高等代数(北大版第三版)习题答案II.doc

高等代数（北大第三版）答案目录第一章 多项式 第二章 行列式 第三章 线性方程组第四章 矩阵第五章 二次型 第六章 线性空间第七章 线性变换第八章 矩阵第九章 欧氏空间第十章 双线性函数与辛空间注：答案分三部分，该为第二部分，其他请搜索，谢谢！ 12设为一个级实对称矩阵，且，证明：必存在实维向量，使。证 因为，于是，所以，且不是正定矩阵。故必存在非退化线性替换使 ，且在规范形中必含带负号的平方项。于是只要在中，令则可得一线性方程组 ，由于，故可得唯一组非零解使 ，即证存在，使。 13如果都是阶正定矩阵，证明：也是正定矩阵。 证 因为为正定矩阵，所以为正定二次型，且 ， ，因此 ，于是必为正定二次型，从而为正定矩阵。 14证明：二次型是半正定的充分必要条件是它的正惯性指数与秩相等。 证 必要性。采用反证法。若正惯性指数秩，则。即 ， 若令 ，则可得非零解使。这与所给条件矛盾，故。充分性。由，知 ，故有，即证二次型半正定。 15证明：是半正定的。 证 （ ） 。可见：1） 当不全相等时 。2） 当时 。故原二次型是半正定的。 16设是一实二次型，若有实维向量使 ， 。证明：必存在实维向量使。 设的秩为，作非退化线性替换将原二次型化为标准型 ，其中为1或-1。由已知，必存在两个向量使 和 ，故标准型中的系数不可能全为1，也不可能全为-1。不妨设有个1，个-1，且，即 ，这时与存在三种可能： ， ， 下面仅讨论的情形，其他类似可证。 令， ， ，则由可求得非零向量使 ，即证。17是一个实矩阵，证明： 。证 由于的充分条件是与为同解方程组，故只要证明与同解即可。事实上 ，即证与同解，故 。 注 该结论的另一证法详见本章第三部分（补充题精解）第2题的证明，此处略。一、 补充题参考解答1 用非退化线性替换化下列二次型为标准型，并用矩阵验算所得结果：1）；2）；3）；4），其中。解 1）作非退化线性替换 ，即，则原二次型的标准形为 ，且替换矩阵 ，使 ，其中 。2）若 ， ，则 ，于是当为奇数时，作变换 ，则 ，且当时，得非退化替换矩阵为 ，当时，得非退化替换矩阵为 ，故当为奇数时，都有 。 当为偶数时，作非退化线性替换 ，则 ，于是当时，得非退化替换矩阵为 ，于是当时，得非退化替换矩阵为 ，故当为偶数时，都有 。3） 由配方法可得 ，于是可令 ，则非退化的线性替换为 ，且原二次型的标准形为 ，相应的替换矩阵为 ，又因为 ，所以 。4） 令 ，则 。由于 ，则 原式 ，其中所作非退化的线性替换为 ，故非退化的替换矩阵为 。又 ，所以 。2 设实二次型 ，证明：的秩等于矩阵 的秩。 证 设，因 ，下面只需证明即可。由于，故存在非退化矩阵使 或 ，从而 ，令 ，则 。由于是正定的，因此它的级顺序主子式，从而的秩为。即证。3 设 。其中是的一次齐次式，证明：的正惯性指数，负惯性指数。 证 设 ，的正惯性指数为，秩为，则存在非退化线性替换 ，使得 。下面证明。采用反证法。设，考虑线性方程组 ，该方程组含个方程，小于未知量的个数，故它必有非零解，于是 ，上式要成立，必有 ， ，这就是说，对于这组非零数，有 ， ，这与线性替换的系数矩阵非退化的条件矛盾。所以 。 同理可证负惯性指数，即证。4 设 是一对称矩阵，且，证明：存在使，其中表示一个级数与相同的矩阵。 证 只要令，则 ，注意到 ， ，则有 。即证。5 设是反对称矩阵，证明：合同于矩阵 。 证 采用归纳法。当时，合同于，结论成立。下面设为非零反对称矩阵。 当时 ，故与合同，结论成立。 假设时结论成立，今考察的情形。这时 ，如果最后一行（列）元素全为零，则由归纳假设，结论已证。若不然，经过行列的同时对换，不妨设，并将最后一行和最后一列都乘以，则可化成 ，再将最后两行两列的其他非零元化成零，则有 ，由归纳假设知 与 合同，从而合同于矩阵 ，再对上面矩阵作行交换和列交换，便知结论对级矩阵也成立，即证。6 设是阶实对称矩阵，证明：存在一正实数，使对任一个实维向量都有 。证 因为 ，令，则 。利用可得 ，其中，即证。 7主对角线上全是1的上三角矩阵称为特殊上三角矩阵。