2021-2022学年高中数学-3-函数的概念与性质章末综合测评新人教A版必修第一册.doc

2021-2022学年高中数学 3 函数的概念与性质章末综合测评新人教A版必修第一册

2021-2022学年高中数学 3 函数的概念与性质章末综合测评新人教A版必修第一册

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章末综合测评(三)　函数的概念与性质
(满分：150分　时间：120分钟)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．函数f(x)＝＋的定义域是(　　 )
A．[－1，＋∞) B．(－∞，0)∪(0，＋∞)
C．[－1,0)∪(0，＋∞) D．R
C　[要使函数有意义，需满足即x≥－1且x≠0.]
2．已知f(x)＝则f(3)＝(　　 )
A．7　 B．2　　　
C．10　 D．12
D　[∵3>1，
∴f(3)＝32＋3＝12.]
3．已知函数f(x)＝x2－4x，x∈[1,5]，则函数f(x)的值域是(　　 )
A．[－4，＋∞) B．[－3,5]
C．[－4,5] D．(－4,5]
C　[由f(x)＝x2－4x＝(x－2)2－4，
当x＝2时，f(x)取到最小值－4，
当x＝5时，f(x)取得最大值5，
故值域为[－4,5]．]
4．函数f(x)＝ax3＋bx＋4(a，b不为零)，且f(5)＝10，则f(－5)等于(　　 )
A．－10 B．－2
C．－6 D．14
B　[∵f(5)＝125a＋5b＋4＝10，
∴125a＋5b＝6，
∴f(－5)＝－125a－5b＋4
＝－(125a＋5b)＋4
＝－6＋4＝－2.]
5．偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，若f(－2)＝1，则f(x－2)≤1的x的取值范围是(　　)
A．[0,2] B．[－2,2]
C．[0,4] D．[－4,4]
C　[因为函数f(x)是偶函数，f(－2)＝1，所以f(2)＝1.因为f(x－2)≤1，所以－2≤x－2≤2，解得0≤x≤4.故选C.]
6．下列选项中，两个函数表示同一个函数的是(　　)
A．y＝，y＝1
B．y＝()2，y＝|x|
C．f(x)＝|x|，g(x)＝
D．y＝，y＝
C　[A.y＝的定义域为{x|x≠0}，y＝1的定义域为R，定义域不同，不是同一个函数；B.y＝()2的定义域为[0，＋∞)，y＝|x|的定义域为R，不是同一个函数；C.f(x)＝|x|与g(x)＝定义域和对应关系相同，故是同一个函数；D.y＝＝|x－1|，y＝＝x－1，对应关系不同，不是同一个函数．]
7．已知二次函数y＝x2－2ax＋1在区间(2,3)内是单调函数，则实数a的取值范围是(　　 )
A．a≤2或a≥3 B．2≤a≤3
C．a≤－3或a≥－2 D．－3≤a≤－2
A　[y＝x2－2ax＋1＝(x－a)2＋1－a2，
由已知得，a≤2或a≥3.]
8．如果函数f(x)＝x2＋bx＋c对于任意实数t都有f(2＋t)＝f(2－t)，那么(　　 )
A．f(2)<f(1)<f(4) B．f(1)<f(2)<f(4)
C．f(4)<f(2)<f(1) D．f(2)<f(4)<f(1)
A　[由f(2＋t)＝f(2－t)，可知抛物线的对称轴是直线x＝2，再由二次函数的单调性，可得f(2)<f(1)<f(4)．]
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
9．下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的为(　　)
A．y＝x B．y＝x3
C．y＝－ D．y＝x4
AB　[对于A，y＝x为其定义域上的增函数，是奇函数，A正确；对于B，y＝x3为其定义域上的增函数，是奇函数，B正确；对于C，y＝－为奇函数，但只在(－∞，0)和(0，＋∞)上分别为增函数，不是整个定义域上的增函数，排除C；对于D，y＝x4为偶函数，排除D，选AB.]
10．函数y＝x在[－1,1]上是(　　)
A．增函数 B．减函数
C．奇函数 D．偶函数
AC　[由幂函数的性质知，当α＞0时，y＝xα在第一象限内是单调递增的，所以y＝x在(0,1]上单调递增．令y＝f(x)＝x，x∈[－1,1]，则f(－x)＝(－x)＝－x＝－f(x)，所以f(x)＝x是奇函数．
因为奇函数的图象关于原点对称，所以当x∈[－1,0)时，y＝x也是单调递增的．
当x＝0时，y＝0，又当x＜0时，y＝x＜0，当x＞0时，y＝x＞0，所以y＝x在[－1,1]上是增函数．
故y＝x在[－1,1]上是增函数且是奇函数．]
11．函数f(x)是定义在R上的奇函数，则下列结论正确的是(　　)
A．f(0)＝0
B．若f(x)在[0，＋∞)上有最小值－1，则f(x)在(－∞，0]上有最大值1
C．若f(x)在[1，＋∞)上单调递增，则f(x)在(－∞，－1]上单调递减
D．若x>0时，f(x)＝x2－2x，则x<0时，f(x)＝－x2－2x
ABD　[f(x)为R上的奇函数，则f(0)＝0，A正确；其图象关于原点对称，且在对称区间上具有相同的单调性，最值相反且互为相反数，所以B正确，C不正确；对于D，x<0时，－x>0，f(－x)＝(－x)2－2(－x)＝x2＋2x，又f(－x)＝－f(x)，所以f(x)＝－x2－2x，即D正确．]
12．已知二次函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－2,3]上的最大值为6，则a的值为(　　)
A．3 B．
C．5 D．－5
BD　[f(x)＝ax2＋2ax＋1＝a(x＋1)2＋1－a，对称轴x＝－1，
当a>0时，图象开口向上，在[－2,3]上的最大值为
f(3)＝9a＋6a＋1＝6，所以a＝；
当a<0时，图象开口向下，在[－2,3]上的最大值为
f(－1)＝a－2a＋1＝6，所以a＝－5.
综上，a的值为或－5.]
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．
13．已知函数f(x)＝则f(－3)＝________.
3　[∵－3＜0，∴f(－3)＝f(－3＋2)＝f(－1)＝f(－1＋2)＝f(1)．
∵1＞0，∴f(1)＝2×1＋1＝3，∴f(－3)＝3.]
14．函数f(x)＝在[－5，－4]上的值域是________．
　[函数f(x)＝在(－∞，－2)上单调递减，∵－5≤x≤－4，∴≤y≤，
即－≤y≤－1，值域为.]
15．已知函数f(x)＝若f(2－a2)>f(a)，则实数a的取值范围是________．

