广东省2021年普通高中数学学业水平考试模拟测试卷(五)(含解析).docx

广东省2021年普通高中数学学业水平考试模拟测试卷（五）（含解析）

广东省2021年普通高中数学学业水平考试模拟测试卷（五）（含解析）

年级：
姓名：

2021年广东省普通高中学业水平考试数学模拟测试卷(五)
(时间:90分钟　满分:150分)
一、选择题(共15小题,每小题6分,共90分)
1.已知集合M={-1,0,1},N={0,1,2},则M∪N=(　　)

A.{-1,0,1,2} B.{-1,0,1}
C.{-1,0,2} D.{0,1}
2.点(3,4)在直线l:ax-y+1=0上,则直线l的倾斜角为(　　)
A.30° B.45° C.60° D.120°
3.已知a=(4,2),b=(6,y),且a⊥b,则y的值为(　　)
A.-12 B.-3
C.3 D.12
4.若a<b<0,则下列不等式:①|a|>|b|;②1a>1b;③ab+ba>2;④a2<b2中,正确的有(　　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5.已知α是第二象限角,sin α=513,则cos α=(　　)
A.-513 B.-1213 C.513 D.1213
6.下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,+∞)上单调递减的函数是(　　)
A.y=x-2 B.y=x-1
C.y=x2-2 D.y=log12x
7.不等式组x-3y+6≥0,x-y+2<0表示的平面区域是(　　)

8.一个容量为20的样本数据,分组后,组距与频数如下,
组距
(10,20]
(20,30]
(30,40]
(40,50]
(50,60]
(60,70]
频数
2
3
4
5
4
2

则样本在(10,50]上的频率为(　　)
A.120 B.14 C.12 D.710
9.cos 40°sin 80°+sin 40°sin 10°=(　　)
A.12 B.-32 C.cos 50° D.32
10.函数y=log2(x2-3x+2)的递减区间是(　　)
A.(-∞,1) B.(2,+∞)
C.-∞,32 D.32,+∞
11.从1,2,3,4,5中随机取出两个不同的数,其和为奇数的概率为(　　)
A.15 B.25
C.35 D.45
12.将函数y=sinx-π3的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将所得的图象向左平移π3个单位,得到的图象对应的解析式是(　　)
A.y=sin12x B.y=sin12x-π2
C.y=sin12x-π6 D.y=sin2x-π6
13.已知l,m,n为三条不同的直线,α,β,γ为三个不同的平面,则下列判断正确的是(　　)
A.若m∥α,n∥α,则m∥n
B.若m⊥α,n∥β,α⊥β,则m⊥n
C.若α∩β=l,m∥α,m∥β,则m∥l
D.若α∩β=m,α∩γ=n,l⊥m,l⊥n,则l⊥α
14.函数f(x)=log2x+x-2的零点所在的区间是(　　)
A.(0,1) B.(1,2)
C.(2,3) D.(3,4)

15.已知向量AC,AD和AB在正方形网格中的位置如图所示,若AC=λAB+μAD,则λ+μ=(　　)
A.2 B.-2
C.3 D.-3
二、填空题(共4小题,每小题6分,共24分)
16.函数y=ax-1+1(a>0,且a≠1)的图象恒过定点　　　　. 
17.等差数列{an}中,a2=3,a3+a4=9,则a1a6=　　　　. 
18.某学院A,B,C三个专业共有1 200名学生,为了调查这些学生勤工俭学的情况,拟用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本.已知该学院A专业有380名学生,B专业有420名学生,则该学院C专业应抽取　　　　名学生. 
19.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos C+ccos B=asin A,则∠A的度数为　　　　. 
三、解答题(共3小题,每小题12分,共36分)
20.已知向量a=cosx,-12,b=(3sin x,cos 2x),x∈R,设函数f(x)=a·b.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)在0,π2上的最大值和最小值.

21.如图,直三棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱)ABC-A1B1C1中,点G是AC的中点.
(1)求证:B1C∥平面A1BG;
(2)若AB=BC,AC=2AA1,求证:AC1⊥A1B.

22.已知函数f(x)=1+1x-xα(α∈R),且f(3)=-53.
(1)求α的值;
(2)求函数f(x)的零点;
(3)判断f(x)在(-∞,0)上的单调性,并给予证明.