1）设是一对称矩阵，为特殊上三角矩阵，而，证明：与的对应顺序主子式有相同的值；2）证明：如果对称矩阵的顺序主子式全不为零，那么一定有一特殊上三角矩阵使成对角形；3）利用以上结果证明：如果矩阵的顺序主子式全大于零，则是正定二次型。证 1）采用归纳法。当时，设 ， ，则 。考虑的两个顺序主子式：的一阶顺序主子式为，而二阶顺序主子式为 ，与的各阶顺序主子式相同，故此时结论成立。归纳假设结论对阶矩阵成立，今考察阶矩阵，将写成分块矩阵 ， ，其中为特殊上三角矩阵。于是 。由归纳假设，的一切阶的顺序主子式，即的顺序主子式与的顺序主子式有相同的值，而的阶顺序主子式就是，由 ，知的阶顺序主子式也与的阶顺序主子式相等，即证。 2）设阶对称矩阵，因，同时对的第一行和第一列进行相同的第三种初等变换，可以化成对称矩阵 ，于是由1）知，从而，再对进行类似的初等变换，使矩阵的第二行和第二列中除外其余都化成零；如此继续下去，经过若干次行列同时进行的第三种初等变换，便可以将化成对角形 。由于每进行一次行、列的第三种初等变换，相当于右乘一个上三角形阵，左乘一个下三角形阵，而上三角形阵之积仍为上三角形阵，故存在，使，命题得证。 3）由2）知，存在使 。又由1）知的所有顺序主子式与的所有顺序主子式有相同的值，故 ， ，所以。 ，所以 ，因是非退化线性替换，且 ，由于都大于零，故是正定的。 8。证明：1）如果 是正定二次型，那么 是负定二次型； 2）如果是正定矩阵，那么 ，这里是的阶顺序主子式； 3）如果是正定矩阵，那么 。 4）如果是阶实可逆矩阵，那么 。 证 1）作变换，即 ，则 。因为是正定矩阵，所以是负定二次型。 2）为正定矩阵，故对应的阶矩阵也是正定矩阵，由1）知 是负定二次型。注意到 ，又因，所以 ，当时，有 ，综上有，即证。 3）由2）得 。 4）作非退化的线性替换，则为正定二次型，所以是正定矩阵，且 ，再由3）便得 。9.证明：实对称矩阵是半正定的充分必要条件是的一切主子式全大于或等于零（所谓阶主子式，是指形为 的级子式，其中）。证 必要性。取的任一个阶主子式相应的矩阵 ，对应的二次型为 ，令，代入，得 ，故存在非退化矩阵使 ，其中。故 。充分性。设的主子式全大于或等于零，任取的第个顺序主子式相应的矩阵 ，作 ，由行列式性质，得 ，其中是中一切阶主子式的和，由题设，的一切阶主子式，所以。故当时，有 ，即当时，是正定矩阵。假若不是半正定矩阵，则存在一非零向量，使。于是令 ，则 ，这与时为正定矩阵矛盾，故为半正定矩阵。第六章 线性空间1.设证明：。证 任取由得所以即证。又因故。再证第二式，任取或但因此无论哪 一种情形，都有此即。但所以。2.证明，。证 则在后一情形，于是所以，由此得。反之，若，则 在前一情形，因此故得在后一情形，因而，得故于是。若。在前一情形X， 。 3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间：1） 次数等于n（n1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法；2） 设A是一个nn实数矩阵，A的实系数多项式f（A）的全体，对于矩阵的加法和数量乘法；3） 全体实对称（反对称，上三角）矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法；4） 平面上不平行于某一向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法；5） 全体实数的二元数列，对于下面定义的运算： 6） 平面上全体向量，对于通常的加法和如下定义的数量乘法： ；7） 集合与加法同6），数量乘法定义为：；8） 全体正实数r，加法与数量乘法定义为：，；解 1）否。因两个n次多项式相加不一定是n次多项式，例如 。2）令V=f（A）|f（x）为实数多项式，A是nn实矩阵因为 f（x）+g（x）=h（x），kf（x）=d（x）所以 f（A）+g（A）=h（A），kf（A）=d（A）由于矩阵对加法和数量乘法满足线性空间定义的18条，故v构成线性空间。 3）矩阵的加法和和数量乘法满足线性空间定义的18条性质，只需证明对称矩阵（上三角矩阵，反对称矩阵）对加法与数量乘法是否封闭即可。