解析几何综合题型分析及解题策略.doc

个人收集整理 勿做商业用途专题四：解析几何综合题型分析及解题策略【命题趋向】纵观近三年的高考题,解析几何题目是每年必考题型,主要体现在解析几何知识内的综合及与其它知识之间的综合,如08年08年江西理7文7题(5分）是基础题，考查与向量的交汇、08年天津文7题(5分)是基础题,考查圆锥曲线间的交汇、08年08徽理22题（12分)难度中档偏上，考查圆锥曲线与向量、直线与圆锥曲线的综合、08年福建21题(12分)难度中档偏上,考查圆锥曲线与不等式的交汇、08年湖北理19题(12分）中等难度，考查直线、圆与圆锥曲线的综合题、08年江苏21题（12分）中档偏下题，考查解析几何与三角函数的交汇，等等.预计在09年高考中解答题仍会重点考查直线与圆锥曲线的位置关系，同时可能与平面向量、导数相交汇，每个题一般设置了两个问,第（1）问一般考查曲线方程的求法，主要利用定义法与待定系数法求解，而第(2)问主要涉及最值问题、定值问题、对称问题、轨迹问题、探索性问题、参数范围问题等。这类问题综合性大，解题时需根据具体问题,灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确构造不等式，体现了解析几何与其他数学知识的密切联系。这体现了考试中心提出的“应更多地从知识网络的交汇点上设计题目，从学科的整体意义、思想含义上考虑问题”的思想。个人收集整理，勿做商业用途个人收集整理，勿做商业用途【考试要求】1 掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据 直线的方程判断两条直线的位置关系2了解线性规划的意义，并会简单的应用3掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念。理解圆的参数方程4掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程5掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质6掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质【考点透视】解析几何是高中数学的重要内容，包括直线和圆与圆锥曲线两部分,而直线和圆单独命为解答题较少，只有极个别的省市高考有出现,而圆锥曲线是解析几何的核心内容，每年在全国及各省市的高考中均出现.主要考查热点: （1)直线的方程、斜率、倾斜角、距离公式及圆的方程； （2）直线与直线、直线与圆的位置关系及对称问题等； （3）圆锥曲线的定义及标准方程; （4）与圆锥曲线有关的轨迹问题; （5)与圆锥曲线有关的最值、定值问题； （6）与平面向量、数列及导数等知识相结合的交汇试题.【典例分析】题型一直线与圆的位置关系此类题型主要考查:（1）判断直线与圆的三种位置关系是：相离、相切、相交；（2）运用三种位置关系求参数的值或取值范围；（3）直线与圆相交时，求解弦长、弦的中点问题及轨迹问题.【例1】若直线3x4ym0=0与圆x2y22x4y40没有公共点，则实数m的取值范围是_.【分析】利用点到直线的距离来解决。【解】圆心为(1，2），要没有公共点，根据圆心到直线的距离大于半径，得dr1，即m55，m（，0）(10,)。【点评】解答此类题型的思路有:判别式法(即方程法)，平面几何法（运用d与r的关系)，数形结合法。由于圆的特殊性（既是中心对称图形又是轴对称），因此解答直线与圆的位置关系时一般不利用判别式法,而利用平面几何法求解，即利用半径r、圆心到直线的距离d的求解。题型二圆锥曲线间相互依存抛物线与椭圆、双曲线的依存关系表现为有相同的焦点、准线重合、准线过焦点等形式,只要对三种圆锥曲线的概念与性质掌握得好，处理这类问题的困难不大。【例2】（2009届大同市高三学情调研测试)设双曲线以椭圆1长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点,则双曲线的渐近线的斜率为（ ）A2BCD【分析】根据椭圆的两个端点坐标确定双曲线的焦点坐标,再根据椭圆的焦点得到双曲线的准线方程，由此得到关于双曲线关于a、c的值，进而得到b的值，再进一步求得渐近线的斜率。【解】由椭圆方程知双曲线的焦点为(5，0）,即c5，又同椭圆的焦点得4，所以a2，则b，故双曲线渐近线的斜率为，故选D.【点评】本题主要考查椭圆与双曲线的标准方程、几何性质及相关几何量之间的相互关系.