据点M，N是双曲线上关于x轴对称的两点，有，代入上式化简求解即可.
【详解】因为A，B是双曲线实轴的两个端点，
所以，
设，
所以，
因为恒成立，
即恒成立，
因为，所以，
所以恒成立，
又因为点M，N是双曲线上关于x轴对称的两点，
所以，即，
所以，
则，即，
解得.
故选：B
【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质以及离心率的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
12. 函数和都是定义在上的单调减函数，且，若对于任意，存在，，使得成立，则称是在上的“被追逐函数”，若，则下列结论中正确的序号为（ ）
①是在上的“被追逐函数；
②若和函数关于y轴对称，则是在上的“被追逐函数”；
③若是在上的“被追逐函数”，则；
④存在，使得是在上的“被追逐函数”.
A. ①③ B. ②③ C. ②④ D. ①④
【答案】A
【解析】
【分析】
先判断与是否单调递减,并求得最小值,再根据若是在上“被追逐函数”,,则可用表示,利用,代入判断其是否恒成立,即可判断是否满足“被追逐函数”,由此依次判断①②③④
【详解】对于①,和在上单调递减,且,
若是在上的“被追逐函数”,
则对于任意,存在,,使得成立,
即,所以,
此时,即,构造函数,
则,则在上单调递减,又,则恒成立,
即,故对任意,存在,,使得成立,故①正确；
对于②,依题意,则和在上单调递减,且,
若是在上的“被追逐函数”,
则对于任意,存在,,使得成立,即,
所以当时,不存在,,使得成立,故②错误；
对于③,若是在上的“被追逐函数”,此时必有,解得,
当时,和在上单调递减,
若是在上的“被追逐函数”,
则对于任意,存在,,使得成立,
即,所以,即,则,
构造函数,则,则在上单调递减,又,则恒成立,
即,故对任意,存在,,使得成立,故③正确；
对于④,当时,,而当时,,
由的任意性,不存在,使得是在上的“被追逐函数”,故④错误,
故选: A
【点睛】本题考查利用导函数处理恒成立问题,考查运算能力.属于难题.
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知命题“”是假命题，则实数m的取值范围是_________.
【答案】
【解析】
【分析】
求得原命题的否定，根据其为真命题，即可结合二次不等式恒成求得参数范围
【详解】若命题“”是假命题，则“”为真命题，
显然时，不满足题意，
故只需满足，解得.
故答案为：.
【点睛】本题考查根据含量词命题的真假求参数范围的问题，涉及二次不等式在上恒成立求参数的问题，属综合基础题.
14. 已知二项式的展开式中第项与第项的项式系数之比是，则的系数为____________.
【答案】
【解析】
【分析】
由已知条件得，可求得的值，然后写出二项展开式的通项，令的指数为，求得参数的值，代入通项后可得结果.
【详解】由题意可得，解得，
所以，展开式通项为，
令，解得，因此，展开式中的系数为.
故答案为：.
【点睛】本题考查利用二项式通项求指定项的系数，同时也考查了利用二项式系数比求参数，考查计算能力，属于中等题.
15. 在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a2ab+b2＝1，c＝1，则a﹣b的取值范围为_____．
【答案】
【解析】
【分析】
根据，，由余弦定理知，再根据正弦定理得到，，于是，最后利用三角函数性质就可求出相应的范围.
【详解】因为，，
所以.
.
因为，所以.
又因为，
所以，，.

.
因为，所以.
，
所以.
故答案为：
【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定义的应用，同时考查了三角函数的值域问题，属于中档题.
16. 已知函，，用max{m，n}表示m，n中的最大值，设．若在上恒成立，则实数a的取值范围为_____
【答案】
【解析】
【分析】
分别讨论当时，与的关系，可将问题转化为在上恒成立，运用参数分离和构造函数法，结合导数求得最大值，可得所求范围．
【详解】当时，，当时，，所以在必成立，
问题转化为在恒成立，由恒成立，可得
在恒成立，设，
则，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，