(－2,1)　[∵f(x)＝
由函数图象(图略)知f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
∴由f(2－a2)>f(a)，得a2＋a－2<0，解得－2<a<1.]
16．已知函数f(x－1)＝x2＋(2a－2)x＋3－2a.
(1)若函数f(x)在区间[－5,5]上为单调函数，则实数a的取值范围为________；
(2)若f(x)在区间[－5,5]上的最小值为－1，则a的值为________．(本题第一空2分，第二空3分)
(1)(－∞，－5]∪[5，＋∞)　(2)±　[令x－1＝t，则x＝t＋1，f(t)＝(t＋1)2＋(2a－2)·(t＋1)＋3－2a＝t2＋2at＋2，所以f(x)＝x2＋2ax＋2.
(1)因为f(x)图象的对称轴为x＝－a，
由题意知－a≤－5或－a≥5，
解得a≥5或a≤－5.
故实数a的取值范围为(－∞，－5]∪[5，＋∞)．
(2)当a>5时，f(x)最小值＝f(－5)＝27－10a＝－1，解得a＝(舍去)；
当－5≤a≤5时，f(x)最小值＝f(－a)＝－a2＋2＝－1，解得a＝±；
当a<－5时，f(x)最小值＝f(5)＝27＋10a＝－1，解得a＝－(舍去)．综上，a＝±.]
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)对于任意x∈R，函数f(x)表示－x＋3，x＋，x2－4x＋3中的较大者，求f(x)的最小值．
[解]　“函数f(x)表示－x＋3，x＋，x2－4x＋3中的较大者”是指对某个区间而言，函数f(x)表示－x＋3，x＋，x2－4x＋3中最大的一个．
如图，分别画出三个函数的图象，得到三个交点A(0,3)，B(1,2)，C(5,8)．
从图象观察可得函数f(x)的表达式：

f(x)＝
f(x)的图象是图中的实线部分，
图象的最低点是点B(1,2)，所以f(x)的最小值是2.
18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝|x－1|＋|x＋1|(x∈R)，
(1)证明：函数f(x)是偶函数；
(2)利用绝对值及分段函数知识，将函数解析式写成分段函数，然后画出函数图象；
(3)写出函数的值域．
[解]　(1)由于函数定义域是R，且f(－x)＝|－x－1|＋|－x＋1|＝|x＋1|＋|x－1|＝f(x)．
∴f(x)是偶函数．
(2)f(x)＝
图象如图所示：