答案：
1.A　【解析】因为集合M={-1,0,1},N={0,1,2},
所以M∪N={-1,0,1,2}.
2.C　【解析】∵点(3,4)在直线l:ax-y+1=0上,∴3a-4+1=0,∴a=3,即直线l的斜率为3,直线l的倾斜角为60°.
3.A　【解析】因为a=(4,2),b=(6,y),且a⊥b,
所以a·b=0,
即4×6+2y=0,
解得y=-12.
故选A.
4.C　【解析】对于①,根据不等式的性质,可知若a<b<0,则|a|>|b|,故正确;
对于②,若a<b<0,两边同除以ab,则aab<bab,即1b<1a,故正确;
对于③,若a<b<0,则ab>0,ba>0,根据基本不等式即可得到ab+ba>2,故正确;
对于④,若a<b<0,则a2>b2,故不正确.故选C.
5.B　【解析】∵α是第二象限角,sin α=513,
∴cos α=-1-5132=-1213.故选B.
6.A　【解析】∵y=x-1是奇函数,y=log12x不具有奇偶性,故排除B,D;又函数y=x2-2在区间(0,+∞)上是单调递增函数,故排除C.故选A.
7.B　【解析】由题意可知,(0,0)在x-3y+6=0的下方,满足x-3y+6≥0;
(0,0)在直线x-y+2=0的下方,不满足x-y+2<0.
故选B.
8.D　【解析】根据题意,样本在(10,50]上的频数为2+3+4+5=14,
所求的频率为P=1420=710.
故选D.
9.D　【解析】cos 40°sin 80°+sin 40°sin 10°=cos 40°cos 10°+sin 40°sin 10°=cos(40°-10°)=32.
10.A　【解析】由x2-3x+2>0,得x<1或x>2,又y=log2(x3-3x+2)的底数是2,所以在(-∞,1)上递减.故选A.
11.C　【解析】从1,2,3,4,5中随机取出两个不同的数,共有(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(2,3)(2,4)(2,5)(3,4)(3,5)(4,5)10种,和为奇数的有6种,故P=610=35.
12.C　【解析】将函数y=sinx-π3的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),可得函数y=sin12x-π3,再将所得的图象向左平移π3个单位,得函数y=sin12x+π3-π3,即y=sin12x-π6.故选C.
13.C　【解析】可采用排除法.A中平行于同一平面的两条直线可以平行,可以相交,也可以异面,所以A错误;B中直线m,n可以相交,可以平行,也可以异面,所以B错误;D中条件可推出m,n⊂α,且l⊥m,l⊥n,但m,n不一定相交,故不能推出l⊥α,所以D错误.故选C.
14.B　【解析】函数f(x)=log2x+x-2的图象在(0,+∞)上连续不断,
f(1)=0+1-2<0,f(2)=1+2-2>0,
故函数f(x)=log2x+x-2的零点所在的区间是(1,2).故选B.
15.A　【解析】设小正方形边长为1.以A为原点,AD所在直线为x轴,与AD垂直的直线为y轴建立直角坐标系,那么AD=(1,0),AB=(1,2),AC=(2,-2),那么λ+μ=2,2λ=-2,解得λ=-1,μ=3,所以λ+μ=2.故选A.
16.(1,2)　【解析】当x-1=0,即x=1时,y=2.
∴函数y=ax-1+1(a>0,且a≠1)的图象恒过定点(1,2).
17.14　【解析】由等差数列的通项公式可得,a3+a4=2a1+5d=9,a1+d=3,
所以a1=2,d=1,
所以a1a6=2×7=14.
18.40　【解析】抽样比为1∶10,而C学院的学生有1 200-380-420=400(名),所以按抽样比抽取40名.
19.90°　【解析】根据正弦定理,可得
sin Bcos C+sin Ccos B=sin2A⇔sin(B+C)=sin 2A,而sin(B+C)=sin A,所以sin A=sin 2A,所以sin A=1,所以∠A=90°.
20.【解】f(x)=cosx,-12·(3sin x,cos 2x)=3cos xsin x-12cos 2x=32sin 2x-12cos 2x=cosπ6sin 2x-sinπ6cos 2x=sin2x-π6.
(1)f(x)的最小正周期为T=2πω=2π2=π,即函数f(x)的最小正周期为π.
(2)∵0≤x≤π2,∴-π6≤2x-π6≤5π6.
由正弦函数的性质知,
当2x-π6=π2,即x=π3时,f(x)取得最大值1.
当2x-π6=-π6,即x=0时,f(x)取得最小值-12,
因此,f(x)在0,π2上的最大值是1,最小值是-12.
21.证明:(1)如图,连接AB1,交A1B于点O,连接OG.在△B1AC中,∵G,O分别为AC,AB1的中点,
∴OG∥B1C.
又∵OG⊂平面A1BG,B1C⊄平面A1BG,
∴B1C∥平面A1BG.

(2)∵在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,BG⊂平面ABC,
∴AA1⊥BG.
∵G为棱AC的中点,AB=BC,
∴BG⊥AC.
∵AA1∩AC=A,∴BG⊥平面ACC1A1,∴BG⊥AC1.
设AC=2,则AG=1,AA1=2.
在Rt△ACC1和Rt△A1AG中,
tan∠AC1C=tan∠A1GA=2,
∴∠AC1C=∠A1GA.
又∠AC1C+∠C1AC=90°,
∴∠A1GA+∠C1AC=90°,∴A1G⊥AC1.
∵BG∩A1G=G,
∴AC1⊥平面A1BG.
∵A1B⊂平面A1BG,∴AC1⊥A1B.
22.【解】(1)由f(3)=-53,得1+13-3α=-53,解得α=1.
(2)由(1),得f(x)=1+1x-x.
令f(x)=0,即1+1x-x=0,也就是x2-x-1x=0,
解得x=1±52.
经检验,x=1±52是1+1x-x=0的根,
所以函数f(x)的零点为1±52.
(3)函数f(x)=1+1x-x在(-∞,0)上是减函数.
证明如下:
设x1,x2∈(-∞,0),且x1<x2,
则f(x1)-f(x2)=1+1x1-x1-1+1x2-x2=(x2-x1)1x1x2+1.
因为x1<x2<0,所以x2-x1>0,x1x2>0,
所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
所以f(x)=1+1x-x在(-∞,0)上是减函数.