故a的取值范围是.
故答案为：
【点睛】本题考查利用导数研究不等式恒成立的问题，考查学生的逻辑推理能力、数学运算能力，是一道有一定难度的压轴填空题.
三、解答题（共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.）
（一）必考题：（共60分）
17. 甲乙两同学在复习数列时发现原来曾经做过一道数列问题，因纸张被破坏导致一个条件看不清，具体如下：等比数列的前项和为，已知__________.
（1）判断、、的关系；
（2）若，设，记的前项和为，证明：.
甲同学记得缺少的条件是首项的值，乙同学记得缺少的条件是公比的值，并且他俩都记得第一问的答案是、、成等差数列.如果甲乙两同学记得的答案是正确的，请你通过推理把条件补充完整并解答此题.
【答案】补充条件；（1）、、成等差数列；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）由题意可知，、、成等差数列，可得出，根据题意得出关于的等式，可求得的值；
（2）根据可求得的值，利用等比数列的通项公式可求得，进而求得数列的通项公式，利用错位相减法求得，进而可证明出.
【详解】（1）根据题意可知，、、成等差数列，则，
即，即，得，，，
因而补充的条件为；
（2），，，，
，则，
，
上述两式相减得，
因此，.
【点睛】本题考查等比数列前项和中基本量的计算，同时也考查了错位相减法，考查计算能力，属于中等题.
18. 如图1，在矩形中，，，点在线段上，.把沿翻折至的位置，平面，连结，点在线段上，，如图2.

（1）证明：平面；
（2）当三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）依题意得，可得出，，在线段上取一点，满足，可求出，结合得出，从而可证出四边形为平行四边形，所以，再利用线面平行的判定定理，即可证出平面；

（2）设到平面的距离为，三棱锥的体积最大时，即取到最大值，从而得出当平面平面时，取得最大值，此时，建立空间直角坐标系，利用向量法分别求出平面和平面的法向量，运用向量法求二面角的公式，即可得出二面角的余弦值.
【详解】（1）依题意得，在矩形中，，，，
所以，.
在线段上取一点，满足，
又因为，所以，
故，
又因为，所以，
因为，所以，
所以四边形为平行四边形，所以，
又因为平面，平面，
所以平面.

（2）设到平面的距离为，，又，
所以，故要使三棱锥的体积取到最大值，仅需取到最大值.
取的中点，连结，依题意得，则，
因为平面平面，，平面，
故当平面平面时，平面，.
即当且仅当平面平面时，取得最大值，此时.
如图，以为坐标原点，，的方向分别为轴，轴的正方向建立空间直角坐
标系，得，，，
，，

设是平面的一个法向量，
则
得令，解得，
又因为平面的一个法向量为，
所以，
因为为钝角，所以其余弦值等于
【点睛】本题考查线面平行的判定和面面垂直的性质以及空间向量法求二面角，还涉及棱锥的体积、向量数量积运算、正方形的性质，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．
19. 已知函数.
（1）求函数的极值；
（2）是否存在实数a，使方程有两个不同实数根？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）当时，无极值；当时，有极小值，无极大值；（2）存在，.
【解析】
【分析】
(1)对函数求导,根据a的不同取值范围,进行分类讨论得出函数的单调区间,求出函数的极值；
(2)根据(1)中函数的单调性,进行分类讨论,结合函数的极值的大小、,最后求出a的取值范围.
【详解】解：（1）由题意知的定义域为，.
①当时，，所以函数在上单调递减，此时函数无极值
②当时，令，得.
当时，，所以函数在上单调递减；
当时，，所以函数在上单调递增.
此时，函数有极小值，为，无极大值.
综上，当时，函数无极值；当时，函数有极小值，无极大值.
（2）假设存在实数a，使得方程有两个不同的实数根，即函数有两个不同的零点.
①当时，由（1）知函数在上单调递减，
所以方程不存在两个不同的实数根.
②当时，.
因为，所以由（1）知.
，令，
则，所以在上单调递减，
所以，所以.
此时，函数在上也有一个零点，
所以，当时，函数有两个不同的零点.
③当时，，，此时函数仅有一个零点
④当时，，因为，所以由（1）知.
令函数，则，当时，，单调递增，
所以当时，，所以，则.
又，所以函数在上也有一个零点，
所以，当时，函数有两个不同的零点
综上所述，当时，函数有两个不同的零点，即方程有两个不同的实数根
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的极值、零点问题,考查了分类讨论思想.属于难题.
20. 冰城哈尔滨是一座历史悠久、风景秀丽的城市，其著名的景点有索非亚教堂、中央大街、松花江等.