下面仅对反对称矩阵证明： 当A，B为反对称矩阵，k为任意一实数时，有 ，A+B仍是反对称矩阵。 ，所以kA是反对称矩阵。故反对称矩阵的全体构成线性空间。4）否。例如以已知向量为对角线的任意两个向量的和不属于这个集合。5）不难验证，对于加法，交换律，结合律满足，（0，0）是零元，任意（a，b）的负元是（-a，-b）。对于数乘：即。，即，所以，所给集合构成线性空间。6）否，因为。7）否，因为，所给集合不满足线性空间的定义。8）显然所给集合对定义的加法和数量乘法都是封闭的，满足所以，所给集合构成线性空间。4 在线性空间中，证明：1） 2）。证 1）。2）因为。5 证明：在实函数空间中，1，式线性相关的。证 因为，所以1，式线性相关的。6 如果是线性空间中三个互素的多项式，但其中任意两个都不互素，那么他们线性无关。证 若有不全为零的数使，不妨设则，这说明的公因式也是的因式，即有非常数的公因式，这与三者互素矛盾，所以线性无关。7 在中，求向量在基下的坐标。设1）；2）。解 1）设有线性关系，则，可得在基下的坐标为。2）设有线性关系，则，可得在基下的坐标为。8求下列线性空间的维数于一组基：1）数域P上的空间P；2）P中全体对称（反对称，上三角）矩阵作成的数域P上的空间；3)第3题8)中的空间;4)实数域上由矩阵A的全体实系数多项式组成的空间,其中A=。解 1)的基是且。2) i)令，即其余元素均为零,则 是对称矩阵所成线性空间 的一组基,所以是维的。ii)令，即其余元素均为零,则是反对称矩阵所成线性空间的一组基, 所以它是维的。iii) 是上三角阵所成线性空间的一组基,所以它是维的。3)任一不等于1的正实数都是线性无关的向量,例如取2，且对于任一正实数,可经2线性表出，即.,所以此线性空间是一维的，且2是它的一组基。4)因为,所以，于是， 而。9.在中,求由基，到基的过渡矩阵,并求向量在所指基下的坐标。设 ，在下的坐标； ，在下的坐标； ，在下的坐标；解 （）=（）=（）A这里A即为所求由基到的过渡矩阵，将上式两边右乘得，得 （）=（），于是 （）=（），所以在基下的坐标为 ，这里=。令则（）=()=()A，（）=()=()B，将()=（）代入上式,得（）=（）B，这里=,B=，且即为所求由基到基的过渡矩阵，进而有=()=（） =（），所以在下的坐标为。同，同理可得A=B=则所求由到的过渡矩阵为B=。再令+b+c+d，即，由上式可解得在下的坐标为下的坐标为 。10继第9题1）求一非零向量，它在基与下有相同的坐标。解 设在两基下的坐标为，则 =（）=（）。又因为 （）=（）=（）A，所以 =A（A - E）=0。又 ，于是只要令 ，解此方程组得 = (c为任意非零常数)，取c为某个非零常数，则所求为 。11.证明：实数域作为它自身的线性空间与第3题8）中的空间同构。证 因为它们都是实数域上的一维线性空间，故同构。12.设都是线性空间的子空间，且，证明：如果的维数与的维数相等，那么。证 设dim()=r，则由基的扩充定理，可找到的一组基，因，且它们的唯数相等，故，也是的一组基，所以=。13。1）证明：全体与可交换的矩阵组成的一个子空间，记做C（A）；2）当A=E时，求C（A）；3）当A=时，求C（A）的维数和一组基。证 1）设与A可交换的矩阵的集合记为C(A)。若B,D属于C(A)，可得 A(B+D)=AB+AD=BA+DA=(B+D)A， 故 B+DC(A)。若k是一数，B，可得 A（kB）=k(AB)=k(BA)=(kB)A，所以kBC(A)。故C(A)构成子空间。2）当A=E时，C（A）=。3）设与A可交换的矩阵为B=（），则B只能是对角矩阵，故维数为n,即为它的一组基。14.设求中全体与可交换的矩阵所成的子空间的维数和一组基。解 若记 A=，并设B=与A可交换，即AB=BA，则SB=BS。且由SB=，BS=，可是，又 ，即，该方程组的系数矩阵的秩为2，所以解空间的维数为5。取自由未知量a,，并令b=1，其余为0，得=3,a=3;令=1，其余为0，得=3,a=;令=1，其余为0，得=1,a=1;令=1，其余为0，得=0,a=;令=1，其余为0，得=1,a=1;则与A可交换的矩阵为 B=，其中,a,可经b,表示,所求子空间的一组基为, , , ，且维数为5。