本题主要体现为有相同的焦点、准线重合、准线过焦点等形式的圆锥曲线间交汇，解答时主要根据这两种曲线的相同点建立关于基本量a、b、c、p之间的方程，再通过解方程求出相关基本量值，进而求取相关的问题。题型三直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系主要考查三种题型：一是判断已知直线与已知曲线的位置关系；二是根据直线与圆锥曲线的位置关系,求直线或曲线方程的参数问题;三是求直线与圆锥曲线相交时所得弦长、弦的中点及轨迹问题等。解答此类题型的一般方法化为二次方程,利用判别式与韦达定理来求解。【例3】(2009届东城区高中示范校高三质量检测题）已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2，0），实轴长为2（）求双曲线C的方程；（）若直线l：ykx与双曲线C左支交于A、B两点，求k的取值范围；（）在(）的条件下，线段AB的垂直平分线l0与y轴交于M(0，b）,求b的取值范围【分析】第(1)小题利用直接法求解；第（)小题将直线与双曲线方程联立消去y，然后利用判别式及韦达定理求解；第(）小题须利用“垂直与“平分”联系两条直线斜率间的关系及中点坐标公式建立b关于斜率k的表达式，结合第（)小题k的范围求解。【解】（）设双曲线方程为1（a0，b0）,由已知，得a，c2，b2c2a21，故双曲线方程为y21。20090318(）设A(xA，yA），B(xB，yB )，将ykx代入y21,得(13k2）x26kx90由题意知，解得，k1当k1时，l与双曲线左支有两个交点(）由（）得:xAxB ，yAyB（kxA)(kxB）k(xAxB）2AB中点P的坐标为(，)设l0方程为：yxb,将P点坐标代入l0方程，得bk1，213k20，b2b的取值范围为：（，2)【点评】本题主要考查利用直接法求双曲线标准方程、直线与圆锥曲线位置关系不等式的解法等知识，以及考查函数与方程的思想、转化与化归的思想,考查逻辑思维能力及运算能力。直线与圆锥曲线位置关系的主要涉及到交点个数问题、中点问题、弦长问题、最值与定值问题等,解答时往往通过消元最终归结为一元二次方程来进行解决。特别地:（1)如果遇到弦的中点与斜率问题则考虑利用“点差法”较为简单，但须注意对结果进行检验；（2）求最值与参数的范围时注意确定自变量的范围；(3)过焦点的弦长问题一般利用圆锥曲线的统一定义进行转化可大大减少运算量.题型四圆锥曲线与三角函数的交汇此类试题主要体现在以三角函数为直线方程、圆的方程或圆锥曲线方程的系数,或根据三角函数满足的等式求解解析几何问题，或利用三角为工具研究解析几何问题等,解答时一般要根据所涉及到的解析几何知识及三角知识，将它们有机的结合在一起进行解答.【例4】(08年高考新课标各地联考考场全真提高测试）已知a是三角形的一个内角,且sinacosa,则方程x2tanay2cota1表示( )A焦点在x轴上的双曲线B焦点在y轴上的双曲线C焦点在x轴上的椭圆D焦点在y轴上的椭圆【分析】首先利用同角三角函数的基本关系可求得正弦函数与余弦函数值,进而具体化圆锥曲线方程,再根据方程进行判断.【解】由sinacosa及sin2acos2a1，且0a，解得sina，cosa，因此x2tanay2cota1就是1,表示焦点在x轴上的双曲线，故选A.【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系及双曲线方程的识别。解答的关键是求得sin与cos的值,以及会根据圆锥曲线方程识别曲线类型的能力.题型五圆锥曲线与向量的交汇圆锥曲线与向量知识交汇在一起的综合题,以复杂多变、综合性强、解法灵活,知识覆盖面广，注重考查逻辑推理能力、解题实践能力和数学思想方程应用能力。在解题中需要把握住知识间的联系，注意借助转化的思想、方程思想等。【例5】（2009届湖南省高考模拟题）在直角坐标平面中，ABC的两个顶点A、B的坐标分别为A（1，0）、B(1，0)，平面内两点G,M同时满足下列条件：；|：.（)求ABC的顶点C的轨迹方程;（）过点P(3，0)的直线l与（)中轨迹交于E，F两点，求的取值范围。【分析】由于涉及到的动点有三个,因此采用设而不求思想先设C、G、M三点的坐标，然后将坐标代入中的两个等式，同时利用向量平行的条件进行转化，第(）小题就可求解.第（)小题则需利用判别式确定直线与所求轨迹相交的条件,即直线斜率k的范围,然后利用向量的数量积公式及韦达定理建立关于k的函数式，最后根据求函数值域的方法即可求得结果。【解】（）设C(x，y）,G（x0，y0），M（xM，yM）,|，M点在线段AB的中垂线上。