（1）为了解端午节当天松花江旅游景点游客年龄的分布情况，从年龄20岁到50岁的游客中随机抽取1000人，制成了如上的频率分布直方图.现从年龄在内的游客中，采用分层抽样的方法抽取10人，在从抽取的10人中随机抽取4人，记4人中年龄在内的人数为，求.
（2）为了给游客提供更舒适的旅游体验，该旅游景点游船中心计划在2020年端午节当日投入至少1艘至多3艘A型游船供游客乘坐观光.由2010到2019这10年间的数据资料显示每年端午节当日客流量X（单位：万人）都大于1，将每年端午节当日客流量数据分成3个区间整理得下表：
端午节当日客流量X

频数（年）
4
4
2

以这10年的数据资料记录的3个区间客流量的频率作为每年客流量在该区间段发生的概率，且每年端午节当日客流量相互独立.该游船中心希望投入的A型客船尽可能被充分利用，但每年端午节当日A型客船最多使用量（单位：艘）要受当日客流量X（单位：万人）的影响，其关联关系如下表：
端午节当日客流量X

A型游船最多使用量
1
2
3

若某艘A型游船在端午节当日被投入且被使用，则游船中心当日可获利润4万元；若当日被投入却不被使用，则游船中心当日亏损0.5万元.记Y（单位：万元）表示该游船中心在端午节当日获得的总利润，Y的数学期望越大游船中心在端午节当日获得的总利润就越大，问该游船中心在2020年端午节当日应投入多少艘A型游船才能使当日获得的总利润最大.
【答案】（1）；（2）3艘.
【解析】
【分析】
（1）先利用分层抽样计算出落在区间和的人数，再利用组合数计算的值；
（2）根据题目条件，分别计算投入1艘、2艘、3艘时利润的值及其分布列，计算期望并比较大小.
【详解】（1）由分层抽样得抽取10人中有6人，4人
.
（2）若投入1艘，利润为4万元
若投入2艘，利润为，分布列为

3.5
8

0.4
0.6

若投入3艘，利润为，分布列为

3
7.5
12

0.4
0.4
0.2

∴.投入3艘利润最大.
【点睛】本题考查分层抽样、几何分布概率计算方法、离散型随机变量的分布列及数学期望，考查分析与思考问题的能力，属于中档题.一般地，方案选择性问题难点在于计算各种情况下随机变量的所有取值及对应的概率.
21. 已知为坐标原点，椭圆的焦点分别为、，过的直线与交于、两点，且，.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过且斜率为的直线与椭圆交于、两点，，延长交椭圆于点，求四边形面积的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）设椭圆的方程为，推导出，可得知点为椭圆短轴的端点，不妨设点，根据得出，求出点的坐标，代入椭圆的方程可求得的值，进而可求得的值，即可得出椭圆的标准方程；
（2）设点、，可知直线的方程为，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，计算出面积关于的表达式，求出面积的取值范围，根据题意可知，进而可得出四边形面积的取值范围.
【详解】（1）设椭圆的方程为，
设，则，，
由椭圆定义可得，可得，所以，，
则点为椭圆短轴的端点，不妨设点，设点，
由可得，即，解得，即点，
将点的坐标代入椭圆的方程得，解得，，
因此，椭圆的标准方程为；

（2）设点、，可知直线的方程为，

联立，消去并整理得，，
由韦达定理得，，
所以，的面积为，
令，则，令，
由对勾函数的单调性可知，函数在区间上单调递增，则，
所以，当时，.
，所以，四边形为平行四边形，则，
易知点、关于原点对称，则，
因此，.
【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了椭圆中四边形面积取值范围的求解，考查了韦达定理设而不求法的应用，属于中等题.
（二）选考题：（共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.）
22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，是上的动点，M是OP的中点，点的轨迹为曲线.以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.
（1）求的极坐标方程；
（2）射线与的异于极点的交点为，与的异于极点的交点为求.
【答案】（1）：，：；（2）
【解析】
【分析】
（1）消参可得，将代入，即可得出的极坐标方程；利用相关点法求出点的轨迹方程，再利用普通方程与极坐标的互化即可求解.
（2）将代入的极坐标方程，求出点与点的极径，作差即可求解.
【详解】解:（1）消参可得，将代入，
可得的极坐标方程为，
设，由条件知，点在上，
所以(为参数) ，
所以的参数方程为(为参数)，
的极坐标方程为
射线与的交点的极径为
射线与的交点的极径为，
所以，
【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程互化、普通方程与极坐标方程的互化、极坐标法求两点间的距离，属于基础题.
23. 已知函数，.
（1）若，求不等式的解集；
（2）已知，若对任意，都存在，使得，求实数t的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）将代入中，然后根据，利用零点分段法解不等式即可；
（2）先利用绝对值三角不等式求出的最小值，利用基本不等式求出的范围，再结合条件得到关于的不等式，进一步求出的取值范围．
【详解】解：（1）若，则，
当时，，∴，
当时，，∴，
当时，，∴，
则综上的，不等式的解集为.
（2）∵，∴，
又，，
则，
当且仅当，即，时，
等号成立，所以，
根据题意，，∴t的取值范围是
【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式，基本不等式和不等式恒成立问题，考查了分类讨论思想和转化思想，属于中档题．