15如果 且，证明：L=L。证 由，知所以a可经线性表出，即可经线性表出，同理，也可经线性表出。故L=L。16在中，求由下面向量组生成的子空间的基与维数。设1） ， 。 解 1）的一个极大线性无关组，因此为L的一组基，且的维数是3。 2）的一个极大线性无关组为，故是L的一组基，且维数为2。17在中，由齐次方程组确定的解空间的基与维数。解 对系数矩阵作行初等变换，有 所以解空间的维数是2，它的一组基为 ，。18.求由向量生成的子空间与由向量生成的子空间的交的基与维数，设 1） ； 2） ； 3） 。解 1）设所求交向量 ， 则有 ， 即 ， 可算得， 且 ， 因此方程组的解空间维数为1，故交的维数也为1。任取一非零解，得一组基 ， 所以它们的交L是一维的，就是其一组基。 2）设所求交向量 ， 则有 ， 因方程组的系数行列式不等于0，故方程组只有零解，即从而 交的维数为0。 3）设所求交向量为 ， 即 ，由 知解空间是一维的，因此交的维数是1。令，可得，因此交向量就是一组基。19 设与分别是齐次方程组的解空间，证明：证 由于的解空间是你n1维的，其基为而由 知其解空间是1维的，令则其基为且即为的一组基，从而又，故 。20 证明：如果那么 。证 由题设知 因为 所以 ， 又因为 所以 故， 即证。 21. 证明：每一个n维线性空间都可以表示成n个一维子空间的直和。 证 设是n维线性空间V的一组基。显然都是V的一维子空间，且 V ，又因为 ， 故 。 22证明：和是直和的充分必要条件是。 证 必要性是显然的。这是因为，所以 。 充分性 设不是直和，那么0向量还有一个分解， 其中。在零分解式中，设最后一个不为0的向量是 则 ，即 ，因此，这与矛盾，充分性得证。23. 再给定了空间直角坐标系的三维空间中，所有自原点引出的向量天添上零向量构成一个三维线性空间R。1） 问所有终点都在一个平面上的向量是否为子空间？2） 设有过原点的三条直线，这三条直线上的全部向量分别成为三个子空间问能构成哪些类型的子空间，试全部列举出来;3）就用该三维空间的例子来说明，若U,V,X,Y是子空间，满足U+VX，XY，是否一定有。解 1）终点所在的平面是过原点的平面，那么所有这些向量构成二维子空间；但终点在不过原点的平面上的向量不构成子空间，因为对加法不封闭。2) ；（1）直线与重合时，是一维子空间；（2）与不重合时，时二维子空间。 ：（1） 重合时，构成一维子空间；（2） 在同一平面上时，构成二维子空间；（3） 不在同一平面上时，构成三维子空间。3） 令过原点的两条不同直线，分别构成一维子空间U和V，XUV是二维子空间，在，决定的平面上，过原点的另一条不与，相同的直线构成一维子空间Y，显然因此，故 并不成立。二补充题参考解答11）证明：在Px中，多项式 （i1，2，n）是一组基，其中是互不相同的数；2)在1）中，取是全体n次单位根，求由基1，到基的过渡矩阵。证 1）设 ，将代入上式 ，得 ， 于是0。同理，将分别代入，可得， 所以线性无关。而Px是n维的，故是Px的一组基。2）取为全体单位根则 ， ， .， 故所求过渡矩阵为。2设是n维线性空间V的一组基，A是一个ns矩阵，且，证明：的维数等于A的秩。证 只需证的极大线性无关组所含向量的个数等于A的秩。设，且。不失一般性，可设A的前r列是极大线性无关组，由条件得，可证构成，的一个极大线性方程组。事实上，设，于是得，因为线性无关，所以，该方程组的系数矩阵秩为故方程组只有零解，于是线性无关。 其次可证：任意添一个向量后，向量组，一定线性相关。事实上，设，于是，其系数矩阵的秩为rr+1，所以方程组有非零解 即，线性相关。因此，是的极大线性无关组。从而的维数等于A的秩，即等于。3. 设是一秩为n的二次型，证明：有的一个维子空间（其中为符号差），使对任一，有0。证 设的正惯性指数为p，负惯性指数为q，则p+q=n。于是存在可逆矩阵，C，YCX，使，由。下面仅对 p1)。证 采用数学归纳法。当k=2时AB-BA=(AB-ABA)+(ABA-BA)=A(AB-BA)+(AB-BA)A=AE+EA=2，结论成立。