必修四任意角的三角函数(二)(附答案).doc

(完整word)必修四任意角的三角函数(二)(附答案)
　任意角的三角函数(二）
[学习目标］　1.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域。2。了解三角函数线的意义,能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切。3.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题．

知识点一　三角函数的定义域
正弦函数y＝sin x的定义域是R；余弦函数y＝cos x的定义域是R;正切函数y＝tan x的定义域是{x|x∈R且x≠kπ＋，k∈Z｝．
思考　函数y＝的定义域为________________．
答案　{x｜2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z｝
知识点二　三角函数线
如图,设单位圆与x轴的正半轴交于点A,与角α的终边交于P点．过点P作x轴的垂线PM，垂足为M，过A作单位圆的切线交OP的延长线(或反向延长线）于T点．单位圆中的有向线段MP、OM、AT分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线．记作:sin α＝MP,cos α＝OM,tan α＝AT。

思考　作出下列各角的正弦线、余弦线和正切线．
(1）－；　(2）；　（3）π。
答案　

题型一　已知三角函数值，利用三角函数线求角
例1　在单位圆中画出满足sin α＝的角α的终边，并求角α的取值集合．
解　已知角α的正弦值，可知MP＝,则P点纵坐标为.所以在y轴上取点.过这点作x轴的平行线,交单位圆于P1，P2两点，则OP1，OP2是角α的终边，因而角α的集合为{α｜α＝2kπ＋或α＝2kπ＋,k∈Z｝．

跟踪训练1　根据下列三角函数值，作角α的终边，然后求角的取值集合：（1）cos α＝；（2)tan α＝－1。
解　(1)因为角α的余弦值为，所以OM＝,则在x轴上取点(,0)，过该点作x轴的垂线,交单位圆于P1，P2两点，OP1，OP2是所求角α的终边，α的取值集合为:｛α｜α＝2kπ±,k∈Z}．
(2）因为角α的正切值等于－1，所以AT＝－1在单位圆上过点A（1,0)的切线上取AT＝－1，连接OT，OT所在直线与单位圆位于P1，P2两点，OP1，OP2是角α的终边，则角α的取值集合是{α|α＝2kπ＋或α＝2kπ＋，k∈Z｝＝｛α|α＝nπ＋,n∈Z｝．

题型二　利用三角函数线解不等式
例2　利用单位圆中的三角函数线，分别确定角θ的取值范围．
（1）sin θ≥； （2）－≤cos θ〈.
解　（1)图①中阴影部分就是满足条件的角θ的范围，即.
(2)图②中阴影部分就是满足条件的角θ的范围，即
。

跟踪训练2　如果<α〈,那么下列不等式成立的是(　　)
A．cos α<sin α〈tan α
B．tan α<sin α〈cos α
C．sin α<cos α〈tan α
D．cos α<tan α<sin α
答案　A
解析　如图所示,在单位圆中分别作出α的正弦线MP、余弦线OM、正切线AT，很容易地观察出OM〈MP〈AT，即cos α<sin α〈tan α。
题型三　求三角函数的定义域
例3　求下列函数的定义域．
(1)f（x）＝；
(2)f(x）＝lg sin x＋.
解　（1)∵要使函数f(x)有意义，
∴sin x·tan x≥0，
∴sin x与tan x同号或sin x·tan x＝0，
故x是第一、四象限的角或终边在x轴上的角．
∴函数的定义域为{x｜2kπ－<x<2kπ＋或
x＝（2k＋1)π，k∈Z}．
（2)由题意，要使f（x)有意义，则
由sin x>0得2kπ<x〈2kπ＋π（k∈Z),①
由9－x2≥0得－3≤x≤3，②
由①②得:f（x)的定义域为｛x|0＜x≤3｝．

跟踪训练3　求函数f(x）＝＋ln的定义域．
解　由题意,得自变量x应满足不等式组
　即
则不等式组的解的集合如图（阴影部分)所示，
即定义域为
。

利用三角函数线证明三角不等式

例4　当α∈时，求证：sin α〈α〈tan α.
证明　如图所示，在直角坐标系中作出单位圆，α的终边与单位圆交于P，α的正弦线、正切线为有向线段MP，AT，则MP＝sin α，AT＝tan α.
因为S△AOP＝OA·MP＝sin α，
S扇形AOP＝αOA2＝α，
S△AOT＝OA·AT＝tan α,
又S△AOP<S扇形AOP〈S△AOT，
所以sin α<α〈tan α,即sin α<α〈tan α.

1．下列四个命题中:
①α一定时 ,单位圆中的正弦线一定；
②单位圆中,有相同正弦线的角相等；
③α和α＋π有相同的正切线；
④具有相同正切线的两个角终边在同一条直线上．
不正确命题的个数是（　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
2.如图在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是(　　)
A．正弦线PM，正切线A′T′
B．正弦线MP，正切线A′T′
C．正弦线MP，正切线AT
D．正弦线PM，正切线AT
3．在［0，2π］上，满足sin x≥的x的取值范围为（　　)
A。 B。
C. D。
4．如果〈θ<π，那么下列各式中正确的是(　　）
A．cos θ〈tan θ<sin θ
B．sin θ〈cos θ〈tan θ
C．tan θ<sin θ〈cos θ
D．cos θ<sin θ〈tan θ

5．利用三角函数线比较下列各组数的大小(用“>”或“<”连接)：
(1)sin π________sin π；
（2)cos π________cos π;
(3)tanπ________tanπ.

