数列通项公式的求法(经典).doc
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1、数列通项公式的求法一、定义法直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法,这种方法适应于已知数列类型的题目例1等差数列是递增数列,前n项和为,且成等比数列,求数列的通项公式.解:设数列公差为成等比数列,即, 由得:, 】点评:利用定义法求数列通项时要注意不用错定义,设法求出首项与公差(公比)后再写出通项.二、公式法若已知数列的前项和与的关系,求数列的通项可用公式求解.例2已知数列的前项和满足求数列的通项公式.解:由当时,有,经验证也满足上式,所以点评:利用公式求解时,要注意对n分类讨论,但若能合写时一定要合并三、由递推式求数列通项法对于递推公式确定的数列的求解,通常可以通过递推公式的变
2、换,转化为等差数列或等比数列问题,有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列.类型1 递推公式为解法:把原递推公式转化为,利用累加法(逐差相加法)求解.例3. 已知数列满足,求.解:由条件知:分别令,代入上式得个等式累加之,即所以 , 类型2 (1)递推公式为解法:把原递推公式转化为,利用累乘法(逐商相乘法)求解.例4. 已知数列满足,求.解:由条件知,分别令,代入上式得个等式累乘之,即又, 注:由和确定的递推数列的通项还可以如下求得:所以, ,依次向前代入,得,类型3递推式:解法:只需构造数列,消去带来的差异其中有多种不同形式为常数,即递推公式为(其中p,q均为常数,).解法:转化为:,其中,再
3、利用换元法转化为等比数列求解.例5. 已知数列中,求.解:设递推公式可以转化为即.故递推公式为,令,则,且.所以是以为首项,2为公比的等比数列,则, 所以.为一次多项式,即递推公式为例6设数列:,求.解:设,将代入递推式,得()则,又,故代入()得备注:本题也可由 ,()两式相减得转化为求之. 为的二次式,则可设;类型4 递推公式为(其中p,q均为常数,). (或,其中p,q, r均为常数)解法:该类型较类型3要复杂一些.一般地,要先在原递推公式两边同除以,得:引入辅助数列(其中),得:再应用类型3的方法解决.例7. 已知数列中,,,求.解:在两边乘以得:令,则,应用例7解法得:所以类型5 递
4、推公式为(其中p,q均为常数).解法:先把原递推公式转化为其中s,t满足,再应用前面类型3的方法求解.例8. 已知数列中,,,求.解:由可转化为即或这里不妨选用(当然也可选用,大家可以试一试),则是以首项为,公比为的等比数列,所以,应用类型1的方法,分别令,代入上式得个等式累加之,即又,所以.1在数列中,求. ,当时,将上面个式子相加得到:(),当时,符合上式故.2设是首项为1的正项数列,且,求它的通项公式. 由题意,又,当时,当时,符合上式【变式2】已知数列中,求通项公式. 由得, , 当时, 当时,符合上式3数列中,,,求. 对两边同除以得即可.,两边同除以得,成等差数列,公差为d=5,首
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