归纳假设时结论成立，即AB-BA=A。则当时，有AB-BA=(AB-ABA)+(ABA-BA)=A(AB-BA)+(AB-BA)A=AE+AA=A。即时结论成立.故对一切结论成立。5.证明：可逆变换是双射。证 设A是可逆变换，它的逆变换为A。若ab，则必有AaAb，不然设Aa=Ab，两边左乘A，有a=b，这与条件矛盾。其次，对任一向量b，必有a使Aa=b，事实上,令Ab=a即可。因此,A是一个双射。6.设,是线性空间V的一组基，A是V上的线性变换。证明：A是可逆变换当且仅当A,A,A线性无关。证 因A(,)=(A,A,A)=(,)A，故A可逆的充要条件是矩阵A可逆，而矩阵A可逆的充要条件是A,A,A线性无关，故A可逆的充要条件是A,A,A线性无关.。7.求下列线性变换在所指定基下的矩阵:1) 第1题4)中变换A在基=(1,0,0),=(0,1,0),=(0,0,1)下的矩阵；2) o; ,是平面上一直角坐标系,A是平面上的向量对第一和第三象限角的平分线的垂直投影,B是平面上的向量对的垂直投影，求A,B,AB在基,下的矩阵；3) 在空间Px中，设变换A为，试求A在基= (I=1,2,n-1)下的矩阵A；4) 六个函数 =ecos,=esin，=ecos,=esin，=ecos,=esin，的所有实数线性组合构成实数域上一个六维线性空间，求微分变换D在基(i=1,2,6)下的矩阵；5) 已知P中线性变换A在基=(-1,1,1),=(1,0,-1),=(0,1,1)下的矩阵是，求A在基=(1,0,0),=(0,1,0),=(0,0,1)下的矩阵；6) 在P中，A定义如下：，其中，求在基=(1,0,0),=(0,1,0),=(0,0,1)下的矩阵；7) 同上，求A在,下的矩阵。解 1) A=(2,0,1)=2+，A=(-1,1,0)=-+，A=(0,1,0)= ，故在基,，下的矩阵为。2）取=（1，0），=（0，1），则A=+，A=+，故A在基，下的矩阵为A=。又因为B=0，B=，所以B在基，下的矩阵为B=，另外，（AB）=A（B）=A=+，所以AB在基，下的矩阵为AB=。3）因为 ，所以A，A，A=，所以A在基,下的矩阵为A=。4）因为 D=a-b,D=b-a,，D=+a-b,D=+b+a,D=+a-b,D=+b+a，所以D在给定基下的矩阵为D=。5）因为(,)=(,，)，所以(,，)=(,)=(,)X，故A在基,，下的矩阵为B=XAX=。6）因为(,)=(,，)，所以A(,)=A(,，),但已知A(,)=(,，)，故A(,，)=(,，)=(,，)=(,，)。7）因为(,，)=(,)，所以A(,)=(,)=(,)。8在P中定义线性变换A(X)=X, A(X)=X, A(X)= X, 求A, A, A在基E, E, E, E下的矩阵。解 因 AE=a E+cE, AE=a E+c E,AE=bE+dE, AE= bE+d E,故A在基E, E, E, E下的矩阵为A=。又因AE=a E+b E, AE= cE+dE,AE= aE+bE, AE= cE+d E,故A在基E, E, E, E下的矩阵为A=。又因AE= aE+abE+acE+bcE，AE= acE+adE+cE+cdE，AE= abE+bE+adE+bdE，AE = bcE+bdE+cdE+dE，故A在基E, E, E, E下的矩阵为。9.设三维线性空间V上的线性变换A在基下的矩阵为A=，1) 求A在基下的矩阵；2) 求A在基下的矩阵，其中且；3) 求A在基下的矩阵。解 1)因A=+a， A=， A=，故A在基下的矩阵为。2)因 A=+， A(k)=+， A=+()+，故A在下的矩阵为 。3)因 A()=()()+()+()，A=()+()+，A=()+()+，故A基下的矩阵为。10. 设A是线性空间V上的线性变换，如果A0,但A=0，求证：,A, A(0)线性无关。证 设有线性关系，用A作用于上式,得 A=0(因A对一切n均成立)，又因为A0,所以,于是有，再用A作用之,得 A=0.再由,可得=0.同理,继续作用下去,便可得 ,即证,A, A(0)线性无关。11.在n维线性空间中，设有线性变换A与向量使得A，求证A在某组下的矩阵是 。证 由上题知