2021-2022学年高中数学-第二章-点、直线、平面之间的位置关系-2.1.3-空间中直线与平面之.doc
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2021-2022学年高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系 2.1.4 平面与平面之间的位置关系学案 新人教A版必修2 2021-2022学年高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系 2.1.4 平面与平面之间的位置关系学案 新人教A版必修2 年级: 姓名: 2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系 2.1.4 平面与平面之间的位置关系 学 习 目 标 核 心 素 养 1.了解直线与平面的三种位置关系,并会用图形语言和符号语言表示.(重点、易错点) 2.了解不重合的两个平面之间的两种位置关系,并会用图形语言和符号语言表示.(难点) 通过对直线与平面位置关系和对平面与平面位置关系的学习,培养逻辑推理、直观想象的数学核心素养. 1.直线与平面的位置关系 位置关系 直线在平面内 直线在平面外 直线与平面相交 直线与平面平行 公共点 无数个公共点 1个 0个 符号表示 a⊂α a∩α=A a∥α 图形表示 思考:“直线与平面不相交”与“直线与平面没有公共点”是一回事吗? [提示] 不是.前者包括直线与平面平行及直线在平面内这两种情况,而后者仅指直线与平面平行. 2.两个平面的位置关系 位置关系 平行 相交 图示 表示法 α∥β α∩β=a 公共点个数 0个 无数个 思考:分别位于两个平行平面内的两条直线的位置关系是什么? [提示] 分别位于两个平行平面内的直线一定无公共点,故它们的位置关系是平行或异面. 1.直线l与平面α有两个公共点,则( ) A.l∈α B.l∥α C.l与α相交 D.l⊂α D [根据公理1可知,l⊂α.] 2.若M∈平面α,M∈平面β,α、β为不同的平面,则平面α与β的位置关系是( ) A.平行 B.相交 C.重合 D.不确定 B [由公理可知,平面α与平面β相交.] 3.已知直线a,b分别在两个不同的平面α,β内.则下列说法正确的是________(填序号). ①若直线a和直线b相交,则平面α和平面β相交; ②若平面α和平面β相交,则直线a和直线b相交. ① [若直线a,b相交,设交点为P,则P∈a,P∈b.又a⊂α,b⊂β,所以P∈α,P∈β,故α,β相交.反之,若α,β相交,则a,b可能相交,也可能异面或平行.] 直线与平面位置关系的判定 【例1】 (1)若直线上有一点在平面外,则下列结论正确的是( ) A.直线上所有的点都在平面外 B.直线上有无数多个点都在平面外 C.直线上有无数多个点都在平面内 D.直线上至少有一个点在平面内 B [直线上有一点在平面外,则直线不在平面内,故直线上有无数多个点在平面外.] (2)下列说法中,正确的个数是( ) ①如果两条平行直线中的一条和一个平面相交,那么另一条直线也和这个平面相交; ②经过两条异面直线中的一条直线,有一个平面与另一条直线平行; ③两条相交直线,其中一条与一个平面平行,则另一条一定与这个平面平行. A.0 B.1 C.2 D.3 C [易知①正确,②正确.③中两条相交直线中一条与平面平行,另一条可能平行于平面,也可能与平面相交,故③错误.选C.] 直线与平面位置关系的判断 (1)空间直线与平面位置关系的分类是解决问题的突破口,这类判断问题,常用分类讨论的方法解决.另外,借助模型(如正方体、长方体等)也是解决这类问题的有效方法. (2)要证明直线在平面内,只要证明直线上两点在平面α内,要证明直线与平面相交,只需说明直线与平面只有一个公共点,要证明直线与平面平行,则必须说明直线与平面没有公共点. 1.以下命题(其中a,b表示直线,α表示平面),①若a∥b,b⊂α,则a∥α;②若a∥α,b∥α,则a∥b;③若a∥b,b∥α,则a∥α;④若a∥α,b⊂α,则a∥b.