20142015学年高中数学北师大版必修二练习：2章解析几何初步综合能力检测.doc

第二章综合能力检测
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题　共50分)
一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1． 若直线l的倾斜角是直线y＝x－3的倾斜角的两倍，且经过点(2,4)，则直线l的方程为(　　)
A．y＝2x　　　　　　　 B．x＝4
C．x＝2 D．y＝2x－3
[答案]　C
[解析]　直线y＝x－3的斜率为1，其倾斜角等于45°，于是直线l的倾斜角等于90°，其斜率不存在，又因为它过点(2,4)，故l的方程为x＝2.
2．若点P(3,4)和点Q(a，b)关于直线x－y－1＝0对称，则(　　)
A．a＝1，b＝－2 B．a＝2，b＝－1
C．a＝4，b＝3 D．a＝5，b＝2
[答案]　D
[解析]　由解得
3．方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是(　　)
A．a<－2 B．－<a<0
C．－2<a<0 D．－2<a<
[答案]　D
[解析]　由D2＋E2－4F>0，得
a2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)>0，
解得－2<a<.
4．若直线(1＋a)x＋y＋1＝0与圆x2＋y2－2x＝0相切，则a的值为(　　)
A．1，－1 B．2，－2
C．1 D．－1
[答案]　D
[解析]　将圆x2＋y2－2x＝0的方程化为标准式
(x－1)2＋y2＝1，∴其圆心为(1,0)，半径为1.
若直线(1＋a)x＋y＋1＝0与该圆相切，则圆心到直线的距离d等于圆的半径r，
∴＝1，∴a＝－1.
5．已知A(2,5，－6)，点P在y轴上，|PA|＝7，则点P的坐标是(　　)
A．(0,8,0) B．(0,2,0)
C．(0,8,0)或(0,2,0) D．(0，－8,0)
[答案]　C
[解析]　点P在y轴上，可设为(0，y,0)，
因为|PA|＝7，A(2,5，－6)，
所以＝7，
解得y＝2或8.故选C.
6．在平面直角坐标系xOy中，直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝4相交于A、B两点，则弦AB的长等于(　　)
A．3 B．2
C． D．1
[答案]　B
[解析]　本题考查了直线与圆位置关系处理方法，弦长等知识，如图所示．

设AB的中点为D，则OD⊥AB，由点到直线距离公式得|OD|＝＝1.
∴AD2＝OA2－OD2＝4－1＝3，∴|AD|＝，
∴弦长|AB|＝2.
7． 已知A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|(x－5)2＋(y－5)2＝4}，则A∩B等于(　　)
A．∅ B．{(0,0)}
C．{(5,5)} D．{(0,0)，(5,5)}
[答案]　A
[解析]　集合A是圆O：x2＋y2＝1上所有点组成的，集合B是圆C：(x－5)2＋(y－5)2＝4上所有点组成的．又O(0,0)，r1＝1，C(5,5)，r2＝2，|OC|＝5，
∴|OC|>r1＋r2＝3.
∴圆O和圆C相离，无公共点．∴A∩B＝∅.
8．若直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＋kx－y＝0的两个交点恰好关于y轴对称，则k＝(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案]　A
[解析]　由得(1＋k2)x2＋2kx＝0，
∵两交点恰好关于y轴对称，∴－＝0，∴k＝0.
9．从原点向圆x2＋y2－6x＋＝0作两条切线，则两条切线间圆的劣弧长为(　　)
A．π B．π
C．π D．π
[答案]　B
[解析]　如图所示，数形结合，圆心C(3,0)