(3)由函数图象知，函数的值域为[2，＋∞)．
19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝，f(x)为R上的奇函数且f(1)＝.
(1)求a，b；
(2)判断f(x)在[1，＋∞)上的单调性并证明；
(3)当x∈[－4，－1]时，求f(x)的最大值和最小值．
[解]　(1)∵f(x)为R上的奇函数，
∴f(0)＝0，得b＝0，
又f(1)＝＝，∴a＝1，
∴f(x)＝.
(2)f(x)在[1，＋∞)上为减函数，证明如下：
设x2＞x1≥1，
∴f(x2)－f(x1)＝－
＝
＝
＝.
∵x2＞x1≥1，∴x1x2－1＞0，x1－x2＜0，
∴f(x2)－f(x1)＜0，即f(x2)＜f(x1)，
∴f(x)在[1，＋∞]上为减函数．
(3)∵f(x)为奇函数且f(x)在[1，＋∞)上是减函数，
∴f(x)在(－∞，－1]上为减函数，
又x∈[－4，－1]，
∴f(x)的最大值为f(－4)＝－，f(x)的最小值为f(－1)＝－.
20．(本小题满分12分)大气中的温度随着高度的上升而降低，根据实测的结果上升到12 km为止温度的降低大体上与升高的距离成正比，在12 km以上温度一定，保持在－55 ℃.
(1)当地球表面大气的温度是a ℃时，在x km的上空为y ℃，求a、x、y间的函数关系式；
(2)问当地表的温度是29 ℃时，3 km上空的温度是多少？
[解]　(1)由题设知，可设y－a＝kx(0≤x≤12，k＜0)，即y＝a＋kx.
依题意，当x＝12时，y＝－55，
∴－55＝a＋12k，
解得k＝－.
∴当0≤x≤12时，y＝a－(55＋a)．
又当x＞12时，y＝－55.
∴所求的函数关系式为
y＝
(2)当a＝29，x＝3时，y＝29－(55＋29)＝8，
即3 km上空的温度为8 ℃.
21．(本小题满分12分)已知f(x)是二次函数，且满足f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝2x＋3.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)设h(x)＝f(x)－2tx，当x∈[1,3]时，求函数h(x)的最小值．
[解]　(1)设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，∴f(0)＝c＝2，
∵f(x＋1)－f(x)＝2x＋3，
∴[a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c]－(ax2＋bx＋c)＝2x＋3，
即2ax＋a＋b＝2x＋3，
∴∴a＝1，b＝2，
∴f(x)＝x2＋2x＋2.
(2)由(1)知h(x)＝x2＋(2－2t)x＋2，x∈[1,3]，
∴h(x)的对称轴为x＝t－1，
当t－1≤1，即t≤2时，h(x)在[1,3]单调递增，
∴h(x)min＝h(1)＝5－2t，
当1<t－1<3，即2<t<4时，h(x)在(1，t－1)递减，在(t－1,3)递增，∴h(x)min＝h(t－1)＝－t2＋2t＋1，
当t－1≥3，即t≥4时，h(x)在[1,3]单调递减，
∴h(x)min＝h(3)＝17－6t.
综上：当t≤2时，h(x)min ＝5－2t；
当2<t<4时，h(x)min＝－t2＋2t＋1；
当t≥4时，h(x)min＝17－6t.
22．(本小题满分12分)设函数f(x)的定义域为U＝{x|x∈R且x>0}，且满足条件f(4)＝1.对任意的x1，x2∈U，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，且当x1≠x2时，有>0.
(1)求f(1)的值；
(2)如果f(x＋6)＋f(x)>2，求x的取值范围．
[解]　(1)因为对任意的x1，x2∈U，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，
所以令x1＝x2＝1，得f(1×1)＝f(1)＋f(1)＝2f(1)，所以f(1)＝0.
(2)设0<x1<x2，则x2－x1>0.
又因为当x1≠x2时，>0，
所以f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)＞f(x1)，
所以f(x)在定义域内为增函数．
令x1＝x2＝4，得f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝1＋1＝2，
即f(16)＝2.
当即x>0时，
原不等式可化为f[x(x＋6)]>f(16)．
又因为f(x)在定义域上为增函数，
所以x(x＋6)>16，解得x>2或x<－8.
又因为x>0，所以x>2.
所以x的取值范围为(2，＋∞)．