由已知A（1,0），B（1,0），xM0,又,yMy0，又,（1x0，y0)(1x0，y0)(xx0，xy0）（0，0），x0,y0,yM，|，20090318x21(y0），顶点C的轨迹方程为x21(y0).（）设直线l方程为：yk（x3)，E（x1，y1）,F(x2，y2)，由，消去y得：（k23)x26k2x9k230，x1x2，x1x2,而|cos0PEPF3x13x2|(1k2)|93（x1x2）x1x2|（1k2）|24,由方程知（6k2)24(k23)（9k23）0，k2，k0，0k2，k23（3,）,（8,)。【点评】本题主要考查向量的坐标运算及几何意义、轨迹的直接求法、不等式的解法，考查“设而不求法结合二次方程的判别式及韦达定理在解决直线与圆锥曲线位置关系中的应用，同时考查函数与方程的思想、转化的思想以及逻辑推理能力、解题实践能力和数学思想方法应用能力。本题解答有两个关键：（1)对条件中的向量关系的转化；（2）建立关于直线斜率k的函数。解答本题还有一个易错点:忽视直线与圆锥曲线相交的条件限制，造成所求范围扩大.题型六圆锥曲线与数列的交汇此类试题主要体现为以解析几何中的点的坐标为数列，或某数列为圆锥曲线方程的系数，或以直线与圆及圆锥曲线的弦长构成数列等.解答时一般须根据解析几何的知识确定数列的通项或递推关系，进而利用数列的知识作答。例6(2009届渭南市高三教学质量检测）已知双曲线an-1y2anx2an-1an的一个焦点为（0，)，一条渐近线方程为yx，其中an是以4为首项的正数数列。(）求数列cn的通项公式;（)求数列的前n项和Sn.【分析】将焦点坐标与双曲线实轴与短轴的关系建立cn与an、an-1的等式，再利用渐近线的斜率与实轴与短轴的可判断数列an为等比数列,由此可求得an的表达式,进而求得cn的通项公式，由此解决第(）小题；第()小题利用第(）的结果确定数列的通项公式，根据公式特点选择利用错位相减法求解.【解】（)双曲线方程1的焦点为(0,)，cnanan-1，又一条渐近线方程为yx，即，2,又a14，an42n-12n+1,即cn2n+12n32n。（)n2n,Sn12222323n2n 2Sn122223324 (n1)2nn2n+1 由 得 Sn2222nn2n+1，Sn2 n+122 n+1n2 n+1。【点评】本题主要考查双曲线的几何性质、等比数列的定义和通项公式及利用错位相减法，同时考查转化思想及解答综合处理交汇试题的能力。本题是一道与数列相结合的一道综合题，但难度并不大.解答本题注意两点基本知识及方法的应用：（2）通过双曲线的焦点坐标与渐近线方程建立等式;(2）利用错位相减法求解求和。【专题训练】一、选择题1设x,yR，且2y是1x和1x的等比中项，则动点(x，y）的轨迹为除去轴上点的（ ）A一条直线B一个圆C双曲线的一支D一个椭圆2已知ABC的顶点A（0，4），B（0,4）,且4（sinBsinA）3sinC，则顶点C的轨迹方程是（ ）A1（x3）B1（x)C1(y3)D1（y)3现有一块长轴长为10分米,短轴长为8分米，形状为椭圆的玻璃镜子,欲从此镜中划块面积尽可能大的矩形镜子，则可划出的矩形镜子的最大面积为（ ）A10平方分米B20平方分米C40平方分米D41平方分米4设A(x1,y1），B(4,），C（x2，y2）是右焦点为F的椭圆1上三个不同的点，则“AF|，|BF，|CF成等差数列”是“x1x28”的（ )A充要条件B必要不充分条件C充分不必要条件D既非充分也非必要5直线l:yk(x2）2与圆C:x2y22x2y0相切，则直线l的一个方向向量（ ）A（2,2)B(1，1）C（3，2）D（1，）6已知椭圆E的离心率为e，两焦点为F1，F2,抛物线C以F1为顶点，F2为焦点,P为两曲线的一个交点，若e，则e的值为（ )ABCD7椭圆1(ab0）的左、右焦点为F1，F2,过F1的直线与椭圆相交于A、B两点.若AF1F260，且0,则椭圆的离心率为( ）A1B1C2D48如图一圆形纸片的圆心为O,F是圆内一定点，M是圆周上一动点,把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于P，则点P形成的图形是（ ）A椭圆B双曲线C抛物线D圆9如图，P是椭圆1上的一点，F是椭圆的左焦点,且()，|4，则点P到该椭圆左准线的距离为（ ）A6B4C3D10 （理科)设x1,x2R，aO，定义运算“*”：x1*x2（x1x2)2(x1x2)2，若xO，则动点P（x,)的轨迹方程为（ ）Ay24axBy24ax(y0）Cy24axDy24ax（y0)11设集合A(x，y）x，y，1xy是三角形的三边长,则A所表示的平面区域(不含边界的阴影部分）是( )A B C D12在平面直线坐标系xoy中，已知ABC的顶点A（4，0）和C（4，0），顶点B在椭圆1上，则( ）ABCD二、填空题13若抛物线y22px（p0)的焦点与椭圆1的右焦点重合，则的值为_。