半径r＝，在Rt△OCA中，OC＝3，CA＝，
∴∠OCA＝60°
从而∠ACB＝120°，劣弧AB长l＝×＝π.
10．已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为(　　)
A．10 B．20
C．30 D．40
[答案]　B
[解析]　考题分析：本题考查圆的相关知识．
圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0得圆心(3,4)，半径为5.
由题意知，AC为圆的直径且BD⊥AC，
∴|BD|＝2＝4，|AC|＝10.
∴S四边形ABCD＝×4×10＝20，故选B.
第Ⅱ卷(非选择题　共100分)
二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上)
11．直线l过点(－5，－10)且在圆x2＋y2＝25上截得的弦长为5，则直线l的方程为________________．
[答案]　x－y－5＝0或7x－y＋25＝0
[解析]　若直线l的斜率不存在，则其直线方程为x＝－5，此时直线l与圆相切，不符合题意．
故设直线l的斜率为k，
其方程为y＋10＝k(x＋5)，即kx－y＋5k－10＝0
由()2＋()2＝25可得k＝1或k＝7.
即x－y－5＝0或7x－y＋25＝0为所求．
12．光线从点M(3，－2)照射到y轴上一点P(0,1)后，被y轴反射，则反射光线所在的直线方程为________．
[答案]　x－y＋1＝0
[解析]　点M(3，－2)关于y轴的对称点为M′(－3，－2)，故反射光线所在的直线方程为直线M′P，其方程为y－1＝x＝x，即x－y＋1＝0.
13．若圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的圆心C到直线l的距离为2，且l与直线3x＋4y－1＝0平行，则直线l的方程为________．
[答案]　3x＋4y＋5＝0或3x＋4y－15＝0
[解析]　圆心为(－1,2)．设所求的直线方程为3x＋4y＋D＝0(D≠－1)，由点到直线的距离公式，得＝2，即＝2，解得D＝5或－15.故所求的直线方程为3x＋4y＋5＝0或3x＋4y－15＝0.
14．以点A(2，－1)为圆心，在直线3x－4y＋10＝0上截得的弦长为6的圆的一般方程是________．
[答案]　x2＋y2－4x＋2y－20＝0
[解析]　点A到直线的距离d＝＝4.
又弦长为6，∴圆的半径为5.
故所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝25，
即x2＋y2－4x＋2y－20＝0.
15．已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l∶y＝x－1被该圆所截得的弦长为2，则圆C的标准方程为________．
[答案]　(x－3)2＋y2＝4
[解析]　设圆心C(a,0)，由已知a>0作CD⊥AB，则由|AB|＝2⇒AD＝，|CD|＝.

|CA|＝|a－1|，
由勾股定理得：()2＋()2＝(|a－1|)2
⇒a＝3或a＝－1，
又a>0，∴a＝3，∴r＝3－1＝2，
∴⊙C的方程为(x－3)2＋y2＝4.
三、解答题(本大题共6个小题，满分75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
16．(本小题满分12分)设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．
(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；
(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．
[解析]　(1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距都为零，当然相等．
则(a＋1)×0＋0＋2－a＝0，
∴a＝2，方程即3x＋y＝0；
若a≠2，由题设l在两轴上的截距存在，
∴＝a－2，即a＋1＝1，
∴a＝0，方程即x＋y＋2＝0.
∴l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.
(2)将l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2，
∴欲使l不经过第二象限，当且仅当
，∴a≤－1.
综上可知，a的取值范围是a≤－1.
17．(本小题满分12分)一束光线l自A(－3,3)发出，射到x轴上，被x轴反射后与圆C：x2＋y2－4x－4y＋7＝0有公共点．求：
(1)反射光线通过圆心C时，光线l所在直线的方程；
(2)在x轴上，反射点M的横坐标的取值范围．
[解析]　圆C的方程可化为(x－2)2＋(y－2)2＝1.
(1)圆心C关于x轴的对称点为C′(2，－2)，过点A，C′的直线方程为x＋y＝0，此即为光线l所在直线的方程．
(2)点A关于x轴的对称点为A′(－3，－3)，设过点A′的直线为y＋3＝k(x＋3)．当该直线与圆C相切时，有＝1，解得k＝或k＝.所以过点A′的圆C的两条切线方程分别为y＋3＝(x＋3)，y＋3＝(x＋3)．分别令y＝0，得x1＝－，x2＝1，所以在x轴上反射点M的横坐标的取值范围是[－，1]．
18．(本小题满分12分)已知圆C的圆心在直线x－3y＝0上，且圆C与y轴相切，若圆C截直线y＝x得弦长为2，求圆C的方程．
[解析]　设C(a，b)，半径为r>0，点C在x－3y＝0上，
∴a－3b＝0，
又C与y轴相切，
∴r＝|a|，
又圆C在y＝x上截弦长为2，
则圆心到y＝x的距离d＝，
∴
∴或
∴圆C方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9，
或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.
19．(本小题满分12分)(1)已知直线l：x－y＋1＝0，求l关于x轴对称的直线方程；
(2)已知圆M：x2＋y2＝4，求过点P(2,4)与圆M相切的切线方程．
[解析]　(1)方法一：∵所求直线与l关于x轴对称，
又k1＝，
∴所求直线斜率为－.
∵直线l与x轴交于点，
∴所求直线为y＝－，
即x＋y＋1＝0.
方法二：在直线l上取两点(0,1)，(，4)，
∵所求直线与l关于x轴对称，
∴点(0，－1)和(，－4)在所求直线上．
∴所求直线的斜率为k＝－，
∴所求直线为y＋1＝－x，
即x＋y＋1＝0.
(2)∵点P(2,4)不在圆O上，
∴可设切线PT为y＝k(x－2)＋4，
∵d＝r，∴＝2，解得k＝.
∴y＝(x－2)＋4，即3x－4y＋10＝0.
∵过圆外一点作圆的切线应该有两条，
∴另一条直线的斜率不存在，易求另一条切线为x＝2.
20．(本小题满分13分)直线y＝kx与圆x2＋y2－6x－4y＋10＝0相交于两个不同点A，B，当k取不同的实数值时，求AB中点的轨迹．
[解析]　方法一：联立方程，得