一、选择题
1．下列说法不正确的是(　　)
A．当角α的终边在x轴上时,角α的正切线是一个点
B．当角α的终边在y轴上时，角α的正切线不存在
C．正弦线的始点随角的终边位置的变化而变化
D．余弦线和正切线的始点都是原点
2．函数y＝tan的定义域为（　　)
A. B。
C. D.
3．设a＝sin(－1),b＝cos(－1)，c＝tan（－1）,则有(　　)
A．a〈b<c B．b〈a〈c
C．c<a〈b D．a〈c〈b
4．若0〈α〈2π，且sin α<，cos α〉，则角α的取值范围是（　　）
A．(－，） B．（0，）
C．（，2π） D．（0，）∪(，2π）
5．有三个命题：①和的正弦线长度相等；②和的正切线相同；③和的余弦线长度相等．其中正确说法的个数为(　　）
A．1 B．2 C．3 D．0
6．若sin2x>cos2x，则x的取值范围是(　　)
A．{x｜2kπ－π〈x〈2kπ＋π，k∈Z｝ B．{x｜2kπ＋<x〈kπ＋π，k∈Z｝
C．｛x|kπ－〈x<kπ＋，k∈Z｝ D．{x｜kπ＋〈x〈kπ＋π，k∈Z}
7．函数y＝lg cos x的定义域为________________．
8．集合A＝［0，2π］，B＝{α|sin α〈cos α}，则A∩B＝______________.
9．不等式tan α＋〉0的解集是_______________________________________．
10．函数f(x)＝的定义域为________________．

三、解答题
11．在单位圆中，画出适合下列条件的角α的终边．
（1)sin α＝； (2)cos α＝－.

12．利用三角函数线，写出满足下列条件的角α的集合：
(1）sin α≥； (2）cos α≤.

13．设θ是第二象限角，试比较sin ，cos ，tan 的大小．

当堂检测答案
1．答案　B
解析　由三角函数线的定义①③④正确，②不正确．
2。答案　C
3．答案　B
4．答案　A
解析　由于<θ〈π，如图所示，正弦线MP、余弦线OM,正切线AT，由此容易得到OM<AT〈0〈MP,故选A.
5．答案　（1）>　（2）〉　（3）〈

课时精练答案
一、选择题
1．答案　D
解析　根据三角函数线的概念，A、B、C是正确的,只有D不正确,因为余弦线的始点在原点而正切线的始点在单位圆与x轴正半轴的交点上．
2．答案　C
解析　∵x－≠kπ＋,k∈Z，∴x≠kπ＋，k∈Z.
3．答案　C
解析　如图,作α＝－1的正弦线、余弦线、正切线可知：
b＝OM〉0，a＝MP〈0，
c＝AT〈0，且MP>AT。
∴b>a>c，即c<a<b.
4．答案　D
解析　α取值范围为图中阴影部分，即（0，)∪（，2π）．

5．答案　C
解析　和的正弦线关于y轴对称，长度相等；和两角的正切线相同；和的余弦线长度相等．故①②③都正确，故选C.
6．答案　D
解析　sin2x〉cos2x⇔|sin x｜>|cos x｜。
在直角坐标系中作出单位圆及直线y＝x及y＝－x.如图，
根据三角函数线的定义知角x的终边落在图中的阴影部分,不含边界,故选D。
7．答案　｛x｜2kπ－〈x<2kπ＋，k∈Z}
8．答案　∪
9．答案　
解析　不等式的解集如图所示（阴影部分），
∴。
10．答案　［kπ－，kπ＋]，k∈Z
解析　∵cos2x≥sin2x，即|cos x｜≥|sin x|，
如图所示，f（x)的定义域为[kπ－，kπ＋]，k∈Z.
三、解答题
11．解　(1）作直线y＝交单位圆于P、Q两点，则OP与OQ为角α的终边，如图甲．

（2）作直线x＝－交单位圆于M、N两点，则OM与ON为角α的终边,如图乙．
12．解　(1)由图①知：当sin α≥时，角α满足的集合为.

（2)由图②知：当cos α≤时,角α满足的集合为
。
13．解　θ是第二象限角,
即2kπ＋<θ〈2kπ＋π(k∈Z）,
故kπ＋<〈kπ＋(k∈Z)．
作出所在范围如图所示．
当2kπ＋〈〈2kπ＋(k∈Z)时，
cos 〈sin 〈tan 。
当2kπ＋<〈2kπ＋π（k∈Z）时，
sin 〈cos <tan .

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