14若点(1，1)到直线xcosysin2的距离为d，则d的最大值是_。15椭圆1(ab0）的左、右焦点为F1,F2，过F1的直线与椭圆相交于A、B两点。若AF1F260，且0，则椭圆的离心率为_16设A（1，0），点C是曲线y(0x1）上异于A的点，CDy轴于D，CAO(其中O为原点)，将|AC|CD表示成关于的函数f(),则f（)_。三、解答题17在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线xy4相切(1)求圆O的方程；(2）圆O与x轴相交于A，B两点，圆内的动点P使|PA，PO，PB|成等比数列，求的取值范围18(08届麻城博达学校高三数学综合测试四）设C1,C2，Cn是圆心在抛物线yx2上的一系列圆，它们的圆心的横坐标分别记为a1，a2，an，已知a1,a1a2an0，Ck（k1，2,n)都与x轴相切，且顺次逐个相邻外切(）求由a1,a2，an构成的数列an的通项公式；()求证：aaa.19（08年泰兴市3月调研）已知O:x2y21和定点A(2,1)，由O外一点P(a，b)向O引切线PQ，切点为Q，且满足|PQ|PA|。()求实数a，b间满足的等量关系；（）求线段PQ长的最小值；（)若以P为圆心所作的P与O有公共点,试求半径最小值时P的方程。20已知定点A（2,4)，过点A作倾斜角为45的直线l，交抛物线y22px(p0）于B、C两点，且BC|2(）求抛物线的方程；（）在(）中的抛物线上是否存在点D,使得|DBDC成立？如果存在，求出点D的坐标；如果不存在，请说明理由21已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点M(1,2），它们在x轴上有共同焦点,椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴,抛物线的顶点是坐标原点.（)求这三条曲线的方程；（）已知动直线l过点P（3，0)，交抛物线于A、B两点，是否存在垂直于x轴的直线l被以AP为直径的圆截得的弦长为定值?若存在，求出l的方程;若不存在,说明理由。22椭圆C：1(ab0）的两个焦点为F1、F2，短轴两端点B1、B2，已知F1、F2、B1、B2四点共圆，且点N(0，3）到椭圆上的点最远距离为5。()求此时椭圆C的方程;（）设斜率为k(k0)的直线m与椭圆C相交于不同的两点E、F,Q为EF的中点,问E、F两点能否关于过点P（0，）、Q的直线对称？若能，求出k的取值范围；若不能，请说明理由【专题训练】参考答案一、选择题1D 【解析】由题意得(2y）2(1x)（1x)，即x24y21。2C 【解析】由条件cAB|8。由正弦定理：4（ba）3c24，ba6，即CA|CB|6。点C的轨迹是焦点在y轴的双曲线上支，a3,c4，b，其方程1(y3)。3C 【解析】设椭圆方程为1，P(5cosq，4sinq），Q（5cosq，4sinq），R(5cosq，4sinq)是矩形的三顶点,则S矩形10cosq|8sinq40|sin2q|40.4S 【解析】a5,b3，c4，e，F(4，0),由焦半径公式可得AF|5x1，|BF|54,|CF|5x2，故|AF|，|BF，CF成等差数列(5x1）(5x2)2x1x28.5A 【解析】圆C：(x1) 2(y1）22，圆心C(1，1),半径r，直线l：kxy2k20，由直线与圆相切的条件知，解得k1.6A 【解析】过P作抛物线的准线的垂线，垂足为H，则抛物线准线为x3c,e，又PF2|PH，e，x3c也为椭圆E的准线3ce7B 【解析】0，AF1A2F，AF1F260,|F1F2|2|AF1，AF2|AF1，2aAF1|AF2,2c|F1F2|，e1。8椭圆 【解析】|POPFPM|PO|R(半径)|OF|，根据椭圆定义知P形成的图形 是以O、F为焦点的椭圆。9D 【解析】由()，得Q是PF的中点.又|4，所以P点到右焦点 F的距离为8，PF2582，又e(d表示P到椭圆左准线的距离),d 。