其中正确命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 A [如图所示,在长方体ABCDA′B′C′D′中, AB∥CD,AB⊂平面ABCD,但CD⊂平面ABCD,故①错误;A′B′∥平面ABCD,B′C′∥平面ABCD,但A′B′与B′C′相交,故②错误;AB∥A′B′,A′B′∥平面ABCD,但AB⊂平面ABCD,故③错误;A′B′∥平面ABCD,BC⊂平面ABCD,但A′B′与BC异面,故④错误.] 平面与平面位置关系的判定 [探究问题] 1.若一个平面内的任意一条直线都与另一个平面平行,那么这两个平面之间有什么位置关系? [提示] 因为一个平面内任意一条直线都与另一个平面平行,所以该平面与另一平面没有公共点,根据两平面平行的定义知,这两个平面平行. 2.平面α内有无数条直线与平面β平行,那么α∥β是否正确? [提示] 不正确.如图,设α∩β=l,则在平面α内与l平行的直线可以有无数条直线a1,a2,…,an,它们是一组平行线,这时a1,a2,…,an与平面β都平行,但此时α不平行于β,而α∩β=l. 【例2】 (1)如果在两个平面内分别有一条直线,这两条直线互相平行,那么两个平面的位置关系一定是( ) A.平行 B.相交 C.平行或相交 D.不能确定 C [逆向考虑画两平行面,看是否能在此两面内画两条平行线.同样画两相交面,看是否能在此两面内画两条平行线,再作出选择(如图所示). ] (2)完成下列作图: ①在图中画出一个平面与两个平行平面相交. ②在图中分别画出三个两两相交的平面. [解] ①如图所示, ②如图所示, 1.平面与平面的位置关系的判断方法 (1)平面与平面相交的判断,主要是以公理3为依据找出一个交点. (2)平面与平面平行的判断,主要是说明两个平面没有公共点. 2.常见的平面和平面平行的模型 (1)棱柱、棱台、圆柱、圆台的上下底面平行; (2)长方体的六个面中,三组相对面平行. 2.三个平面最多能把空间分为________部分,最少能把空间分成________部分. 8 4 [三个平面可将空间分成4,6,7,8部分,所以三个平面最少可将空间分成4部分,最多分成8部分.] 3. 试画出相交于一点的三个平面. [解] 如图所示(不唯一). 1.空间中直线与平面的位置关系有两种分类方式 (1) (2) 2.判断直线与平面及平面与平面位置关系的常用方法 (1)定义法:借助线面、面面位置关系的定义判断; (2)模型法:借助长方体等熟悉的几何图形进行判断,有时起到事半功倍的效果; (3)反证法:反设结论进行推导,得出矛盾,达到准确的判断位置关系的目的. 1.已知直线a在平面α外,则( ) A.a∥α B.直线a与平面α至少有一个公共点 C.a∩α=A D.直线a与平面α至多有一个公共点 D [直线a在平面α外,则直线a与平面α平行或相交,故直线a与平面α至多有一个公共点.选D.] 2.如果直线a∥平面α,那么直线a与平面α内的( ) A.仅有一条直线不相交 B.仅有两条直线不相交 C.无数条直线相交 D.任意一条直线不相交 D [直线a∥平面α,则a与α无公共点,与α内的任一直线均无公共点.] 3.下列命题正确的是( ) A.直线a∥α,直线b⊂α,则a∥b B.若a⊂α,b⊄α,则a与b没有公共点 C.若a⊄α,则a∥α或a与α相交 D.若a∥α,b∥α,则a∥b C [A中条件下,a与b还可能异面;B中b⊄α时,可能b与α相交,那么a与b也可能相交;D中,a与b可能平行,可能相交,也可能异面,只有C是正确的.] 4.下列命题: ①两个平面有无数个公共点,则这两个平面重合; ②若l,m是异面直线,l∥α,m∥β,则α∥β. 其中错误命题的序号为________. ①② [①中两个平面也可能相交;②α与β可能平行也可能相交.] 5.如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,分别指出直线B1C,D1B与正方体六个面所在平面的关系. [解] 根据图形,直线B1C⊂平面B1C,直线B1C∥平面A1D,与其余四个面相交,直线D1B与正方体六个面均相交.- 配套讲稿:
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