消去y，得(1＋k2)x2－(6＋4k)x＋10＝0.
设此方程的两根为x1，x2，AB的中点坐标为P(x，y)，
由根与系数的关系和中点坐标公式得
x＝＝＝，①
又∵P点在直线y＝kx上，
∴y＝kx，即k＝.②
将②代入①，得x＝(x≠0)，

整理得x2＋y2－3x－2y＝0.
∵点P始终在圆x2＋y2－6x－4y＋10＝0的内部，
∴点P的轨迹是圆x2＋y2－3x－2y＝0位于圆x2＋y2－6x－4y＋10＝0内的部分弧．
方法二：∵直线y＝kx过坐标原点，圆x2＋y2－6x－4y＋10＝0的圆心为C(3,2)，
设AB的中点为M，则MC⊥AB，
∴点M在以OC为直径的圆上，
此圆的圆心为(，1)，半径为，
其方程为(x－)2＋(y－1)2＝，
即x2＋y2－3x－2y＝0.
又∵点M在圆x2＋y2－6x－4y＋10＝0的内部，
∴轨迹是圆x2＋y2－3x－2y＝0位于圆x2＋y2－6x－4y＋10＝0内的部分弧．
21．(本小题满分14分)已知点P(2,0)及圆C：x2＋y2－6x＋4y＋4＝0.
(1)若直线l过点P且与圆心C的距离为1，求直线l的方程．
(2)设过点P的直线l1与圆C交于M，N两点，当|MN|＝4时，求以线段MN为直径的圆Q的方程．
(3)设直线ax－y＋1＝0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P(2,0)的直线l2垂直平分弦
AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．
[解析]　(1)直线l斜率存在时，设直线l的斜率为k，则方程为y－0＝k(x－2)，即kx－y－2k＝0.
又圆C的圆心为(3，－2)，半径r＝3，由＝1，解得k＝－.
所以直线方程为y＝－(x－2)，即3x＋4y－6＝0.
当l的斜率不存在时，l的方程为x＝2，经验证x＝2也满足条件．
即直线l的方程为3x＋4y－6＝0或x＝2.
(2)由于|CP|＝，而弦心距d＝＝，
所以d＝|CP|＝.
所以P恰为MN的中点．
故以MN为直径的圆Q的方程为(x－2)2＋y2＝4.
(3)把直线y＝ax＋1代入圆C的方程，消去y，整理得(a2＋1)x2＋6(a－1)x＋9＝0.
由于直线ax－y＋1＝0交圆C于A，B两点，
故Δ＝36(a－1)2－36(a2＋1)>0，
即－2a>0，解得a<0.
则实数a的取值范围是(－∞，0)．
设符合条件的实数a存在，
由于l2垂直平分弦AB，故圆心C(3，－2)必在l2上．所以l2的斜率kPC＝－2，而kAB＝a＝－，
所以a＝.由于∉(－∞，0)，
故不存在实数a，使得过点P(2,0)的直线l2垂直平分弦AB.