10B 【解析】设P(x,y)，则y，即y24ax（y0).11A 【解析】由构成三角形的条件知,即，易知选A.12C 【解析】由双曲线方程及定义BC|AB10，|AC8，根据正弦定理知 。二、填空题134 【解析】抛物线的焦点为(,0），椭圆的右焦点为(2，0)，则由2，得p4。142 【解析】d|cosysin|sin(）2,当sin()1时，d的最大值是2。151 【解析】0,AF1A2F，AF1F260，F1F2|2|AF1|，AF2|AF1|，2a|AF1|AF2，2c|F1F2,e1.162cos22cos1，（,) 【解析】根据条件知COA1802,且（，），则点C（cos(1802），sin(1802），即C（cos2，sin2)，则ACCDcos22cos22cos1，(,).三、解答题17【解析】（）依题知圆O的半径r等于原点O到直线xy4的距离，即r2，圆O的方程为x2y24（）不妨设A（x1，0），B(x2，0）,x1x2，由x24即得A(2，0），B(2，0)，设P(x，y），由|PA|，|PO，PB成等比数列,得x2y2,即x2y22，(2x,y）(2x，y)x24y22(y21），由于点P在圆O内，故,由此得y21，又y20，所以的取值范围为2,0)18【解析】(1）设相邻两圆心为Ck(xk，x)，Ck+1（xk,x）,相应的半径为rk，rk+1，则rkx，rk+1x，rkrk+1，如图，作Ck+1BkAkCk于Bk，则CkCk+1|2CkBk2AkAk+1|2，即(rkrk+1)2(rkrk+1)2(xkxk+1）2，2，是首项为4，且公差为2的等差数列,xk.(2)，xxx（1）(1).19【解析】（1)连OP，Q为切点，PQOQ，由勾股定理有PQ2|OP|2|OQ|2.又由已知|PQ|PA，故|PQ2PA2，即a2b212(a2）2（b1）2,化简得实数a、b间满足的等量关系为：2ab30.()由2ab30，得b2a3.PQ，故当a时，|PQmin，即线段PQ长的最小值为。(）设P的半径为R，OP设O有公共点，O的半径为1，|R1OPR1，R|OP1，且ROP1。而|OP|,故当a时，PQmin，此时b2a3，R min1，得半径取最小值P的方程为(x)2(y)2（1)2.20【解析】（）直线l方程为yx2，将其代入y22px,并整理,得x22（2p)x40，p0，4（2p）2160，设B（x1，y1）、C（x2，y2)，x1x242p，x1x24,|BC2，而BC|x1x2,22，解得p1,抛物线方程y22x（）假设在抛物线y22x上存在点D(x3，y3），使得DB|DC成立，记线段BC中点为E(x0，y0)，则DBDC|DEBCkDE1,当p1时，式成为x26x40，x03，y0x021，点D（x3,y3)应满足,解得或存在点D(2，2)或（8，4)，使得DB|DC|成立21【解析】（)设抛物线方程为y22px(p0）,将点M（1，2)坐标代入方程得p2,所以抛物线方程为y24x。由题意知椭圆、双曲线的焦点为F1(1，0)，F2(1，0）,所以c1,c1，对于椭圆,2a|MF1|MF2|22，所以a1，所以a2(1+)232,所以b2a2c222,所以椭圆方程为1，对于双曲线,2a|MF1MF2|22，所以a1,所以a232,所以bc2a222，所以双曲线方程为1,(）设AP的中点为G，l的方程为xt，以AP为直径的圆交l于D、E两点，DE中点为H，令A（x1，y1)，所以G(,)，所以DG|AP，|GH|t（x12t)3|，所以DH2DG|2|GH|2（x13)2y12(x12t）32(t2)x1t23t，当t2时，|DH2462为定值，所以DE|2|DH|2为定值，此时l的方程为x2。22【解析】（)根据椭圆的几何性质，线段F1F2与线段B1B2互相垂直平分，故椭圆中心即为该四点外接圆的圆心，故该椭圆中abc，即椭圆方程可为x22y22b2.设H（x,y）为椭圆上一点,则|HN|2x2（y3）2(y3）22b218，其中byb，若0y3,则yb时，HN2有最大值b26b9,由b26b950，得b35(舍去），若b3，当y3时，HN2有最大值2b218.由2b21850，得b216,故所示椭圆的方程为1。(）设E(x1,y1）,F(x2，y2）,Q（x0，y0)，则由1与1二式相减,得0，又x1x22x0，y1y22y0，且k,则x02ky00，又直线PQ直线m，直线PQ方程为yx,将点Q(x0,y0）代入上式得，y0x0，由得Q(k，)Q,而Q点必在椭圆内部，1,由此得k2，又k0，k0或0k,故当k（,0）(0,)时，E、F两点关于点P、Q的直线对称.15